26年深圳深中一模第20题 探究性问题

专题：探究性问题 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)题型：相似 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)难度系数：★★★★

经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结!

【题目】

（26年深圳深中一模第20题）

在\(∆ABC\)中，\(AB=BC\)，\(∠ABC=α(0^\circ<α<180^\circ)\)，点\(D\)是边\(BC\)上一点，连接\(AD\)，在\(AD\)右侧作\(∆ADE\)，使\(DE=AD\)，\(∠ADE=α\)，连接\(CE\).

【问题初探】

（1）如图1，当\(α=90^\circ\)时，请判断线段\(CE\)和线段\(BD\)的数量关系并给出证明；

小亮同学从\(α=90^\circ\)时，\(∆ABC\)与\(∆ADE\)均为等腰直角三角形，这个条件出发给出如下解题思路：通过证\(∆ABD\sim ∆ACE\)得到\(\dfrac{CE}{BD}=\dfrac{AC}{AB}\)，从而得到结论；

小新同学从猜想的结论出发给出另一种解题思路：如图2，在线段\(AB\)上截取\(BP=BD\)，连接\(DP\)，通过证明\(∆APD≅∆DCE\)，将线段\(CE\)转化为线段\(PD\)；

① 线段\(CE\)和线段\(BD\)的数量关系为 ；

② 请你选择自己喜欢的解题思路，写出证明过程；

【类比研究】

（2）如图3，当\(90^\circ<α<180^\circ\)，\(AB=8\)，\(CD=5\)，\(AC=12\)，求\(CE\)的长；

【拓展延伸】

（3）如图4，当\(α=120^\circ\)时，过点\(C\)作\(CE||AB\)交\(AE\)于点\(F\)，若\(AB=6\)，\(CF=DF\)，求\(CD\)的长.

 
 
 
 
 

【分析】

第一问：

① 答案为\(CE=\sqrt{2} BD\)；

② 方法1 小亮同学的方法

\(∆ABC\)与\(∆ADE\)均为等腰直角三角形
\(⇒\left\{ \begin{array}{c} \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AE}{AD}=\sqrt{2}⇒\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AB}{AD}\\ ∠BAC=∠DAE=45^\circ⇒∠BAD=∠CAE \end{array} \right.\)
\(⇒∆ABD\sim ∆ACE⇒\dfrac{CE}{BD}=\dfrac{AC}{AB}=\sqrt{2}\)；

 

方法2 小新同学的方法

\(\left\{ \begin{array}{c} ∠ABD=∠ADE=90^\circ\\ ∠ABD+∠BAD=∠ADE+∠EDC \end{array} \right. ⇒∠PAD=∠EDC\)，

\(\left\{ \begin{array}{c} AB=BC\\ BP=BD \end{array} \right. ⇒AP=DC\)，

又\(AD=DE\)，\(∴∆APD≅∆DCE⇒CE=PD\)，

\(\left\{ \begin{array}{c} ∠ABD=90^\circ\\ BP=BD \end{array} \right. ⇒PD=\sqrt{2} BD⇒CE=\sqrt{2} BD\)，

 

第二问：

根据第一问思路，\(∆ABC\)与\(∆ADE\)是顶角相等的等腰三角形，

易得\(∆ABD\sim ∆ACE\)，则\(\dfrac{CE}{BD}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}⇒CE=\dfrac{3}{2} BD=\dfrac{3}{2}×3=\dfrac{9}{2}\)；

 

第三问：

分析已知

①\(α=120^\circ\)，\(AB=6⇒∆ABC\)是确定的，易得\(AC=6\sqrt{3}\)，

②\(CE||AB⇒∠FCD=60^\circ\)，又\(CF=DF\)，所以\(∆CFD\)是等边三角形；

③ 根据前面的思路能够得到：

\(∆ABC\)与\(∆ADE\)是顶角为\(120^\circ\)的等腰三角形，它们相似，\(∠BAC=∠BCA=∠DAE=∠DEA=30^\circ\)，

继续证明\(∆ABD\sim ∆ACE\)，则\(\dfrac{CE}{BD}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\)，

分析求证

求\(CD\)的长，要不直接求，要不设元列方程求解，本题感觉应该是后者；

设\(CD=x\)，则\(BD=6-x\)，\(CE=\sqrt{3}(6-x)\)，

接着要得到关于\(x\)的方程，一般根据勾股定理或相似对应边成比例或等量代换等方法.

（其中等量代换最常见就是同一线段用两条含\(x\)的式子表示）

综合再分析，寻找关于\(x\)的方程，技巧性较强，看解题过程.
 

【解答】

第一问：

① 答案为\(CE=\sqrt{2} BD\)；

② 证明

方法1 小亮同学的方法

\(∵α=90^\circ\)，\(AB=BC\)，\(DE=AD\)，

\(∴∆ABC\)与\(∆ADE\)均为等腰直角三角形，

\(∴∠BAC=∠DAE=45^\circ\)，\(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AE}{AD}=\sqrt{2}\)，

\(∴∠BAD=∠CAE\)，\(\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AB}{AD}\)，

\(∴∆ABD\sim ∆ACE\)，

\(∴\dfrac{CE}{BD}=\dfrac{AC}{AB}=\sqrt{2}\)，即\(CE=\sqrt{2} BD\)；
 

方法2 小新同学的方法

在线段\(AB\)上截取\(BP=BD\)，连接\(DP\)，

\(∴∠BPD=∠PDB=45^\circ\)，\(PD=\sqrt{2} BD\)，

\(∵AB=BC\)，\(∴AP=DC\)，

\(∵∠ABD=∠ADE=90^\circ\)，\(∠ABD+∠BAD=∠ADE+∠EDC\)，

\(∴∠PAD=∠EDC\)，

又\(AD=DE\)，\(∴∆APD≅∆DCE\),

\(∴CE=PD\)，

\(∴CE=\sqrt{2} BD\)；
 

第二问：

\(∵BC=AB=8\)，\(CD=5\)，\(∴BD=3\)，

\(∵AB=BC\)，\(AD=DE\)，\(∴\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}\)，

又\(∵∠ABC=∠ADE\)，\(∴∆ABC\sim ∆ADE\)，

\(∴\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}\)，\(∠BAC=∠DAE\)，

\(∴∠BAD=∠CAE\)，

又\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}\)，\(∴∆ABD\sim ∆ACE\)，

\(∴\dfrac{CE}{BD}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}\)，

\(∴CE=\dfrac{3}{2} BD=\dfrac{3}{2}×3=\dfrac{9}{2}\)；

 

第三问：

\(∵AB=BC=6\)，\(∠ABC=120^\circ\)，\(∴AC=6\sqrt{3}\)，

\(∵AB=BC\)，\(AD=DE\)，\(∴\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}\)，

又\(∵∠ABC=∠ADE\)，\(∴∆ABC\sim ∆ADE\)，

\(∴\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}\)，\(∠BAC=∠DAE\)，

\(∴∠BAD=∠CAE\)，

又\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}\)，\(∴∆ABD\sim ∆ACE\)，

\(∴\dfrac{CE}{BD}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\)，即\(CE=\sqrt{3} BD\)，

\(∵CE||AB\)，\(∴∠FCD=180^\circ-∠ABC=60^\circ\)，

又\(CF=DF\)，所以\(∆CFD\)是等边三角形，

又\(∵∠BCA=30^\circ\)，

\(∴∠FCA=30^\circ=∠ACD\)，即\(AC\)为\(∠FCD\)的角平分线，

又\(CD=CF\)，\(∴AC\)是线段\(DF\)的垂直平分线，

\(∴∠FAC=\dfrac{1}{2}∠FAD=\dfrac{1}{2}×30^\circ=15^\circ\)，

\(∴∠EFC=∠FAC+∠FCA=15^\circ+30^\circ=45^\circ\)，

\(∵∆ABD\sim ∆ACE\)，\(∴∠ACE=∠ABC=120^\circ\)，

\(∴∠FCE=∠ACE-∠FCA=120^\circ-30^\circ=90^\circ\)，

\(∴∠FEC=45^\circ\)，\(∴CE=CF\)，

设\(CD=x\)，则\(CF=CD=x\)，\(BD=6-x\)，\(CE=\sqrt{3}(6-x)\)，

\(∴\sqrt{3} (6-x)=x\)，解得\(x=9-3\sqrt{3}\)，

即\(CD=9-3\sqrt{3}\).