平面向量三点共线定理 保姆级教学

经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结!

内容

设\(\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OA}\)，若\(A\)，\(B\)，\(C\)三点共线，则\(x+y=1\).

 

证明

方法1 构建平行四边形

过点\(C\)作\(CE||OB\)，\(CF||OA\)，则四边形\(OECF\)是平行四边形，

根据平面向量的平行四边形法则，有\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}\)，

又\(O\)，\(E\)，\(A\)三点共线，\(O\)，\(F\)，\(B\)三点共线，

设\(\overrightarrow{OE}=x\overrightarrow{OA}\)，\(\overrightarrow{OF}=y\overrightarrow{OA}\)，

则\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OA}\)，

因为\(CE||OB\)，\(CF||OA\)，

所以\(\dfrac{OE}{OA}=\dfrac{BC}{BA}\)，\(\dfrac{OF}{OB}=\dfrac{AC}{AB}\)，

所以\(x+y=\dfrac{OE}{OA}+\dfrac{OF}{OB}=\dfrac{BC}{BA}+\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC+AC}{AB}=1\).

 

方法2 首尾相接法

\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OA}+λ(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OA} )\)

\(=\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OA}=(1-λ) \overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OA}\)，

又\(\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OA}\)，

根据平面向量基本定理得到\(x=1-λ\)，\(y=λ\)，

则\(x+y=1-λ+λ=1\).

 

注意事项

1 三点共线定理，并不要求点\(C\)在点\(A\)，\(B\)之间，从证明中的方法2可知.

2 当点\(C\)是线段\(AB\)的中点，则有\(\overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{OA}\)，该特例往后常常用到.

3 要证明三点\(A\)，\(B\)，\(C\)共线，不引入“第四者”，用共线定理证明\(\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{AC}\)；

若引入“第四者”点\(O\)，用三点共线定理证明\(\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OA}\)中\(x+y=1\).

4 它是我们后面学习“平面向量等和线”的基础.
 

拓展

设\(\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OA}\)，

如图一，若点\(O\)和点\(C\)在\(AB\)同侧，则\(x+y<1\)；

图一

如图二，若点\(O\)和点\(C\)在\(AB\)异侧，则\(x+y>1\)；

图二

证明较为简单，图一中，延长\(OC\)交\(AB\)于点\(D\)，

由三点共线定理\(\overrightarrow{OD}=x_1 \overrightarrow{OA}+y_1 \overrightarrow{OA}\)，其中\(x_1+y_1=1\)，

而\(\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OD}=λx_1 \overrightarrow{OA}+λy_1 \overrightarrow{OA}(0<λ<1)\)，

则\(x+y=λx_1+λy_1=λ(x_1+y_1 )=λ<1\).

拓展2类似证明.
 

运用

【例1】 如图，\(A\)，\(B\)分别是射线\(OM\)，\(ON\)上的点，给出下列以\(O\)为起点的向量:
(1)\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OA}\);(2)\(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{3} \overrightarrow{OA}\);(3)\(\dfrac{3}{4} \overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{3} \overrightarrow{OA}\);(4)\(\dfrac{3}{4} \overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{OA}\);(5)\(\dfrac{3}{4} \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3} \overrightarrow{OA}\).
其中终点落在阴影区域(不包括边界)内的向量的序号是 \(\underline{\quad \quad}\) .(写出满足条件的所有向量的序号).

【解析】 由向量共线的充要条件可得，当点\(P\)在直线\(AB\)上时，存在唯一的一对有卓实数\(u\)，\(v\)，
使得\(\overrightarrow{OP}=u\overrightarrow{OA}+v\overrightarrow{OA}\)成立，且\(u+v=1\)，

所以点\(P\)住于影影区域内的充要条件是:满足\(\overrightarrow{OP}=u\overrightarrow{OA}+v\overrightarrow{OA}\)，且\(u>0\)，\(v>0\)，\(u+v>1\).

(1)因为\(1+2>1\)，所以点\(P\)位于影影区域内，故正确:同理(3)正确，(2)(4)不正确，

(5)原式\(=\dfrac{3}{4} \overrightarrow{OA}+(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA})+\dfrac{2}{3} \overrightarrow{OA}=\dfrac{7}{4} \overrightarrow{OA}-\dfrac{1}{3} \overrightarrow{OA}\)，而\(-\dfrac{1}{3}<0\)，故不符合条件，

综上可知，只有(1)(3)正确.
 

【例2】 在\(△ABC\)中，\(D\)，\(E\)分别为边\(AB\)，\(AC\)的中点，\(BE\)与\(CD\)交于点\(P\)，设\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\)，则\(\overrightarrow{AP}=\) \(\underline{\quad \quad}\) .(用\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)表示)

【解析】 在\(△ABC\)中，\(D\)，\(E\)分别为边\(AB\)，\(AC\)的中点，

\(∴\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AC}\)．

\(∵B\)，\(P\)，\(E\)三点共线，

设\(\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+(1-m)\overrightarrow{AE}=m\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}(1-m)\overrightarrow{AC}\)，

\(∵C\)，\(P\)，\(D\)三点共线，

设\(\overrightarrow{AP}=n\overrightarrow{AD}+(1-n)\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2} n\overrightarrow{AB}+(1-n)\overrightarrow{AC}\)，

∴\(\left\{ \begin{array}{c} m=\dfrac{1}{2} n\\ \dfrac{1}{2}(1-m)=1-n \end{array} \right. \)，解得\(\left\{ \begin{array}{c} m=\dfrac{1}{3}\\ n=\dfrac{2}{3} \end{array} \right. \)，

\(∴\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3} \overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{a}+\dfrac{1}{3} \overrightarrow{b}\)．故选：\(A\)．

 

【例3】 在梯形\(ABCD\)中，已知\(AB//CD\)，\(AB=2CD\)，\(M\)，\(N\)分别为\(CD\)，\(BC\)的中点.若\(\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{AM}+μ\overrightarrow{AN}\)，则\(λ+μ\)的值为 \(\underline{\quad \quad}\) .

【解析】 法一

因为\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AN}+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN} )\)\(=2\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{AN}-\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}\)，

所以\(\overrightarrow{AB}=\dfrac{8}{5} \overrightarrow{AN}-\dfrac{4}{5} \overrightarrow{AM}\)，所以\(λ+μ=-\dfrac{4}{5}+\dfrac{8}{5}=\dfrac{4}{5}\).

法二 如图，连接\(MN\)并延长，交\(AB\)的延长线于点\(T\)，

则\(\overrightarrow{AT}=x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{AN}\)，其中\(x+y=1\)，

设\(CD=2\)，则\(CM=1\)，\(AB=4\)，

由图易得\(∆CNM≅∆BTN\)，所以\(BT=CD=1\)，

则\(\dfrac{AB}{BT}=\dfrac{4}{5}\)，

则\(\overrightarrow{AB}=\dfrac{4}{5} \overrightarrow{AT}=\dfrac{4}{5} x\overrightarrow{AM}+\dfrac{4}{5} y\overrightarrow{AN}\)，

所以\(λ+μ=\dfrac{4}{5} x+\dfrac{4}{5} y=\dfrac{4}{5} (x+y)=\dfrac{4}{5}\).