抽象函数的定义域

例题

已知\(f(x^2-1)\)的定义域是\((1,2)\)，求\(f(x+3)\)的定义域.

结论

已知\(f(g(x))\)的定义域是\((a,b)\)，求\(f(h(x))\)的定义域.

套路：

① 由\(f(g(x))\)的定义域是\((a,b)\)得\(a<x<b\)；

② 由\(a<x<b\)求出\(g(x)\)的范围\(c<g(x)<d\)；

③ 令\(c<h(x)<d\)，求出不等式的解集便是答案.

例题解答

已知\(f(x^2-1)\)的定义域是\((1,2)\)，求\(f(x+3)\)的定义域.

解 由\(f(x^2-1)\)的定义域是\((1,2)\)，得到\(1<x<2\)，

所以\(1<x^2<4⇒0<x^2-1<3\)，

令\(0<x+3<3\)，解得\(-3<x<0\),

故最后答案是\((-3,0)\).

细讲

要明白以上所讲的结论，我们要理解两点

(1)定义域的定义；

(2)\(f(g(x))\)与\(f(h(x))\)中\(g(x)\)和\(h(x)\)的范围为什么相同(即套路中的第三步).

(1) 定义域的定义是“自变量x的取值范围”

(2) \(f(g(x))\)与\(f(h(x))\)中\(g(x)\)和\(h(x)\)的范围为什么相同

\(f\)它指的是一种对应关系，比如\(f:\sqrt{ }\)(开平方根)

\(f(x)\)的定义域，即\(y=\sqrt{x}\)的定义域，则求\(x≥0\)便可；

\(f(2x-1)\)的定义域，即\(y=\sqrt{2x-1}\)的定义域，则求\(2x-1≥0\)便可；

\(f(x^2-1)\)的定义域，即\(y=\sqrt{x^2-1}\)的定义域，则求\(x^2-1≥0\)便可.

所以\(f(x)、f(2x-1)、f(x^2-1)\)的定义域，

其中\(x，2x-1，x^2-1\)的范围都是\(≥0\)，是相同的.

有时候抽象函数较难理解，可以附上具体的解析式，会好理解些.