平面向量中的建系法

专题：平面向量 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：建系法 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★★

经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结!

【题目】

如图，直线\(l_1//l_2\)，点\(A\)是\(l_1\)，\(l_2\)之间的一个定点，点\(A\)到\(l_1\)，\(l_2\)的距离分别为\(1\)，\(2\). 点\(B\)是直线\(l_2\)上一个动点，过点\(A\)作\(AC⊥AB\)，交直线\(l_1\)于点\(C\)，\(\overrightarrow{ GA}+\overrightarrow{ GB}+\overrightarrow{ GC}=\overrightarrow{0}\)，则( \(\qquad \qquad\) )

\(A\).\(\overrightarrow{ AG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)
\(B\).\(△GAB\)面积的最小值是\(\dfrac{2}{3}\)
\(C\).\(|\overrightarrow{ AG} |⩾1\)
\(D\).\(\overrightarrow{ GA}\cdot \overrightarrow{ GB}\)存在最小值
 
 
 
 
 

【分析】

本题涉及到距离，较多平行与垂直关系，故利用建系法求解会比较简便；
以\(D\)为原点，\(DB\)，\(DE\)方向分别为\(x\)，\(y\)轴建系，本题属于动点问题，“运动源泉”是点\(B\)，
设\(B(m,0)\)，则其他量均可用\(m\)表示；
由\(AC⊥AB⟹\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=0\)确定点\(C\)的坐标，
由\(\overrightarrow{ GA}+\overrightarrow{ GB}+\overrightarrow{ GC}=\overrightarrow{0}\)确定点\(G\)的坐标，
则选项\(A\)较好判断，选项\(C\)，\(D\)中\(|\overrightarrow{ AG} |\)，\(\overrightarrow{ GA}\cdot \overrightarrow{ GB}\)均表示为\(m\)的式子，利用基本不等式或函数的方法求最值的方法便可；
由\(\overrightarrow{ GA}+\overrightarrow{ GB}+\overrightarrow{ GC}=\overrightarrow{0}⟹G\)为\(∆ABC\)的重心，则\(S_{△GAB}=\dfrac{1}{3} S_{△ABC}= \dfrac{1}{6} |\overrightarrow{AC} |\cdot |\overrightarrow{AB} |\)，也是用\(m\)表示。
 

【解答】

设\(AB\)中点为\(F\)，连接\(CF\)，以\(D\)为原点，\(DB\)，\(DE\)方向分别为\(x\)，\(y\)轴建立如图所示直角坐标系:

所以\(A(0，2)\)，\(E(0，3)\)，
设\(C(m，3)\)，\(B(n，0)\)，\(G(x，y)\)，\(m，n，x，y∈R\)，且\(m，n≠0\)，
所以\(\overrightarrow{AC}=(m，1)\)，\(\overrightarrow{AB}=(n，-2)\)，
因为\(AC⊥AB\)，所以\(\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=0\)，(垂直想到数量积为\(0\))
即\(mn-2=0\)，故\(n=\dfrac{2}{m}\)，即\(B(\dfrac{2}{m}，0)\)，
所以\(\overrightarrow{ GA}=(-x，2-y)\)，\(\overrightarrow{ GB}=\left(\dfrac{2}{m}-x，-y\right)\)，\(\overrightarrow{ GC}=(m-x，3-y)\)，
因为\(\overrightarrow{ GA}+\overrightarrow{ GB}+\overrightarrow{ GC}=\overrightarrow{0}\)，所以\(\left\{ \begin{array}{c} \dfrac{2}{m}+m-3x=0\\ 5-3y=0 \end{array} \right. \)，
 

选项\(A\)：因为\(\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{1}{3} \left((\dfrac{2}{m}，-2)+(m，1)\right)=\left(\dfrac{\frac{2}{m}+m}{3}，-\dfrac{1}{3}\right)\)，
故\(\overrightarrow{ AG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)，选项\(A\)正确；

 

选项\(B\)：因为\(\overrightarrow{ GA}+\overrightarrow{ GB}+\overrightarrow{ GC}=\overrightarrow{0}\)，
所以\(\overrightarrow{ GC}=-(\overrightarrow{ GA}+\overrightarrow{ GB})\)，即\(\overrightarrow{ GC}=-2\overrightarrow{GF}\)，
所以\(G，C，F\)三点共线，且\(G\)为\(CF\)靠近\(F\)的三等分点，(其实点\(G\)为\(∆ABC\)的重心)
所以\(S_{△GAB}=\dfrac{1}{3} S_{△ABC}=\dfrac{1}{6} |\overrightarrow{AC} |\cdot |\overrightarrow{AB} |=\dfrac{1}{6} \sqrt{m^2+1}\cdot \sqrt{\dfrac{4}{m^2} +4} \)
\(=\dfrac{1}{3} \sqrt{(m^2+1)\left(\dfrac{1}{m^2} +1\right) }\)\(=\dfrac{1}{3} \sqrt{m^2+\dfrac{1}{m^2} +2 }⩾\dfrac{1}{3} \sqrt{2\sqrt{m^2\cdot \dfrac{1}{m^2}}+2}=\dfrac{2}{3}\)，
(基本不等式求解最值)
当且仅当\(m^2=\dfrac{1}{m^2}\)，即\(m=±1\)时取等，
所以选项\(B\)正确；
 

选项\(C\)：因为\(\overrightarrow{ AG}=\left(\dfrac{\frac{2}{m}+m}{3}，-\dfrac{1}{3}\right)\)，
所以\(|\overrightarrow{ AG}|=\sqrt{\left(\dfrac{\frac{2}{m}+m}{3}\right)^2+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{ \dfrac{\frac{4}{m^2} +m^2+4}{9}+\dfrac{1}{9}}\)\(⩾\sqrt{\dfrac{2\sqrt{\dfrac{4}{m^2} \cdot m^2}+4}{9}+\dfrac{1}{9}}=1\)，
当且仅当\(\dfrac{4}{m^2} =m^2\)，即\(m=±\sqrt{2}\)时取等，故\(|\overrightarrow{ AG}|⩾1\)，选项\(C\)正确:
 

选项\(D\)：因为\(\overrightarrow{ GA}=\left(-\dfrac{\frac{2}{m}+m}{3}，\dfrac{1}{3}\right)\)，\(\overrightarrow{ GB}=\left(\dfrac{\frac{3}{m}-m}{3}，-\dfrac{5}{3}\right)\)，
所以\(\overrightarrow{ GA}\cdot \overrightarrow{ GB}=\left(-\dfrac{\frac{2}{m}+m}{3}，\dfrac{1}{3}\right)\cdot \left(\dfrac{\frac{3}{m}-m}{3}，-\dfrac{5}{3}\right)\)\(=-\dfrac{\frac{2}{m}+m}{3} \cdot \dfrac{\frac{3}{m}-m}{3}-\dfrac{5}{9}= \dfrac{m^2-\frac{6}{m^2} -1}{9}-\dfrac{5}{9}= \dfrac{m^2-\frac{6}{m^2} -6}{9}\).
因为\(m∈R\)且\(m≠0\)，所以\(m^2>0\)，
记\(f(x)=x-\dfrac{6}{x}-6\)，\(x>0\)，(利用函数单调性求最值)
可知\(f(x)\)单调递增，没有最值，即\(\overrightarrow{ GA}\cdot \overrightarrow{ GB}\)没有最值，故选项\(D\)错误.
故选：\(ABC\).
 

【总结】

建系法
1 建系的方法
① 常利用垂直关系建系，比如利用等腰三角形的三线合一、长方形的直角、菱形的对角线相互垂直等；
② 利用特殊值的角，比如若题中涉及到\(30°、45°、120°\)等特殊角，便于建系；
③ 建系最好能够具有对称性，这样描点坐标较为容易.
 

2常见的确定点坐标的方法