二次函数最值问题(25年广州二模)

专题：二次函数\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：最值问题 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)难度系数：★★★★

【题目】

（2025·广东广州·二模） 如图，二次函数\(y=ax^2+bx+2\)的图象与\(x\)轴交于\(A(-1,0)\)、\(B(4,0)\)两点，与\(y\)轴交于点\(C\)，一次函数\(y=mx+n\)经过点\(B\)、\(C\)．点\(P\)是直线\(BC\)上方二次函数图象上的一个动点，过点\(P\)作直线\(PD⊥x\)轴于点\(D\)，交直线\(BC\)于点\(E\)，连接\(CP\)．

(1)求二次函数和一次函数的解析式；
(2)当\(△CEP\)是以\(PE\)为底边的等腰三角形时，求点\(P\)的坐标；
(3)连接\(BP\)，连接\(AP\)交\(BC\)于点\(M\)，记\(△ABM\)面积为\(S_1\)，\(△PBM\)面积为\(S_2\)，在点\(P\)运动的过程中，判断\(\dfrac{S_2}{S_1}\)是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由．
 
 
 
 
 

【详解】

第一问：

\(∵\)二次函数\(y=ax^2+bx+2\)的图象经过点\(A(-1,0)\)，\(B(4,0)\)，
\(∴y=a(x+1)(x-4)=ax^2-3ax-4a\)，
(① 利用交点式会使得减少计算量；
②\(-1、4\)是\(ax^2+bx+2=0\)的两个实数根，利用韦达定理求解也可以 )
\(∴-4a=2\)，解得：\(a=-\dfrac{1}{2}\)，
\(∴\)二次函数解析式为\(y=-\dfrac{1}{2} (x+1)(x-4)\)，即\(y=-\dfrac{1}{2} x^2+\dfrac{3}{2}x+2\)．
当\(x=0\)，\(y=-\dfrac{1}{2} x^2+\dfrac{3}{2} x+2=2\)，\(∴C(0,2)\)，
一次函数\(y=mx+n\)过点\(B(4,0)\)和\(C(0,2)\)，
代入，得\(\left\{ \begin{array}{c} 4m+n=0\\ n=2 \end{array} \right. \)，解得\(\left\{ \begin{array}{c} m=-\dfrac{1}{2} \\ n=2 \end{array} \right. \)，
(利用待定系数法求直线方程，若知道高中的“点斜式”在选填题求直线方程会更简便)
\(∴\)一次函数解析式为\(y=-\dfrac{1}{2} x+2\)；

 

第二问：

解：依题意，可设\(P(x,-\dfrac{x^2}{2} +\dfrac{3x}{2} +2)\)，则\(E(x,-\dfrac{1}{2} x+2)\)，
(点在函数图象上，往往若点是定点就求出点的坐标，是动点则设点坐标。)
过点\(C\)作\(CF⊥PE\)于点\(F\)，

\(∵△CEP\)是以\(PE\)为底边的等腰三角形，\(∴PF=FE\)，\(CF∥x\)轴，
(见到等腰三角形，想到三线合一，便可知\(F\)是\(PE\)的中点，由中点公式得\(y_F=\dfrac{y_P+y_E}{2}\)；
本题也可以由\(CP=CE\)用两点距离公式求解，但计算量会大些)
\(∴F\)的纵坐标为\(2\)，
\(∴\dfrac{(-\dfrac{x^2}{2} +\dfrac{3x}{2} +2)+(-\dfrac{1}{2} x+2)}{2}=2\)，

即有\(-\dfrac{x^2}{2} +x=0\)，解得：\(x=0\)（舍去）或\(x=2\)，
\(∴P(2,3)\)．
 

第三问：

解：\(∵△ABM\)面积为\(S_1\)，\(△PBM\)面积为\(S_2\)，\(∴\dfrac{S_2}{S_1} =\dfrac{PM}{AM}\)，
（看到面积，要不用到割补法要不就直接想到面积公式；本题要求\(\dfrac{S_2}{S_1}\) ，显然利用三角形面积公式，以\(CM\);">为底，把\(\dfrac{S_2}{S_1}\)转化为两个高的比也可以，但想到\(\dfrac{S_2}{S_1} =\dfrac{PM}{AM}\)会更简单些）
(要求\(\dfrac{PM}{AM}\)，容易想到相似对应边成比例或锐角三角函数；那如何找到相似三角形是关键)
如图，过\(A\)作\(AQ∥ y\)轴交\(BC\)于\(Q\)，而直线\(PD⊥x\)轴，
\(∴PE∥ y\)轴，则\(PE∥ AQ\)，

\(∴△PEM∽△AQM\)，\(∴\dfrac{PM}{AM} =\dfrac{PE}{AQ}\)，
\(∵A(-1,0)\)，直线\(BC\)为\(y=-\dfrac{1}{2} x+2\)，
\(∴x_Q=-1\)，\(y_Q=-\dfrac{1}{2} ×(-1)+2=\dfrac{5}{2}\)，

即\(Q(-1,\dfrac{5}{2} )\)，\(∴AQ=\dfrac{5}{2}\)，
\(∵P(x,-\dfrac{x^2}{2} +\dfrac{3x}{2} +2)\)，\(E(x,-\dfrac{1}{2} x+2)\)，
\(∴PE=-\dfrac{1}{2} x^2+\dfrac{3}{2} x+2+\dfrac{1}{2} x-2=-\dfrac{1}{2} x^2+2x\)，
\(∴\dfrac{S_2}{S_1} =\dfrac{PE}{AQ} =\dfrac{2}{5} (-\dfrac{1}{2} x^2+2x)=-\dfrac{1}{5} x^2+\dfrac{4}{5} x\)，
∵点\(P\)是直线\(BC\)上方二次函数图象上的一个动点，
\(∴0<x<4\)(注意细节)，
而\(-\dfrac{1}{5} <0\)，则\(\dfrac{S_2}{S_1}\)有最大值，当\(x=-\dfrac{\dfrac{4}{5}}{2\times(-\dfrac{1}{5})}=2\)时，\(\dfrac{S_2}{S_1}\)的最大值为：\(\dfrac{4}{5}\)．
（求最值问题，大方向有几何法和代数法，本题属于代数法，一般套路是设元\(x\)，利用\(x\)表示\(\dfrac{S_2}{S_1}\)，再求所得式子的最值；初中阶段\(x\)是某个点的横纵坐标或某条线段长度或某个角的角度等，最后的式子常常是二次函数）