一元二次方程（22年湛江一中自主招生第18题）

专题：代数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：一元二次方程 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★

【题目】

（22年湛江一中自主招生第18题）
已知正整数\(x\)满足\(x^2+5x+30\)是完全平方数，则\(x\)的值是\(\underline{\quad \quad}\).

 
 
 
 
 

【分析】

一看到题目，会想到\(x^2+5x+30=(\underline{\quad \quad})^2\)，横线上到底是多少？
而\(x\)是正整数，那尝试下，令\(x=1\)，\(x^2+5x+30=36=6^2\)，满足题意；
还会其他值么？但是假如继续试下去，何时是个头。
横线 上不确定是多少，何不设它为\(n\)(\(n≥0\)且\(n\)为整数)，
由此得到\(x^2+5x+30=n^2\)(\(n≥0\)且\(n\)为整数)，
把它看成一元二次方程\(x^2+5x+30-n^2=0\)，
它的解\(x\)是正整数，所以\(Δ=4n^2-95\)应是完全平方数，

再设\(4n^2-95=k^2\)(\(k≥0\)且\(k\)为整数)，
即\(4n^2-k^2=95⟹(2n+k)(2n-k)=95\)，接下来就容易了！
 

【解答】

设\(x^2+5x+30=n^2\)(\(n≥0\)且\(n\)为整数)，
因为方程有正整数解，所以方程\(x^2+5x+30-n^2=0\)中，
\(Δ=25-4(30-n^2)=4n^2-95\)应是一个完全平方数，
设\(4n^2-95=k^2\)(\(k≥0\)且\(k\)为整数)，
\(∴4n^2-k^2=95\)，即\((2n+k)(2n-k)=95\)，
\(∴\left\{ \begin{array}{c} 2n+k=19 \\ 2n-k=5 \end{array} \right.\)，或\(\left\{ \begin{array}{c} 2n+k=95 \\ 2n-k=1 \end{array} \right.\)，
\(∴n=6\)或\(n=24\)，
当\(n=6\)时，\(x^2+5x+30=6^2\)，\(∴x_1=-6\)(舍去)，\(x_2=1\)，
当\(n=24\)时，\(x^2+5x+30=24^2\)，\(∴x_1=-26\)(舍去)，\(x_2=21\)，
\(∴x\)的值为\(1\)或\(21\)．
故答案为：\(1\)或\(21\)．

 

【总结】

1 解题过程中，主要的技巧是“设元”：设\(x^2+5x+30=n^2\)、设\(4n^2-95=k^2\)，再配合一元二次方程的解与平方差公式求解；
2 那还有什么方法么？ 作过以下尝试：
尝试1： 在\(x^2+5x+30=n^2\)中，不把它看成关于\(x\)的方程，而尝试去它进行变形，
比如可变形得到\((n-x)(n+x)=5(x+6)\)，想到利用5是个质数处理，
设\(n-x=5k\)或\(n+x=5k\)(\(k≥1\)且\(k\)为整数)，失败；
尝试2： 试过利用完全平方公式\(x^2+5x=(x+\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{25}{4}\)，也不行；
尝试3： 由\((n-x)(n+x)=5(x+6)\)，设\(n-x=m⇒n=m+x\)(\(m≥1\)且\(m\)为整数)，

则\(m(2x+m)=5x+30⇒x=\dfrac{30-m^2}{2m-5}\)，
当\(m>6\)时，\(x<0\)，而\(x\)、\(m\)是正数，故可以令\(m=1,2,…,6\)尝试，
可得\(m=3\)时，\(x=21\)；\(m=5\)时，\(x=1\)；故答案为\(1\)或\(21\)；

尝试4： 几何法
想象\(x^2\)是边长为\(x\)的正方形面积，\(5x\)、\(30\)是其他图形的面积，它们加起来是一正方形，如下图.

易得\(5(x+5)=30\)，解得\(x=1\)；
但图形不一定是这样拼凑，就算再幸运拼出\(x=21\)的情况，也不能确定是否还存在其他的\(x\)值.