26年湛江一中高一期末考试第19题 函数新定义问题

专题：新定义 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：函数新定义 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★★★

经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结!

【题目】

(26年湛江一中高一期末考试第19题)
已知函数\(f(x)\)和\(g(x)\)的定义域分别为\(D_1\)和\(D_2\)，若对任意的\(x_0∈D_1\)都恰好存在\(n\)个不同实数\(x_1,x_2, x_3,…,x_n∈D_2\)，使得\(g(x_i )=f(x_0)\)(其中\(i=1,2,3,…,n,n∈N^*\))，则称\(g(x)\)为\(f(x)\)的“\(n\)重覆盖函数”.
(1) 若\(f(x)=\sqrt{2x} +\sqrt{4-2x}\),求\(f(x)\)的值域并判断\(g(x)=x^2+2\)是否为\(f(x)\)的“\(2\)重覆盖函数”，请说明理由；
(2) 求证：\(g(x)=\ln^2|x|-\ln x^2\)是\(f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\)的“\(4\)重覆盖函数”；
(3) 若\(g(x)=\left\{ \begin{array}{c} ax^2+(2a-3)x+1,x≤1\\ \dfrac{1}{x-1},x>1 \end{array} \right. \)为\(f(x)=\ln(e^x+1)\)的“\(2\)重覆盖函数”，求实数\(a\)的取值范围.
 
 
 
 
 

【分析】

① 新定义问题，理解新定义是关键，尽量用自己的语言表达出来；
② 根据“\(n\)重覆盖函数”的定义，
(i)从代数角度来讲，对\(f(x)\)值域中任何一值\(f(x_0 )=t\)，方程\(g(x)=t\)仅有\(n\)个不重实数根；
(ii)从几何角度来讲，利用函数的图象，以下图为例，可理解为\(f(x)\)值域为\((a,b)\)，
直线\(y=t∈(a,b)\)与\(y=g(x)\)有\(2\)个交点，则\(g(x)\)为\(f(x)\)的“\(2\)重覆盖函数”，
若要是“\(n\)重覆盖函数”，则要有且只有\(n\)个交点.

③ 从定义的理解，\(f(x)\)的值域肯定要是\(g(x)\)值域的子集.
 

【解答】

第一问
解：求函数\(f(x)\)的值域，观察其结构发现\((\sqrt{2x} )^2+(\sqrt{4-2x} )^2=4\)是定值，可通过求\(f^2 (x)\)的范围得到.
\(f^2 (x)=(\sqrt{2x} +\sqrt{4-2x} )^2=2x+4-2x+2\sqrt{2x(4-2x)} =4+4\sqrt{-(x-1)^2+1}\)，
\(∵0≤\sqrt{-(x-1)^2+1} ≤1\)，
\(∴4≤4+4\sqrt{-(x-1)^2+1} ≤8\)，即\(4≤f^2 (x)≤8\)，
又\(f(x)>0\)，\(∴2≤f(x)≤2\sqrt{2}\)，
即\(f(x)\)的值域是\([2,2\sqrt{2} ]\)；
当\(f(x)=2\)时，\(g(x)=2\)仅有一个解\(x=0\)，
(画出函数图象也会发现直线\(y=2\)与\(y=g(x)\)只有一个交点)
所以\(g(x)=x^2+2\)不是\(f(x)\)的“\(2\)重覆盖函数”；

 

第二问
(根据分析，可先求\(f(x)\)的值域)
证明：\(f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}=\dfrac{(e^x+1)-2}{e^x+1}=1-\dfrac{2}{e^x+1}\)(分离常数法)，定义域为\(R\)，
\(∵e^x>0\)，\(∴e^x+1>1\)，\(∴0<\dfrac{2}{e^x+1}<2\)，

\(∴-1<1-\dfrac{2}{e^x+1}<1\)，即\(-1<f(x)<1\)，
(根据分析中几何角度，可找到解题思路，研究函数图象，再看交点个数；从奇偶性和单调性入手)
\(∵g(-x)=\ln^2|x|-\ln x^2 =g(x)\)，\(∴g(x)\)是偶函数，且定义域为\(x≠0\)，
当\(x>0\)时，\(g(x)=\ln^2⁡x-2 \ln⁡x=(\ln⁡x-1)^2-1\)，
(从复合函数角度，当\(x∈(0,e)\)时，\(y=\ln⁡x-1∈(-∞,0)\)递增，
又\(y=t^2-1\)在\((-∞,0)\)递减，故\(g(x)=(\ln⁡x-1)^2-1\)在\((0,e)\)上递减；
同理可得\(g(x)=(\ln⁡x-1)^2-1\)在\((e,+∞)\)上递增，且\(g(e)=-1\)，故\(y=g(x)\)的图象是

令\(g(x)=f(x_0 )=t\)，\(t∈(-1,1)\)，即\((\ln⁡x-1)^2-1=t\)，

解得\(x=e^{1+\sqrt{1+t}}\)或\(x=e^{1-\sqrt{1+t}}\)，
即当\(x>0\)时，\(g(x_i )=f(x_0)\)有两个解，
又\(∴g(x)\)是偶函数，所以\(g(x_i )=f(x_0)\)有\(4\)个解，
即\(g(x)\)是\(f(x)\)的“\(4\)重覆盖函数”；
 

第三问
\(∵e^x+1>1\)，\(∴\ln(e^x+1)>0\)，
即\(f(x)=\ln(e^x+1)\)的值域为\((0,+∞)\)，定义域为\(R\)，(求\(f(x)\)值域)
\(∵g(x)\)为\(f(x)\)的“\(2\)重覆盖函数”，
\(∴\)对任意\(x_0∈R\)，则\(m=f(x_0 )>0\)，则方程\(g(x)=m\)恰有\(2\)个实数根，
当\(x>1\)时，\(g(x)=\dfrac{1}{x-1}=m\)有一个实数根，
故只需要\(x≤1\)时，方程\(g(x)=m\)恰有\(1\)个实数根，
(数形结合，\(y=ax^2+(2a-3)x+1(x≤1)\)与\(y=m(m>0)\)只有\(1\)个交点，分离讨论从\(a=0\)、
\(a>0\)、\(a<0\)或对称轴或特殊点入手)
① 当\(a=0\)时，\(g(x)=-3x+1\)，符合题意；
② 当\(a>0\)时，抛物线的对称轴\(x=-\dfrac{2a-3}{2a}=\dfrac{3}{2a}-1\)，且抛物线过定点\((0,1)\)，
(发现特殊点\((0,1)\)，便于思考与分类讨论)
(i) 当\(\dfrac{3}{2a}-1<0\)时，若\(m=1\)，\(x≤1\)时方程\(g(x)=m\)有\(2\)个实数根，故不成立；

(ii) 当\(0≤\dfrac{3}{2a}-1<1\)，即\(\dfrac{3}{4}<a≤\dfrac{3}{2}\)时，此时\(g(1)=3a-2>\dfrac{9}{4}-2=\dfrac{1}{4}>0\)，故不成立；

(iii) 当\(\dfrac{3}{2a}-1≥1\)，即\(a≤\dfrac{3}{4}\)时，若要满足题意则只需要\(g(1)≤0⇒3a-2≤0\)，解得\(a≤\dfrac{2}{3}\)，
(若\(g(1)>0\)的话，当\(0<m<g(1)\)时，就没有交点了)

所以\(a≤\dfrac{2}{3}\)；
即当\(a>0\)时，实数\(a\)的取值范围是\(\left(0,\dfrac{2}{3}\right]\).
③ 当\(a<0\)时，抛物线存在最大值\(n\)，当\(m>n\)时，方程\(g(x)=m\)不存在实数根，故不成立；
综上所述，实数\(a\)的取值范围是\(\left[0,\dfrac{2}{3}\right]\).