2026中山 纪中一模压轴题 一线三垂直+四边形存在性问题

专题：综合与发现\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)题型：一线三垂直+四边形存在性问题\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)难度系数：★★★

经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结!

【题目】

（202年中山纪中一模）
综合与探索
【探索发现】如图\(1\)，等腰直角三角形\(ABC\)中，\(∠ACB=90^\circ\)，\(CB=CA\)，过点\(A\)作\(AD⊥l\)交于点\(D\)，过点\(B\)作\(BE⊥l\)交于点\(E\)，易得\(∆ADC≅∆CEB\)，我们称这种全等模型为“\(k\)型全等”.（不需要证明）
【迁移应用】如图\(2\)，在直角坐标系中，直线\(l_1:y=2x+4\)分别与\(y\)轴，\(x\)轴交于点\(A，B\)，
（1）直接写成\(OA=\)，\(OB=\)；
（2）在第二象限构造等腰直角\(∆ABE\)，使得\(∠BAE=90^\circ\)，则点\(E\)的坐标为；

（3）如图3，将直线\(l_1\)绕点\(A\)顺时针旋转\(45^\circ\)得到\(l_2\)，求\(l_2\)的函数表达式；
（4）如图4，直线\(AB：y=2x+8\)分别交\(x\)轴，\(y\)轴于\(A，B\)两点，点\(C\)在第二象限内一点，在平面内是否存在一点\(D\)，使以\(A,B,C,D\)为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点\(D\)的坐标；若不存在，请说明理由.

 
 
 
 
 

【分析】

第一问： 易得\(OA=4\)，\(OB=2\)；
第二问： 过\(E\)作\(EF⊥y\)轴交于点\(F\)，由“\(k\)型全等”模型可得\(∆AEF≅∆BAO\)，
则\(EF=OA=4\)，\(AF=OB=2\)，所以点\(E(-4,6)\)；

第三问： 已知点\(A(0,4)\)，故要求\(l_2\)的函数表达式，仅需再求直线\(l_2\)上另外一点坐标便可；
设直线\(l_2\)交\(x\)轴于点\(C\)；
遇到\(45^\circ\)应该想到构造等腰直角三角形，
方法\(1\)过点\(B\)作\(BC⊥l_2\)交于点\(D\)；方法\(2\)过点\(C\)作\(CF⊥l_1\)交于点\(F\)；
方法\(1\) 要求点\(D\)的坐标，具体又有几种方法，
①思路承接第二问，其实易得点\(D\)是\(BE\)的中点，故点\(D(-3,3)\)，
又点\(A(0，4)\)，求得\(l_2\)的函数表达式：\(y=\dfrac{1}{3} x+4\)；

②过点\(D\)作\(MN⊥x\)轴交于点\(N\)，过点\(A\)作\(AM⊥MN\)轴交于点\(M\)，

由“\(k\)型全等”模型可得\(∆AMD≅∆DNB\)，所以\(MD=NB\)，\(AM=DN\)，
设\(NB=x\)，\(DN=y\)，

则有\(\left\{ \begin{array}{c} y=x+2\\ x+y=4 \end{array} \right.⇒ \left\{ \begin{array}{c} x=1\\ y=3 \end{array} \right.\)，所以\(D(-3，3)\)，
又点\(A(0，4)\)，则\(l_2\)的函数表达式：\(y=\dfrac{1}{3} x+4\)；

③设点\(D(a，b)\)，因为等腰直角三角形\(ABD\)斜边\(AB=2\sqrt{5}\)，所以\(AD=BD=\sqrt{10}\)，
由两点距离公式可得\(\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{a^2+(b-4)^2} =\sqrt{10} \\ \sqrt{(a+2)^2+b^2} =\sqrt{10} \end{array} \right.⇒ \left\{ \begin{array}{c} a=-3\\ b=3 \end{array} \right.\)，

所以\(D(-3，3)\)，
又点\(A(0，4)\)，则\(l_2\)的函数表达式：\(y=\dfrac{1}{3} x+4\)；
 

方法2 过点\(C\)作\(CF⊥l_1\)交于点\(F\)；

由图易得\(∆AOB~∆CFB\)，所以\(\dfrac{CF}{BF}=\dfrac{OA}{OB}=2⟹CF=2BF\)，

设\(BF=m\)，则\(CF=2x\)，
\(∆ACF\)是等腰直角三角形，所以\(AF=CF\)，所以\(AB=x\)，

而\(AB=2\sqrt{5}\)，即\(x=2\sqrt{5}\)，
又\(CB=\sqrt{CF^2+BF^2} =\sqrt{5} x=10\)，所以\(C(-12，0)\)，
又点\(A(0，4)\)，所以\(l_2\)的函数表达式：\(y=\dfrac{1}{3} x+4\)；
 

第四问：
满足题意的点\(D\)是有多个，最重要的是如何确保找到所有的点，有两种方式可以作到；
方式1 对线段\(AB\)是正方形的边还是对角线分类讨论；
（1）当\(AB\)是正方形的边，点\(D\)要不在过点\(A\)的\(AB\)垂线上(左图)，要不就在过点\(B\)的\(AB\)垂线上(右图)，此时利用“\(k\)型全等”易求得点\(D_1 (-12，4)\)和\(D_2 (-8，12)\)；

$\qquad \qquad \qquad \qquad$

（2）当\(AB\)是正方形的斜边，点\(D\)满足\(BD=AD=\dfrac{\sqrt{2} }{2} AB=2\sqrt{10}\)，

求解的方法也可用“\(k\)型全等”模型，构造下图得\(∆BFD≅∆AED\)，设点\(D_3 (m，n)\)，
则有\(\left\{ \begin{array}{c} m+4+n=8\\ m=n \end{array} \right.⇒ \left\{ \begin{array}{c} m=2\\ n=2 \end{array} \right.\)，所以\(D_3 (2，2)\)；

方式2 以\(A，B，C，D\)为顶点的四边形，从四边形的命名入手（假设都是逆时针次序），
有\(ABCD\)，\(ABDC\)，\(ACBD\)，\(ACDB\)，\(ADBC\)，\(ADCB\)六种，
其中得到\(ABCD_1\)，\(ABD_2 C\)，\(AD_3 BC\)三种情况是符合题意的.
 

【解答】

第一问：

对函数\(y=2x+4\)，令\(x=0\)得\(y=4\)，即点\(A(0，4)\)、\(OA=4\)；
令\(y=0\)得\(2x+4=0⇒x=-2\)，即点\(B(-2，0)\)、\(OB=2\)；
 

第二问：

过\(E\)作\(EF⊥y\)轴交\(y\)轴于点\(F\)，

由“\(k\)型全等”模型可得\(∆AEF≅∆BAO\)，

则\(EF=OA=4\)，\(AF=OB=2\)，所以点\(E(-4，6)\)；
 

第三问：
方法1 设点\(E(-4，6)\)，连接\(BE\)，交直线\(l_2\)于点\(D\)，

由（2）可知\(∆ABE\)是等腰直角三角形，
\(∴∠BAE=90^\circ\)，\(AE=AB\)，
又\(∵∠BAD=45^\circ\)，

\(∴∠EAD=45^\circ=∠BAD\)，即\(AD\)是\(∠EAD\)的角平分线，
又\(∵AE=AB\)，\(∴\)点\(D\)是\(BE\)的中点，
\(∵E(-4，6)\)，\(B(-2，0)\)，
\(∴D(-3，3)\)，
设\(l_2\)的函数表达式：\(y=kx+b\)；
代入\(D(-3，3)\)，\(A(0，4)\)得\(\left\{ \begin{array}{c} -3k+b=3\\ b=4 \end{array} \right. \)，解得\(\left\{ \begin{array}{c} k=-\dfrac{1}{3}\\ b=4 \end{array} \right.\)，
即l\(l_2\)的函数表达式：\(y=\dfrac{1}{3} x+4\)；

 

方法2 过\(B\)作\(BD⊥l_2\)交于点\(D\)，过点\(D\)作\(MN⊥x\)轴交于点\(N\)，过点\(A\)作\(AM⊥MN\)轴交于点\(M\)，

\(∵∠BAD=45^\circ\)，\(BD⊥AD\)，\(∴∆ADB\)是等腰三角形，
由“\(k\)型全等”模型可得\(∆AMD≅∆DNB\)，所以\(MD=NB\)，\(AM=DN\)，
设\(NB=x\)，\(DN=y\)，则\(MN=x+y\)，
则有\(\left\{ \begin{array}{c} y=x+2\\ x+y=4 \end{array} \right.⇒ \left\{ \begin{array}{c} x=1\\ y=3 \end{array} \right.\)，所以\(D(-3，3)\)，
接着同方法\(1\)可得\(l_2\)的函数表达式：\(y=\dfrac{1}{3} x+4\)；
 

方法3 设点\(D(a，b)\)，因为等腰直角三角形\(ABD\)斜边\(AB=2\sqrt{5}\)，所以\(AD=BD=\sqrt{10}\)，
由两点距离公式可得\(\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{a^2+(b-4)^2} =\sqrt{10} \\ \sqrt{(a+2)^2+b^2} =\sqrt{10} \end{array} \right.⇒ \left\{ \begin{array}{c} a=-3\\ b=3 \end{array} \right.\)，

所以\(D(-3，3)\)，
接着同方法\(1\)可得\(l_2\)的函数表达式：\(y=\dfrac{1}{3} x+4\)；
 

方法4 过点\(C\)作\(CF⊥l_1\)交于点\(F\)，

\(∵∠F=∠O=90^\circ\)，\(∠CBF=∠ABO\)，
\(∴∆AOB~∆CFB\)，\(∴\dfrac{CF}{BF}=\dfrac{OA}{OB}=2\)，即\(CF=2BF\)，
设\(BF=m\)，则\(CF=2x\)，
\(∵∆ACF\)是等腰直角三角形，\(∴AF=CF\)，\(∴AB=x\)，
而\(AB=2\sqrt{5}\)，即\(x=2\sqrt{5}\)，

又\(CB=\sqrt{CF^2+BF^2} =\sqrt{5} x=10\)，
\(∴OC=OB+BC=2+10=12\)，\(∴C(-12，0)\)，
接着同方法\(1\)可得\(l_2\)的函数表达式：\(y=\dfrac{1}{3} x+4\)；
 

第四问：
对函数\(y=2x+8\)，令\(x=0\)得\(y=8\)，即点\(B(0，8)\)、\(OB=8\)；
令\(y=0\)得\(2x+8=0⇒x=-4\)，即点\(A(-4，0)\)、\(OA=4\)；
①当\(AB⊥AD_1\)时，过点\(D_1\)作\(D_1 E⊥x\)轴，

由“\(k\)型全等”模型，可得\(∆BFD≅∆AED\)，
\(∴AE=OB=8\)，\(D_1 E=OA=4\)，
\(∴OE=12\)，\(∴D_1 (-12，4)\)；
②当\(AB⊥BD_2\)时，过点\(D_2\)作\(D_2 E⊥y\)轴，

与求\(D_1\)方法类似可得\(D_2 (-8，12)\)；

③当\(AB\)是正方形的斜边时，点\(D\)满足\(BD=AD=\dfrac{\sqrt{2} }{2} AB=2\sqrt{10}\)，

由“\(k\)型全等”模型可得得\(∆BFD≅∆AED\)，设点\(D_3 (m，n)\)，
则有\(\left\{ \begin{array}{c} m+4+n=8\\ m=n \end{array} \right.⇒ \left\{ \begin{array}{c} m=2\\ n=2 \end{array} \right.\)，所以\(D_3 (2，2)\)；

综上所述，点\(D\)的坐标为\((-12，4)\)或\((-8，12)\)或\((2，2)\).
 

【总结】

1 “综合与发现”型问题，理解【探索发现】给出的新概念或新模型是关键；在解题过程中要确定哪里存在“该模型”，所有问题都应该是“追寻”该模型找到解题思路；
2 求一个点\(A\)的坐标，一般有几种思路：
① 过\(A\)作\(x\)轴或\(y\)轴，把求点坐标的问题转化为求两条线段的问题；
② 设元，设点\(A(x，y)\)，根据题意得到关于\(x，y\)的方程组；
③ 若点\(A\)在某个函数图象上，也利用设元方法.
3 关于平行四边形的存在性问题，若要分类讨论，可以从线段是平行四边形的边还是对角线进行分类讨论，也可以从平行四边形的命名入手.