因式分解的应用 (20年湛江一中自主招生)

专题：代数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：因式分解、不等式 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★★★

【题目】

(2020年湛江一中自主招生) 设\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)，且\(\dfrac{b}{a} +\dfrac{c}{b} +\dfrac{a}{c} =3\)，则以下说法正确的是(　　)

A．\(a\)，\(b\)，\(c\)可能相等，也可能不等

B．\(a\)，\(b\)，\(c\)相等

C．\(a\)，\(b\)，\(c\)不相等

D．以上说法都不对

 
 
 
 

【分析】

一是直接法：题中最明显的是\(\dfrac{b}{a} +\dfrac{c}{b} +\dfrac{a}{c} =3\)中的\(\dfrac{b}{a} ×\dfrac{c}{b} ×\dfrac{a}{c} =1\)，使用换元法，设\(\dfrac{b}{a} =x\)，\(\dfrac{c}{b} =y\)，\(\dfrac{a}{c} =z\)，则\(xyz=1\)，再根据\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)得出\(x>0\)，\(y>0\)，\(z>0\)；本题变成已知\(xyz=1\)，\(x+y+z=3\)，\(x>0\)，\(y>0\)，\(z>0\)，判断\(x\)、\(y\)、\(z\)是否相等；接着也较容易想到消元法，得到\(x+y+\dfrac{1}{xy} =3\)或\(xy(3-x-y)=1\)，但接着要往下继续思考，遇到了困难。

二是间接法：对\(a\)，\(b\)，\(c\)是否相等进行分类讨论：①\(a=b=c\)，②\(a=b≠c\)，③\(a≠b≠c\)，

①明显满足题意；

②是不满足题意的，证明如下：

若\(a=b\)，则\(\dfrac{c}{a} +\dfrac{a}{c} =2⇒c^2+a^2=2ac⇒(a-c)^2=0⇒a=c\)，与\(a≠c\)矛盾；

而③就不好证明成立与否，遇到类似直接法的困难。

最终要解决，需要足够扎实基本功，下面我们看看有什么方法。

 

【解答】

方法1 因式分解法

设\(\dfrac{b}{a} =x^3\)，\(\dfrac{c}{b} =y^3\)，\(\dfrac{a}{c} =z^3\)，则\(x^3 y^3 z^3=1\)，即\(xyz=1\)，

由已知可得：\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)，

即\((x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)=0\)，(这因式分解不容易想到)

\(∵a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)，\(∴x>0\)，\(y>0\)，\(z>0\)，\(∴x+y+z>0\)，

\(∴x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=0\)，(这等式得到\(x=y=z\)是常见的)

\(∴2(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)=0⟹(x-y)^2+(x-z)^2+(z-y)^2=0\)，

即\(x=y=z\)，\(∴\dfrac{b}{a} =\dfrac{c}{b} =\dfrac{a}{c}\)，

又\(\dfrac{b}{a} +\dfrac{c}{b} +\dfrac{a}{c} =3\)，\(∴\dfrac{b}{a} =\dfrac{c}{b} =\dfrac{a}{c} =1\)，

\(∴a=b=c\)，

故选：\(B\)．
 

方法2 基本不等式法

利用基本不等式\(x+y+z≥3\sqrt[3]{xyz}\)(当且仅当\(x=y=z\)时取到等号)，这是高中范畴内容。

\(∵a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)，\(∴\dfrac{b}{a} >0\)，\(\dfrac{c}{b} >0\)，\(\dfrac{a}{c} >0\)，

\(∴\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c} ≥ 3\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}\times \dfrac{c}{b} \times \dfrac{a}{c}} =3\)，而\(\dfrac{b}{a} +\dfrac{c}{b} +\dfrac{a}{c} =3\)，

所以\(\dfrac{b}{a} =\dfrac{c}{b} =\dfrac{a}{c}\)，

又\(\dfrac{b}{a} +\dfrac{c}{b} +\dfrac{a}{c} =3\)，\(∴\dfrac{b}{a} =\dfrac{c}{b} =\dfrac{a}{c} =1\)，

\(∴a=b=c\)，

故选：\(B\)．
 

方法3 函数法

设\(\dfrac{b}{a} =x\)，\(\dfrac{c}{b} =y\)，\(\dfrac{a}{c} =z\)，则\(xyz=1⟹z=\dfrac{1}{xy}\)，\(x+y+z=3\)，(换元法)

\(∵a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)，\(∴x>0\)，\(y>0\)，\(z>0\)，；

\(∴\dfrac{1}{xy} +x+y=3\)，(消元法)

\(∵x+y≥2\sqrt{xy}\)，

(基本不等式：若\(x>0\)，\(y>0\)，则\(x+y≥2\sqrt{xy}\)(当且仅当\(x=y\)时取到等号))

\(∴3=\dfrac{1}{xy} +x+y≥\dfrac{1}{xy} +2\sqrt{xy}\)，

设\(t=\sqrt{xy} >0\)，则\(3≥\dfrac{1}{t^2 } +2t\)，

令\(f(t)=\dfrac{1}{t^2 } +2t\)，则\(f'(t)=\dfrac{2(t^3-1)}{t^3 }\)，(构造函数，利用导数求最值，高中范畴)

\(∴\)当\(0<t<1\)时，\(f'(t)<0\)；当\(t>1\)时，\(f'(t)>0\)；

易得当\(t=1\)时，\(f(t)\)取到最小值\(f(1)=3\)，即\(\dfrac{1}{t^2 } +2t≥3\)，

而\(3≥\dfrac{1}{t^2 } +2t\)，\(∴\dfrac{1}{t^2 } +2t=3\)，且仅\(t=1\)时成立，

\(∴\sqrt{xy} =1\)，\(∴z=1\)，即\(a=c\)，

同理\(a=b\)，

∴\(∴a=b=c\)，

故选：\(B\)．
 

【总结】

方法1是初中的方法，但是技巧性较强，想到的难度较大；方法2和方法3是奥数或高中的方法，方法2是最简单，方法3显得有些麻烦，但是构造函数很强的处理代数问题的手段。