三角恒等变换的求角问题

专题：三角恒等变换 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：求角问题 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★★

经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结!

【题目】

已知锐角\(α\)，\(β\)满足\(2α+β=\dfrac{2π}{3}\)，且\(\tan α\tan \dfrac{β}{2}=2-\sqrt{3}\)，则\(β=\)（ ）

A．\(\dfrac{π}{12}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{π}{6}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{π}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{π}{3}\)

 
 
 
 
 

【分析】

题中含\(α\)，\(β\)的两条等式，想到“消元法”；由\(2α+β=\dfrac{2π}{3}\)，可得\(α=\dfrac{π}{3}-\dfrac{β}{2}\)，

则\(\tan α=\tan⁡(\dfrac{π}{3}-\dfrac{β}{2})=\dfrac{\sqrt{3}-\tan \dfrac{β}{2}}{1+\sqrt{3} \tan \dfrac{β}{2}}\)，所以\(\dfrac{\tan \dfrac{β}{2}(\sqrt{3}-\tan \dfrac{β}{2})}{1+\sqrt{3} \tan \dfrac{β}{2}} =2-\sqrt{3}\)，

再用换元法，令\(x=\tan \dfrac{β}{2}\)，得\(\dfrac{x(\sqrt{3}-x)}{1+\sqrt{3} x}=2-\sqrt{3}\)，

就可求出\(x=\tan \dfrac{β}{2}\)，进而便可利用正切二倍角公式求出\(\tan⁡β\).
 

【解答】

由\(2α+β= \dfrac{2π}{3}\)，可得\(α=\dfrac{π}{3}-\dfrac{β}{2}\)，则\(\tan α=\tan⁡(\dfrac{π}{3}-\dfrac{β}{2})=\dfrac{\sqrt{3}-\tan \dfrac{β}{2}}{1+\sqrt{3} \tan \dfrac{β}{2}}\)，

又\(\tan α\tan \dfrac{β}{2}=2-\sqrt{3}\)，所以\(\dfrac{\tan \dfrac{β}{2}(\sqrt{3}-\tan \dfrac{β}{2})}{1+\sqrt{3} \tan \dfrac{β}{2}} =2-\sqrt{3}\)，

令\(x=\tan \dfrac{β}{2}\)，得\(\dfrac{x(\sqrt{3}-x)}{1+\sqrt{3} x}=2-\sqrt{3}⇒x^2+(\sqrt{3}-3)x+2-\sqrt{3}=0\)，

解得\(x=1\)或\(x=2-\sqrt{3}\)，即\(\tan \dfrac{β}{2}=1\)或\(\tan \dfrac{β}{2}=2-\sqrt{3}\)，

当\(\tan \dfrac{β}{2}=1\)时，因为\(0<β<\dfrac{π}{2}\)，所以\(0<\dfrac{β}{2}<\dfrac{π}{4}\)，此时\(β\)不存在；

当\(\tan \dfrac{β}{2}=2-\sqrt{3}\)时，则\(\tanβ=\dfrac{2\tan \dfrac{β}{2}}{1-\tan^2 \dfrac{β}{2}} =\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{1-(2-\sqrt{3})^2} =\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，

因为\(β\)为锐角，所以\(β=\dfrac{π}{6}\).

(严谨些，要看看\(α\)是否也符合题意；因为\(β=\dfrac{π}{6}\)，所以\(α=\dfrac{π}{3}-\dfrac{β}{2}=\dfrac{π}{4}\)也是锐角)

故选：\(B\).