25年广州中考压轴题 动点最值+相似+隐圆

专题：几何 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：动点最值+相似+隐圆 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)难度系数：★★★★

经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结!

【题目】

(2025•广州) 如图1，\(AC=4\)，\(O\)为\(AC\)中点，点\(B\)在\(AC\)上方，连接\(AB\)，\(BC\)．

(1)尺规作图：作点\(B\)关于点\(O\)的对称点\(D\)(保留作图痕迹，不写作法)，连接\(AD\)、\(DC\)，并证明四边形\(ABCD\)为平行四边形；

(2)如图2，延长\(AC\)至点\(F\)，使得\(CF=AC\)，当点\(B\)在直线\(AC\)的上方运动，直线\(AC\)的上方有异于点\(B\)的动点\(E\)，连接\(EA\)，\(EB\)，\(EC\)，\(EF\)，若∠AEC=45^\circ ，且△ABC\sim △FCE．

① 求证：△ABC\sim △CBE；

② CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

         

【分析】

第一问：

联想到平行四边形的判定定理，由于点\(O\)为\(AC\)中点，容易想到“对角线相互平分的四边形是平行四边形”.

第二问：

可先利用画图的思路理解题意，

① 画出\(AC=CF=4\)，

② 由\(∠AEC=45^\circ\)，\(AC=4\)可知点E的轨迹是固定圆的一段优弧，

③ 一旦点\(E\)确定后，\(∠F、∠CEF\)就确定，由于\(△ABC\sim △FCE\)，则\(∠BAC=∠F\)、\(∠BCA=∠CEF\)就可以确定点\(B\)的位置.

即本题动点问题的“运动源泉”是点\(E\).

分析已知

①\(∠AEC=45^\circ\)，\(AC=4\)：确定点E的轨迹，对该问应该没有影响；

②\(O\)为\(AC\)中点：由作图过程可知，该问与之无关；

③\(CF=AC\)：应该是用于线段之间的转化的；

④\(△ABC\sim △FCE\)：想到相似三角形的性质，\(∠BAC=∠F\)、\(∠BCA=∠CEF\)、\(\dfrac{AB}{FC}=\dfrac{AC}{FE}=\dfrac{BC}{CE}\)；

结合图形，由\(∠ACE=∠F+∠CEF=∠ECB+∠ACB⇒∠BCE=∠BAC\)，

分析求证：

证明\(△ABC\sim △CBE\)：由分析，已知\(∠BCE=∠BAC\)，只需要再证明另外一组对应角相等或\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BC}{CE}\).

在思考的过程中，也可以思考下第一问是否对其有所提示的信息.
 

第三问：

由上面的作图过程，可知点\(B\)是个动点，因点E而动；

判定\(CB\)的长是否存在最大值，求其最值，有两个思路：

① 求出点\(B\)的轨迹；

② 转移，把线段\(CB\)的最大值问题转移为另外一条线段；那条线段与\(CB\)存在倍数或线性关系，它应该与\(△AEC\)的外接圆有关.

 

【解答】

第一问：

解：如图，连接\(BO\)并延长，在\(BO\)的延长线上截取\(OD=OB\)，点\(D\)即为所作，

\(∵O\)为\(AC\)中点，\(∴AO=OC\)，根据作图可得\(BO=OD\)，

\(∴\)四边形\(ABCD\)为平行四边形，

方法2 作\(∠CAD=∠BCA\)，\(CD=BC\)，即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
 

第二问：

①\(∵△ABC\sim △FCE\)，\(∴∠F=∠BAC\)，\(∠ACB=∠FEC\)，

\(∵∠ACE=∠F+∠CEF=∠ECB+∠ACB\)，

\(∴∠BCE=∠F=∠BAC\)，

\(∵△ABC\sim △FCE\)，\(∴\dfrac{AB}{FC}=\dfrac{BC}{CE}\)且\(CF=AC\)，

\(∴\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BC}{CE}\)，

\(∴△ABC\sim △CBE\)；

 

第三问：

②方法1 \(∵ABCD\)是平行四边形，\(∴CD=AB\)，\(∴\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{AB}{BC}\)，

\(∵△ABC\sim △FCE\)，\(∴\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{CF}{CE}\)，

\(∴\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{CF}{CE}=\dfrac{AC}{CE}\)，

\(∵∠ECB=∠BAC=∠ACD\)，\(∴∠BCD=∠ECA\)，

\(∴△BCD\sim △ECA\)，

\(∴∠DBC=∠AEC=45^\circ\)，

又\(OC=\dfrac{1}{2} AC=2\)，\(∴\)点\(B\)在\(△OCB\)的外接圆上运动，

设\(△OCB\)的外接圆为\(⊙H\)，如图，

\(∴∠OHC=2∠DBC=90^\circ\)，

\(∴OH=\dfrac{\sqrt{2}}{2} OC=\sqrt{2}\)，

\(∴\)当\(BC\)为\(⊙H\)的直径时，\(BC\)取得最大值为\(2\sqrt{2}\).

 

方法2 \(∵∠AEC=45^\circ\)，\(AC=4\)，

\(∴E\)在\(△AEC\)的外接圆上运动，

设\(△AEC\)的外接圆为\(⊙O\)，如图，设\(EF\)与\(⊙O\)交于点\(G\)，连接\(AG\)，\(OA\)，\(OC\)，

\(∴∠AOC=2∠AEC=90^\circ\)，

\(∴OA=OC=\dfrac{\sqrt{2}}{2} AC=2\sqrt{2}\)，

\(∵\overset{\frown}{CG} =\overset{\frown}{CG}\)，

\(∴∠GAF=∠CEF\)，

\(∵∠CEF=∠ACB\)，

\(∴∠GAF=∠BCA\)，

又\(∵∠F=∠BAC\)，

\(∴△BAC\sim △GFA\)，

又\(∵CF=AC\)，则\(AF=2AC\)，

\(∴\dfrac{BC}{AG}=\dfrac{AC}{AF}=\dfrac{1}{2}\)，

\(∴BC=\dfrac{1}{2} AG\)，

\(∴\)当\(AG\)为\(⊙O\)的直径时，\(AG\)取得最大值为\(4\sqrt{2}\)，

\(∴BC\)的最大值为\(2\sqrt{2}\)．