函数与方程中的求参数或其范围 (21年湛江一中自主招生第24题)

专题：函数与方程 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：求参数或取值范围 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★★★

【题目】

(21年湛江一中自主招生) “凡此变数中函数彼变数者，则此为彼之函数”这是我们著名数学家李善兰给出的“（function）函数”翻译，一次函数、二次函数、反比例函数是初中阶段必须掌握的三大初等函数.
（1）已知实数\(m,n(m<n)\)在二次函数\(y=x^2+3x-4\)对称轴的同一侧，当\(m≤x≤n\)时，\(y\)的取值范围为\(\dfrac{12}{n}≤y≤\dfrac{12}{m}\)，求出\(m\)，\(n\)的值；
（2）已知直线\(y=2tx-2\)和抛物线\(y=(t^2-1)x^2-1\)在\(y\)轴左边相交于\(A\)，\(B\)两点，点\(C\)是线段\(AB\)的中点，经过\(C\)，\(D(-2，0)\)的直线交\(y\)轴于点\(H(0，h)\)，求\(h\)的取值范围.
 
 
 
 
 
 
 

【分析】

第一问： \(y=x^2+3x-4\)的对称轴为\(x=-\dfrac{3}{2}\)，依题意可知有两种情况：

①当\(m<n<-\dfrac{3}{2}\)时，\(y\)随着\(x\)的增大而减小，有\(\left\{ \begin{array}{c} m^2+3m-4=\dfrac{12}{m}\\ n^2+3n-4=\dfrac{12}{n} \end{array} \right. \)，要解这方程组，计算有些难度，思路：一是数形结合二是去分母因式分解，细看解答过程；
②当\(-\dfrac{3}{2}<m<n\)时，\(y\)随着\(x\)的增大而增大，有\(\left\{ \begin{array}{c} n^2+3n-4=\dfrac{12}{m}\\ m^2+3m-4=\dfrac{12}{n} \end{array} \right. \)，要解这方程组，感觉比上一个更复杂了，自行多尝试下，有些技巧；
 

第二问：
（1）分析已知条件
① 一次函数与二次函数相交，
    很容易想到联立方程\(\left\{ \begin{array}{c} y=2tx-2\\ y=(t^2-1)x^2-1 \end{array} \right. \)得到\((t^2-1) x^2-2tx+1=0\)，
②\(A\)，\(B\)两点在\(y\)轴左侧
    即\(x_A<0\)，\(x_B<0\)；
③ 点\(C\)是线段\(AB\)的中点
    想到中点公式得到\(x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2}\)，
④ 经过\(C\)，\(D(-2，0)\)的直线交\(y\)轴于点\(H(0，h)\)
    想到求直线\(CD\)解析式(显然含\(t\))，则\(h\)可以用\(t\)表示；
（2）分析求证
求\(h\)的取值范围，由分析已知条件显然可知得到\(h\)用\(t\)表示的式子，利用函数思想求其范围便可.
此时思路很清晰了，设点\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，由联立方程组可求出点\(C\)坐标，进而求出直线\(CD\)解析式，得到\(h\)可以用\(t\)表示，再求其范围.
但是其中具体求解也会多个角度和一些易错点.
 

【解答】

第一问：
函数\(y=x^2+3x-4\)的对称轴为\(x=-\dfrac{3}{2}\)，分两种情况讨论：
① 当\(m<n<-\dfrac{3}{2}\)时，\(y\)随着\(x\)的增大而减小，有\(\left\{ \begin{array}{c} m^2+3m-4=\dfrac{12}{m}\\ n^2+3n-4=\dfrac{12}{n} \end{array} \right. \)(※)，
则\(m\)，\(n\)可看成方程\(x^2+3x-4=\dfrac{12}{x}⟹x^3+3x^2-4x-12=0\)的实数根，
方程变形得\(x^2 (x+3)-4(x+3)=0⟹(x+3)(x^2-4)=0\)，
解得\(x=-3\)，\(x=-2\)，\(x=2\)，
由于\(m<n<-\dfrac{3}{2}\)，易得\(m=-3\)，\(n=-2\)；
求解方程组(※)使用了“分组分解的因式分解法”，有些技巧性；除此之外，还有其他角度：
(i) 从应试的角度，可尝试猜方程的解，一般从整数入手；如直接猜出\(-2\)和\(-3\)的值没证明，过程会被扣分，但若猜到\(x^3+3x^2-4x-12=0\)一个解为\(2\)，进一步进行因式分解变形得\((x-2)(x^2+ax+6)=0\)，先求出a再求出另外一个解\(-3\)和\(-2\)；
(ii) 方程\(x^2+3x-4=\dfrac{12}{x}\)的实数根，可以理解为\(y=x^2+3x-4\)和\(y=\dfrac{12}{x}\)图象交点横坐标，但是我们也最多只能知道它是否有解，而不能求出具体的值；但这个角度也很重要，万一最后方程组是没实数根的呢！

② 当\(-\dfrac{3}{2}<m<n\)时，\(y\)随着\(x\)的增大而增大，有\(\left\{ \begin{array}{c} n^2+3n-4=\dfrac{12}{m} ①\\ m^2+3m-4=\dfrac{12}{n} ② \end{array} \right. \)(※※)，
由\(①×n-②×m\)得\(m^2 n-n^2 m+4m-4n=0⟹(m-n)(mn+4)=0\)，
\(∵m≠n\)，\(∴mn+4=0\)，即\(m=- \dfrac{4}{n}\)，
将\(m=- \dfrac{4}{n}\)代入方程②得，\(n^2+6n-4=0\)，解得\(n=-3±\sqrt{13}\)，
(求方程组(※※)也有多种尝试，比如①+②，①-②等试图消元，过程较为繁琐)
\(∵n>-\dfrac{3}{2}\)，\(∴n=-3+\sqrt{13}\)，
而\(m=- \dfrac{4}{n} =-3-\sqrt{13}<-\dfrac{3}{2}\)，不满足\(m>-\dfrac{3}{2}\)，
\(∴\)这种情况不存在满足题意的\(m\)，\(n\)，
综上可得\(m=-3\)，\(n=-2\)；
 

第二问：
依题意联立方程\(\left\{ \begin{array}{c} y=2tx-2\\ y=(t^2-1)x^2-1 \end{array} \right. \)得到\((t^2-1) x^2-2tx+1=0\)，
设点\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，
则\(x_1+x_2=\dfrac{2t}{t^2-1}\)，\(x_1 x_2=\dfrac{1}{t^2-1}\)，\(y_1+y_2=2t(x_1+x_2 )-4=\dfrac{4t^2}{t^2-1}-4=\dfrac{4}{t^2-1}\)，
(韦达定理)
\(∵\)点\(C\)是线段\(AB\)的中点，\(∴C(\dfrac{t}{t^2-1}，\dfrac{2}{t^2-1})\)，
(中点公式：点\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)的中点\(C(\dfrac{x_1+x_2}{2} ，\dfrac{y_1+y_2}{2} )\))
设直线\(CD\)解析式为\(y=kx+b\)，
代入\(C(\dfrac{t}{t^2-1}，\dfrac{2}{t^2-1})\)，\(D(-2，0)\)得\(\left\{ \begin{array}{c} \dfrac{t}{t^2-1}\cdot k+b=\dfrac{2}{t^2-1}\\ -2k+b=0 \end{array} \right. \)，解得\(\left\{ \begin{array}{c} k=\dfrac{2}{2t^2+t-2}\\ b=\dfrac{4}{2t^2+t-2} \end{array} \right. \)，
\(∴h=\dfrac{4}{2t^2+t-2}\)，
(接着求\(h\)的范围，用到函数思想，即求函数\(h(t)\)值域，要注意自变量\(t\)的范围即函数定义域)
\(∵A\)，\(B\)两点在\(y\)轴左侧，\(∴x_1<0\)，\(x_2<0\)，
\(∴x_1+x_2<0\)，\(x_1 x_2>0\)，即\(\dfrac{2t}{t^2-1}<0\)且\(\dfrac{1}{t^2-1}>0\)，解得\(t<-1\)，
设\(T=2t^2+t-2\)，其图象开口向上，对称轴为\(t=-\dfrac{1}{4}\)的抛物线，
当\(t<-1\)时，\(T\)随着\(t\)的增大而减小，
所以\(T>2\cdot (-1)^2-1-2=-1\)，
\(∴\)当\(T>0\)时，\(h=\dfrac{4}{T} >0\)；当\(-1<T<0\)时，\(h=\dfrac{4}{T} <-4\)；
此处想到反比例函数\(h=\dfrac{4}{T} (T>-1)\)，由图象较易想到要分类讨论，处处体现到函数思想

\(∴h\)的取值范围为\(h>0\)或\(h<-4\).
另一方法，得到方程\((t^2-1) x^2-2tx+1=0\)后，可用十字相乘法或求根公式求出实数根\(x_1=\dfrac{1}{t+1}\)，\(x_2=\dfrac{1}{t-1}\)；
要看得出方程实数根能求得出来，数感也要较强，含参方程的求解在高中也是基本功.