26年广州二中二模第25题 动点问题+最值问题+轨迹问题

专题：几何 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：动点问题+最值问题+轨迹问题 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★★

经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结!

【题目】

（26年广州二中二模第25题）
如图，矩形\(ABCD\)的边\(AB=2\sqrt{3} cm\)，\(AD=2\sqrt{6} cm\)，点\(E\)从点\(A\)出发，沿射线\(AD\)移动.
以\(CE\)为直径作\(⨀O\)，点\(F\)为\(⨀O\)与射线\(BD\)的公共点，连接\(EF，CF\)，过点\(E\)作\(EG⊥EF\)，\(EG\)与\(⨀O\)相交于点\(G\)，连接\(CG\).

（1）判断四边形\(EFCG\)是什么形状，试说明理由；
（2）当\(⨀O\)与射线\(BD\)相切时，点\(E\)停止移动，在点\(E\)移动的过程中.
① 矩形\(EFCG\)的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由；
② 连接\(DG\)，取线段\(DG\)的中点\(P\)，求点\(P\)的移动轨迹的长.

 
 
 
 
 
 
 

【分析】

第一问：
\(\left\{ \begin{array}{c} CE是直径⟹∠CFE=90^\circ且∠G=90^\circ\\ EG⊥EF \end{array} \right. ⟹\)四边形\(EFCG\)是矩形；

 

第二问：
分析已知
动点问题，先要理解题意，确定图中哪些量是确定的，哪些量是变化的，变化量中谁是“运动源泉”；
由题意可知，矩形\(ABCD\)是确定的，\(∠ADB\)是确定的且满足\(\tan ∠ADB=\dfrac{AB}{AD} =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)；
点\(E、F、G、⨀O\)的位置是不确定的，由其决定的一些线段\(CE、EF\)等也是不确定的，“运动源泉”是点\(E\)且满足在射线\(AD\)上；
但有一点很重要，\(⨀O\)是在变化中的，但仔细分析其中一些角度是不变的，在解题过程中，把其标记出来，如下图，当点\(E\)在点\(D\)的左侧时，\(∠3=∠2=∠1\)是定角(同弧所对的圆周角相等)；当点\(E\)在点\(D\)的右侧时，\(∠3=∠2=∠1\)是定角(圆内接四边形对角互补)；\(∠4=∠5\)是动角；
(细节：点\(E\)在点\(D\)哪侧都有\(∠3=∠2=∠1\)，但是理由不一样)

 

分析求证
方法1 几何法
要\(S_{四边形EFCG}\)的面积最小值，而\(S_{四边形EFCG}=EF×CF\)，
而注意到\(∠2=∠1\)，则有\(\tan ∠2=\tan ∠1⟹\dfrac{EF}{CF} =\dfrac{1}{\sqrt{2}} ⟹CF=\sqrt{2} EF\)，
所以\(S_{四边形EFCG}=EF×CF=\sqrt{2} EF^2\)，
问题就转化为求\(EF\)的最小值，而点\(E，F\)都是动点，求\(EF\)的最小值有些难度；
再次注意到，在\(Rt∆EFC\)中，\(∠2\)是确定的，那三边比值是确定的，$ \dfrac{EF}{CE} =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$是确定的，

即可以把求\(EF\)的最小值转化为求\(CE\)的最小值，而\(CE\)的最小值显然是\(CD\)，问题就解决了；
即\((EF^2 )_{min}=(\dfrac{1}{3} CE^2 )_{min}=\dfrac{1}{3} ×CD^2=4\)，所以\(S_{四边形EFCG}\)的最小值为\(4\sqrt{2}\)；
(即点\(E\)运动到点\(D\)时，\(S_{四边形EFCG}\)取到最小值，此时明显\(⨀O\)还没与射线\(BD\)相切)
 

方法2 代数法
因为“运动源泉”是点\(E\)，

所以设点\(AE=x\)，则\(ED=2\sqrt{6}-x\)，
由上面分析可知，显然\(S_{四边形EFCG}=EF×CF=\sqrt{2} EF^2=\dfrac{\sqrt{2}}{3} CE^2\)，
在\(Rt∆CED\)中，\(CE^2=ED^2+CD^2=(2\sqrt{6}-x)^2+12\)，
所以\(S_{四边形EFCG}=\dfrac{\sqrt{2}}{3} [(2\sqrt{6}-x)^2+12]\)，

显然当\(x=2\sqrt{6}\)时，\(S_{四边形EFCG}\)的最小值为\(4\sqrt{2}\)；
 

第三问：
要求点\(P\)的移动轨迹的长，可以先求出点\(G\)的轨迹，初中考核的轨迹要不是直线要不是圆或者它们的一部分；
点\(E\)不是一直运动下去的，当\(⨀O\)与射线\(BD\)相切时点\(E\)就停止，所以可以大胆猜测轨迹应该是线段或一段弧；
那可先看看\(⨀O\)与射线\(BD\)相切时，点\(E\)走到哪里；
因为\(⨀O\)一定经过点\(D\)，所以当\(⨀O\)与射线\(BD\)相切时，\(⨀O\)与射线只有一个交点\(D\)，即\(OD⊥BD\)；

此时\(∠GFC=∠ADB\)，

则\(\tan ∠GFC=\tan ∠ADB⟹\dfrac{CG}{CF} =\dfrac{1}{\sqrt{2}} ⟹CG=\sqrt{6}\)，即\(ED=\sqrt{6}\)；
在点\(E\)移动的过程中，注意到\(∠GDC=∠CAG=∠ADB\)是个定角，

故点\(G\)的轨迹为\(DG'\)，

则点\(P\)的移动轨迹的长为\(\dfrac{1}{2} DG'=\dfrac{1}{2} ×\sqrt{CF^2+CG'^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{12+6} =\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\).
 

【解答】

第一问：
\(∵CE\)是\(⨀O\)的直径，\(∴∠CFE=90^\circ，∠G=90^\circ\)，
\(∵EG⊥EF\)，\(∴∠FEG=90^\circ\)，
\(∴\)四边形\(EFCG\)是矩形；
 

第二问：
方法1 几何法
存在，最小值为\(4\sqrt{2} cm^2\)，理由如下；
当点\(E\)在点\(D\)的左侧时，

\(∵∠FCE，∠ADB\)所对的弧都是\(\overset{\frown}{EF}\)，\(∴∠FCE=∠ADB\)；

当点\(E\)在点\(D\)的右侧时，

\(∵∠FCE+∠FDE=180^\circ\)，\(∠ADB+∠FDE=180^\circ\)，\(∴∠FCE=∠ADB\)；

\(∴\tan ∠FCE=\tan ∠ADB\)，\(∴\dfrac{EF}{CF} =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)，
\(∴EF=\dfrac{1}{\sqrt{3}} CE\)，\(CF=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} CE\)，
\(∴S_{四边形EFCG}=EF×CF=\dfrac{\sqrt{2}}{3} CE^2\)，
当\(CE=CD=2\sqrt{3} cm\)时，\(S_{四边形EFCG}\)取到最小值\(\dfrac{\sqrt{2}}{3} ×12=4\sqrt{2} cm^2\)；

 

方法2 代数法
设点\(AE=x\)，则\(ED=2\sqrt{6}-x\)，
同方法1的分析，得到\(S_{四边形EFCG}=EF×CF=\sqrt{2} EF^2=\dfrac{\sqrt{2}}{3} CE^2\)，
在\(Rt∆CED\)中，\(CE^2=ED^2+CD^2=(2\sqrt{6}-x)^2+12\)，
所以\(S_{四边形EFCG}=\dfrac{\sqrt{2}}{3} [(2\sqrt{6}-x)^2+12]\)，
显然当\(x=2\sqrt{6}\)时，\(S_{四边形EFCG}的最小值为4\sqrt{2}\)；
 

第三问：
延长\(DG\)，交\(BC\)延长线于点\(G'\)，

\(∵∠GDC=∠CAG=∠ADB\)是个定角，
\(∴\)点\(G\)的轨迹在直线\(DG'\)上，

当\(⨀O\)与射线\(BD\)相切时，\(OD⊥BD\)，
依题意看得此时点\(D\)与点\(F\)重合，点\(G\)在\(BC\)的延长线上，

\(∴∠GFC=∠ADB\)，\(∴\tan ∠GFC=\tan ∠ADB\)，即\(\dfrac{CG}{CF} =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)，
\(∴CG=\sqrt{6}\)，
即当\(⨀O\)与射线\(BD\)相切时，点\(G\)落在点\(G'\)上，满足\(CG'=\sqrt{6}\)，
\(∴\)点\(G\)的轨迹是线段\(DG'\)，
又\(∵\)点\(P\)是线段\(DG\)的中点，\(∴\)点\(P\)的移动轨迹的长\(\dfrac{1}{2} DG'\)，
又\(∵CF=2\sqrt{3}，CG'=\sqrt{6}\)，
\(∴\dfrac{1}{2} DG'=\dfrac{1}{2} ×\sqrt{CF^2+CG'^2}=\dfrac{1}{2} \sqrt{12+6}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)，

即点\(P\)的移动轨迹的长为\(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\).
 

【总结】

① 动点问题，要确定图中哪些量是确定的，哪些量是变化的，变化量中谁是“运动源泉”；
② 求最值问题，常有代数法与几何法；一般根据“运动源泉”引入未知数（比如第二问中的\(AE=x\)），再用\(x\)表示所求的量；
③ 求动点轨迹，初中最常考的是直线或圆；若判断不出轨迹，可取特殊点辅助猜测出轨迹，比如第三问中，可尝试点\(E\)在点\(A，D\)和相切时的位置，看看那时点\(G\)的位置，从而判断点\(G\)的轨迹；这样也会得到思考的方向.