26佛山禅城中考数学一模第23题 相似证明+函数表示

专题：几何\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)题型：相似证明+函数表示 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)难度系数：★★★★

经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结!

【题目】

（26佛山禅城中考数学一模第23题）
已知：正方形\(ABCD\)的边长为\(6\)，点\(E\)为\(AB\)边上的动点（不与点\(A、B\)重合），记\(AE=x\)，\(∆ADE\)外接圆与对角线\(AC\)交于点\(F\)，连接\(DF、EF\).
（1）由题23图1，试说明\(∆DEF\)是等腰直角三角形.
（2）\(DE\)与\(AC\)交于点\(G\)，将\(∆EFD\)沿\(EF\)翻折得到\(∆EFM\).
① 如题23图2，连接\(DM\)交\(EF\)于点\(N\)，当\(x=3\)时，求\(\tan ⁡∠EDM\)的值并证明\(MF^2=MD\cdot MN\).
② 如题23图3，设\(S=S_{∆ADG}-S_{∆EFM}\)，求\(S\)与\(x\)之间的函数关系式.

             

【分析】

第一问：
要证明\(∆DEF\)是等腰直角三角形，只需要证明\(DF=EF\)且\(∠DFE=90^\circ\)，
方法1 由同弧所对的圆周角相等，就可得到\(∠FED=∠DAC=45^\circ\)，\(∠FDE=∠CAB=45^\circ\)；
方法2 过点\(F\)作\(GH⊥CD\)交\(CD\)与点\(R\)，交\(AB\)与点\(H\)，利用一线三垂直模型就可以；

这个方法较为麻烦，但它能给后续问题提供参考；
 

第二问：
（1）分析已知
①\(x=3\)：\(E\)为\(AB\)中点，图中各几何量都是确定的，\(DE=3\sqrt{5}\)，\(DF=EF=\dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}\)，\(∆AEG\sim ∆CDG\)且相似比为\(1:2⟹DG=2GE\)，
②\(∆EFD\)沿\(EF\)翻折得到\(∆EFM\)：\(∆EFD≅∆EFM⟹\left\{ \begin{array}{c} ∠FEM=∠FEG=45^\circ\\ ∠MFE=∠GFE\\ EG=EM \end{array} \right. ⟹∠DEM=90^\circ\)，

 

（2）分析求证
①\(\tan ⁡∠EDM\)的值：因为\(∠FEM=90^\circ\)，所以\(\tan ⁡∠EDM=\dfrac{ME}{ED}=\dfrac{1}{3}\)；
② 证明\(MF^2=MD\cdot MN\)：
只需要证明\(∆MNF\sim ∆MFD\)，又因为它们有个公共角\(∠FMD\)，
所以只需要证明\(∠FDM=∠MFE\)，
又因为\(∠MFE=∠EFA=∠ADE\)，所以只需要证明\(∠FDM=∠ADE\)，
由于该题先求出了\(\tan ⁡∠EDM=\dfrac{1}{3}\)，那该证明应该会用上这个结论；

 

此时有3个思路：
（i）因为\(\tan ⁡∠ADE=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)，
那我们只需要证明\(\tan ⁡∠FDN=\dfrac{FN}{DF}=\dfrac{1}{2}⟹DF=2FN⟹N\)是\(EF\)的中点；
（ii）因为\(∠FDE=45^\circ\)，所以只需要证明\(∠ADM=45^\circ\)，即点\(M\)在\(BD\)上；
（iii）因为\(∠FDE=45^\circ\)，所以只需要证明\(∠ADM=45^\circ⟺∠CDM=45^\circ⟺∠CDF=∠MDE\)；
具体过程，技巧性较强，请看解答.
 

第三问：
分析求证：\(S=S_{∆ADG}-S_{∆EFM}\)用\(x\)表示，
直接把\(S_{∆ADG}、S_{∆EFM}\)的面积表示有些难度，应该用转移的方法处理，
比如利用相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方、同高的三角形面积之比等于底的比、割补法等技巧；
思路主要有2个：

方法1 利用割补法
过点\(F\)作\(FH⊥AB\)交\(AB\)于点\(H\)，

\(S=S_{∆ADG}-S_{∆EFM}=S_{∆ADE}-S_{∆AEF}=3x-\dfrac{1}{2} AE\cdot FH=3x-\dfrac{x}{2}\cdot FH\)，
接着只需要用\(x\)表示\(FH\)，
易得\(DE^2=x^2+36\)，\(EF^2=\dfrac{DE^2}{2}=\dfrac{x^2+36}{2}\)，
在\(Rt∆EFH\)中，
\(FH^2+(AH-x)^2=\dfrac{x^2+36}{2}⟹FH^2+(FH-x)^2=\dfrac{x^2+36}{2}\)\(⟹2FH^2-2x\cdot FH+\dfrac{x^2-36}{2}=0\)，
利用一元二次方程的求根公式，求得用\(x\)表示\(FH\)的式子；
最终得到\(S=-\dfrac{1}{4} x^2+\dfrac{3}{2} x\)；
 

方法2 \(S=S_{∆ADG}-S_{∆EFM}=S_{∆ADG}-S_{∆EFG}\)，
关注到\(∆CDG\sim ∆AEG\)，且相似比\(\dfrac{DG}{GE}=\dfrac{6}{x}\)，
则\(S_{∆ADG}=\dfrac{6}{x+6} S_{∆ADE}=\dfrac{18x}{x+6}\)，\(S_{∆EFG}=\dfrac{x}{x+6} S_{∆DEF}=\dfrac{x}{x+6}\cdot \dfrac{1}{2} DF^2=\dfrac{x}{2}(x+6) \cdot \dfrac{DE^2}{2}=\dfrac{x(x^2+36)}{4(x+6) }\)，
则\(S=S_{∆ADG}-S_{∆EFG}=\dfrac{18x}{x+6}-\dfrac{x(x^2+36)}{4(x+6) }=-\dfrac{1}{4} x^2+\dfrac{3}{2} x\)；
 
 

【解答】

第一问：
方法1 \(∵ABCD\)是正方形，\(∴∠DAC=45^\circ\)，\(∠CAE=45^\circ\)，
\(∵ \overset{\frown}{DF} = \overset{\frown}{DF}\)，\(\overset{\frown}{EF} = \overset{\frown}{EF}\)，
\(∴∠FED=∠DAC=45^\circ\)，\(∠FDE=∠CAB=45^\circ\)，
\(∴DF=EF\)且\(∠DFE=90^\circ\)，

\(∴∆DEF\)是等腰直角三角形.

 

方法2
过点\(F\)作\(FH⊥CD\)交\(CD\)与点\(R\)，交\(AB\)与点\(H\)，

\(∵∠CDA=∠DAB=∠DRH=90^\circ\)，
\(∴\)四边形\(DRHA\)是矩形，\(∴DR=AH\)，
\(∵ABCD\)是正方形，\(∴∠CAB=45^\circ\)，
\(∴AH=FH\)，\(∴DR=FH\)，
\(∵∠DAB+∠DFE=180^\circ\)，\(∴∠DFE=90^\circ\)，
\(∴∠DFR+∠EFH=90^\circ\)，
\(∴∠DFR=∠FEH\)，
\(∴∆DRF≅∆FHE\)，
\(∴DF=EF\)，
\(∴∆DEF\)是等腰直角三角形.
 

第二问：

\(∵ABCD\)是正方形，\(∴AB||CD\)，
\(∴∠CAE=∠DCA\)，\(∠CDG=∠AEG\)，

\(∴∆AEG\sim ∆CDG\)，
\(∴\dfrac{DG}{EG}=\dfrac{DC}{AE}=\dfrac{6}{3}=2\)，\(∴ED=3GE\)，
\(∵∆EFD≅∆EFM\)，\(∴ME=GE\)，\(∠FEM=∠FEG=45^\circ\)，
\(∴∠DEM=90^\circ\)，
所以\(\tan ⁡∠EDM=\dfrac{ME}{ED}=\dfrac{GE}{3GE}=\dfrac{1}{3}\)；
 

方法1 连接\(GM\)交\(EF\)于\(T\)，

\(∵∆EFD≅∆EFM\)，\(∴GF=MF\)，\(GE=EM\)，
\(∴EF\)是线段\(GM\)的中垂线，
又\(∵∠DFE=90^\circ\)，\(∴GT||DF\)，\(∴\dfrac{ET}{FT}=\dfrac{GE}{DG}=\dfrac{1}{2}\)，\(\dfrac{GT}{DF}=\dfrac{GE}{DE}=\dfrac{1}{3}\)，

又\(∵MT=GT\)，\(∴\dfrac{MT}{DF}=\dfrac{GT}{DF}=\dfrac{1}{3}\)，
又\(∵TM||DF\)，\(∴\dfrac{NT}{NF}=\dfrac{MT}{DF}=\dfrac{1}{3}\)，

设\(NT=a\)，则\(NF=3a\)，\(FT=4a\)，\(ET=\dfrac{1}{2} FT=2a\)，\(EN=ET+NT=2a+a=3a\)，
\(∴NF= EN\)，\(∴NF=\dfrac{1}{2} EF=\dfrac{1}{2} DF\)，
\(∴\tan ⁡∠FDN=\dfrac{NF}{DF}=\dfrac{1}{2}\)，
又\(∵\tan ⁡∠ADE=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{1}{2}\)，\(∴∠FDN=∠ADE\)，
又\(∵∠ADE=∠AFE=∠MFE\)，\(∴∠FDN=∠MFE\)，
又\(∵∠FMD=∠FMD\)，\(∴∆FDM\sim ∆NFM\)，
\(∴\dfrac{MF}{MN}=\dfrac{MD}{MF}\)，即\(MF^2=MD\cdot MN\).
 

方法2 过点\(F\)作\(FH⊥CD\)交\(CD\)与点\(R\)，交\(AB\)与点\(H\)，

由第一问的方法2可知\(∆DRF≅∆FHE\)，\(∴RF=EH\)，\(DR=FH\)，
\(∵ABCD\)是正方形，\(∴∠CAB=45^\circ\)，\(∴FH=AH\)，
设\(EH=a\)，则\(AH=FH=3+a\)，\(RH=RF+FH=EH+AH=a+3+a=2a+3\)，
又\(RH=AD=6\)，
\(∴2a+3=6\)，解得\(a=\dfrac{3}{2}\)，
\(∴\tan ⁡∠RDF=\dfrac{RF}{DR}=\dfrac{a}{3+a}=\dfrac{\frac{3}{2}}{3+\frac{3}{2}}=\dfrac{1}{3}=\tan ⁡∠MDE\)，
\(∴∠RDF=∠MDE\)，
\(∴∠MDC=∠MDF+∠RDF=∠MDF+∠MDE=∠FDE=45^\circ\)，
\(∴∠ADM=45^\circ\)，
又\(∵∠FDE=45^\circ\)，
\(∴∠FDM=∠ADE\)，
又\(∵∠ADE=∠AFE=∠MFE\)，\(∴∠FDN=∠MFE\)，
又\(∵∠FMD=∠FMD\)，\(∴∆FDM\sim ∆NFM\)，
\(∴\dfrac{MF}{MN}=\dfrac{MD}{MF}\)，即\(MF^2=MD\cdot MN\).
 

方法3 过点\(M\)作\(MT⊥AB\)交\(AB\)与点\(T\)，

\(∵∠DEM=90^\circ\)，\(∴∠DEA+∠MET=90^\circ\)，
又\(∵∠MET+∠EMT=90^\circ\)，
\(∴∠DEA=∠EMT\)，
又\(∵∠DAE=∠MTE=90^\circ\)，
\(∴∆ADE\sim ∆TEM\)，
\(∴\dfrac{ET}{AD}=\dfrac{MT}{AE}=\dfrac{EM}{DE}=\dfrac{1}{3}\)，即\(\dfrac{ET}{6}=\dfrac{MT}{3}=\dfrac{EM}{DE}=\dfrac{1}{3}\)，
\(∴ET=2\)，\(MT=1\)，
\(∴TB=1=MT\)，\(∴∠MBT=45^\circ\)，
\(∴D、M、B\)三点共线，\(∴∠ADM=45^\circ\)，
又\(∵∠FDE=45^\circ\)，\(∴∠FDN=∠ADE\)，
又\(∵∠ADE=∠AFE=∠MFE\)，\(∴∠FDN=∠MFE\)，
又\(∵∠FMD=∠FMD\)，\(∴∆FDM\sim ∆NFM\)，
\(∴\dfrac{MF}{MN}=\dfrac{MD}{MF}\)，即\(MF^2=MD\cdot MN\).
 

第三问：
方法1 过点\(F\)作\(FH⊥AB\)交\(AB\)于点\(H\)，

\(S=S_{∆ADG}-S_{∆EFM}=S_{∆ADE}-S_{∆AEF}=3x-\dfrac{1}{2} AE\cdot FH\)
\(=3x-\dfrac{1}{2}\cdot x\cdot FH=3x-\dfrac{x}{2}\cdot FH\)，
在\(Rt∆ADE\)中，\(DE^2=x^2+36\)，
\(∵∆DEF\)是等腰直角三角形，\(∴EF^2=\dfrac{DE^2}{2}=\dfrac{x^2+36}{2}\)，
在\(Rt∆EFH\)中，\(FH^2+(AH-x)^2=\dfrac{x^2+36}{2}\)，
又\(∵∠CAB=45^\circ\)，\(∴AH=FH\)，
\(∴FH^2+(FH-x)^2=\dfrac{x^2+36}{2}\)，化简得\(2FH^2-2xFH+\dfrac{x^2-36}{2}=0\)，
\(∴FH=\dfrac{2x±\sqrt{4x^2-4\cdot 2\cdot \dfrac{x^2-36}{2}}}{4}=\dfrac{2x±12}{4}=\dfrac{x±6}{2}\)，
\(∵0<x<6\)，\(∴FH=\dfrac{x+6}{2}\)，
\(∴S=3x-\dfrac{x}{2}\cdot FH=3x-\dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{x+6}{2}=-\dfrac{1}{4} x^2+\dfrac{3}{2} x\)，且\(0<x<6\)；
 

方法2

\(S=S_{∆ADG}-S_{∆EFM}=S_{∆ADG}-S_{∆EFG}\)，
\(∵∆CDG\sim ∆AGE\)，且\(\dfrac{DG}{GE}=\dfrac{CD}{AE}=\dfrac{6}{x}\)，
\(∴S_{∆ADG}=\dfrac{6}{x+6} S_{∆ADE}=\dfrac{18x}{x+6}\)，
\(S_{∆GEF}=\dfrac{x}{x+6} S_{∆DEF}=\dfrac{x}{x+6}\cdot \dfrac{1}{2} DF^2=\dfrac{x}{2}(x+6) \cdot \dfrac{DE^2}{2}=\dfrac{x(x^2+36)}{4(x+6) }\)，
\(∴S=S_{∆ADG}-S_{∆EFG}\)
\(=\dfrac{18x}{x+6}-\dfrac{x(x^2+36)}{4(x+6) }=\dfrac{x}{x+6} (18-\dfrac{x^2+36}{4})=\dfrac{x}{x+6}\cdot \dfrac{36-x^2}{4}=-\dfrac{1}{4} x^2+\dfrac{3}{2} x\)，且\(0<x<6\).