26年广州大学附属中学模拟考试 二次函数与圆综合

专题：综合解答题\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：二次函数与圆 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)难度系数：★★★★

经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结!

【题目】

（26年广州大学附属中学模拟考试）
已知抛物线\(y=-x^2+2x+3\)和直线\(y=k(x-1)+2\)（其中\(k<0\)），直线经过定点\(P\)，与抛物线交于\(M，N\)两点（点\(N\)在点\(M\)的右侧）.
（1）求点\(P\)的坐标；
（2）如题23-1图，当\(k=-1\)时，求证：以\(MN\)为直径的圆与直线\(l:y=-x+6\)相切；
（3）如题23-2图，若点\(P\)在线段\(MN\)上满足\(MP:PN=1:3\)，求\(k\)的值.

         

【分析】

第一问：
对于\(y=k(x-1)+2\)，当\(x=1\)时，\(y=k×0+2=2\)，即不管\(k\)取什么值，直线都过定点\(P(1,2)\)；

 

第二问：
当\(k=-1\)时，直线\(MN：y=-x+3\)；
由\(\left\{ \begin{array}{c} y=x-3\\ y=-x^2+2x+3 \end{array} \right. \)，可得\(M(0,3)，N(3,0)\)，
则\(MN=3\sqrt{2}\)，\(MN\)的中点为\(C(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2})\)，
则以\(MN\)为直径的圆是以\(C\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right)\)为圆心，半径为\(\dfrac{3\sqrt{2} }{2}\)的；
要证明圆与直线\(l:y=-x+6\)相切，只需要证明圆心\(C\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right)\)到直线\(l\)的距离为\(\dfrac{3\sqrt{2} }{2}\)；
方法1 设直线\(l\)与\(x，y\)轴分别交于点\(A\)，点\(B\)，取\(AB\)中点\(D\)，

易得\(∆AOB，∆MON\)均为等腰直角三角形，则\(O,C,D\)三点共线，且\(CD⊥AB\)，
即\(CD\)为圆心\(C\)到直线\(l\)的距离，
求得\(CD=OD-OC=3\sqrt{2} -\dfrac{3\sqrt{2} }{2}=\dfrac{3\sqrt{2} }{2}\)，所证成立；

 
方法2 设直线\(l\)与\(x，y\)轴分别交于点\(A\)，点\(B\)，过点\(N\)作\(NC⊥l\)交于点\(C\)，

易得\(∆AOB，∆MON\)均为等腰直角三角形，

所以\(∠MNO=45°，∠A=45°\)，
所以\(MN||AB\)，且\(∆ACN\)为等腰直角三角形，
所以圆心到直线\(l\)的距离为\(CN=\dfrac{\sqrt{2} }{2} NA=\dfrac{\sqrt{2} }{2} (6-3)=\dfrac{3\sqrt{2} }{2}\)；

 

第三问：
遇到\(MP:PN=1:3\)，容易想到两点
① 直接求出\(MP，PN\)的长度（用\(k\)表示），从而得到关于\(k\)的方程；
② 想到构造相似三角形；
方法1 设\(M(x_1,y_1)\)，\(N(x_2,y_2)\)，
则\(MP=\sqrt{(x_1-1)^2+(y_1-2)^2} =\sqrt{(x_1-1)^2+[k(x_1-1)+2-2]^2} =\sqrt{1+k^2} (1-x_1)\)，
同理可得\(PN=\sqrt{1+k^2} (x_2-1)\)，
所以\(MP:PN=(1-x_1 ):(x_2-1)=1:3\)，

即\(x_2-1=3(1-x_1 )⟹x_2=4-3x_1\)（※），
联立方程\(\left\{ \begin{array}{c} y=k(x-1)+2\\ y=-x^2+2x+3 \end{array} \right. \)得到\(x^2+(k-2)x-k-1=0\)，
利用求根公式得到用\(k\)表示\(x_1，x_2\)，再把其代入（※）得到关于\(k\)的方程求得\(k\)值；
 

方法2 设\(M(x_1,y_1)，N(x_2,y_2)\)，
过点\(P\)作\(y\)轴平行线\(AB\)，过点\(M\)作\(MA⊥AB\)交\(AB\)于点\(A\)，

过点\(N\)作\(NB⊥AB\)交\(AB\)于点\(B\)，

易得\(∆MAP~∆NBP\)，则\(\dfrac{MA}{BN}=\dfrac{MP}{PN}=\dfrac{1}{3}⟹\dfrac{1-x_1}{x_2-1}=\dfrac{1}{3}⟹x_2=4-3x_1\)①，
联立方程\(\left\{ \begin{array}{c} y=k(x-1)+2\\ y=-x^2+2x+3 \end{array} \right. \)得到\(x^2+(k-2)x-k-1=0\)，
所以\(x_1+x_2=2-k\)②，\(x_1 x_2=-k-1\)③，
由①②③可得关于三个未知数\(x_1,x_2,k\)的方程组，可求得\(k=-\dfrac{2\sqrt{6} }{3}\)；
 

【解答】

第一问：
对于\(y=k(x-1)+2\)，当\(x=1\)时，\(y=k×0+2=2\)，\(∴P(1,2)\)；

 

第二问：
当\(k=-1\)时，直线\(MN：y=-x+3\)；
由\(\left\{ \begin{array}{c} y=-x+3\\ y=-x^2+2x+3 \end{array} \right. \)，可得\(x^2-3x=0\)，解得\(x=0\)或\(x=3\)，
\(∴M(0,3)，N(3,0)\)，
\(∴MN\)的中点为\(C\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right)\)，\(MN=\sqrt{OM^2+ON^2} =3\sqrt{2}\)，
则以\(MN\)为直径的圆是以\(C\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right)\)为圆心，半径为\(\dfrac{3\sqrt{2} }{2}\)的；

方法1 设直线\(l\)与\(x，y\)轴分别交于点\(A\)，点\(B\)，取\(AB\)中点\(D\)，

对直线\(l:y=-x+6\)，可得\(A(6,0)，B(0,6)\)，
\(∵OA=OB\)，\(∠BOA=90^\circ\)，\(D\)是\(AB\)中点，
\(∴∠ODA=90^\circ\)，\(OD=\dfrac{1}{2} AB=3\sqrt{2}\)，
\(∵OM=ON\)，\(∠MON=90^\circ\)，\(C\)是\(MN\)中点，
\(∴∠OCN=90^\circ\)，\(OC=\dfrac{1}{2} MN=\dfrac{3\sqrt{2} }{2}\)，
\(∴\)圆心\(C\)到直线\(l\)的距离为\(CD=OD-OC=3\sqrt{2} -\dfrac{3\sqrt{2} }{2}=\dfrac{3\sqrt{2} }{2}\)，
又\(∵\)圆的半径为\(\dfrac{3\sqrt{2} }{2}\)，
\(∴\)以\(MN\)为直径的圆与直线\(l:y=-x+6\)相切；
 

方法2 设直线\(l\)与\(x，y\)轴分别交于点\(A\)，点\(B\)，过点\(N\)作\(NC⊥l\)交于点\(C\)，

对直线\(l:y=-x+6\)，可得\(A(6,0)\)，\(B(0,6)\)，
\(∵OA=OB\)，\(∠BOA=90^\circ\)，\(∴∠A=45^\circ\)，
\(∵OM=ON\)，\(∠MON=90^\circ\)，\(∴∠MNO=45^\circ\)，
\(∴MN||AB\)，
\(∴\)以\(MN\)为直径的圆的圆心到直线\(l\)的距离为\(CN\)，
而\(CN=AN\cdot \sin⁡45^\circ =\dfrac{\sqrt{2} }{2} (6-3)=\dfrac{3\sqrt{2} }{2}\)，圆的半径为\(\dfrac{1}{2} MN=\dfrac{1}{2} \sqrt{OM^2+ON^2}=\dfrac{3\sqrt{2} }{2}\)，
\(∴\)以\(MN\)为直径的圆与直线\(l:y=-x+6\)相切；

 

第三问：
方法1 设\(M(x_1,y_1)，N(x_2,y_2)\)，
则\(MP=\sqrt{(x_1-1)^2+(y_1-2)^2} =\sqrt{(x_1-1)^2+[k(x_1-1)+2-2]^2} =\sqrt{1+k^2} (1-x_1)\)，
同理可得\(PN=\sqrt{1+k^2} (x_2-1)\)，
\(∴MP:PN=(1-x_1 ):(x_2-1)=1:3\)，

即\(x_2-1=3(1-x_1 )⟹x_2=4-3x_1\)，
联立方程\(\left\{ \begin{array}{c} y=k(x-1)+2\\ y=-x^2+2x+3 \end{array} \right. \)

得到\(x^2+(k-2)x-k-1=0\)，
解得\(x_2=\dfrac{2-k+\sqrt{k^2+8} }{2}\)，\(x_1=\dfrac{2-k-\sqrt{k^2+8} }{2}\)，
\(∴\dfrac{2-k+\sqrt{k^2+8} }{2}=4-3×\dfrac{2-k-\sqrt{k^2+8} }{2}\)，

\(∴\sqrt{k^2+8} =-2k\)，解得\(k=-\dfrac{2\sqrt{6} }{3}\)或\(\dfrac{2\sqrt{6} }{3}\)，
\(∵k<0\)，\(∴k=-\dfrac{2\sqrt{6} }{3}\)；

方法2 设\(M(x_1,y_1)，N(x_2,y_2)\)，
过点\(P\)作\(y\)轴平行线\(AB\)，过点\(M\)作\(MA⊥AB\)交\(AB\)于点\(A\)，

过点\(N\)作\(NB⊥AB\)交\(AB\)于点\(B\)，

\(∵∠A=∠B=90^\circ\)，\(∠APM=∠BPN\)，\(∴∆MAP~∆NBP\)，
\(∴\dfrac{MA}{BN}=\dfrac{MP}{PN}=\dfrac{1}{3}\)，\(∴\dfrac{1-x_1}{x_2-1}=\dfrac{1}{3}\)，即\(x_2=4-3x_1\)，
联立方程\(\left\{ \begin{array}{c} y=k(x-1)+2\\ y=-x^2+2x+3 \end{array} \right. \)得到\(x^2+(k-2)x-k-1=0\)，
\(∴x_1+x_2=2-k\)，\(x_1 x_2=-k-1\)，
由\(\left\{ \begin{array}{c} x_2=4-3x_1\\ x_1+x_2=2-k \end{array} \right. \)，可得\(\left\{ \begin{array}{c} x_1=\dfrac{k}{2}+1\\ x_2=1-\dfrac{3k}{2} \end{array} \right. \)，
又\(x_1 x_2=-k-1\)，
\(∴\left(\dfrac{k}{2}+1\right)\left(1-\dfrac{3k}{2}\right)=-k-1\)，解得\(k=-\dfrac{2\sqrt{6} }{3}\)或\(\dfrac{2\sqrt{6} }{3}\)，
\(∵k<0\)，\(∴k=-\dfrac{2\sqrt{6} }{3}\).