25年湛江一模第19题（马尔可夫链 ）

专题：概率+数列 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：马尔可夫链 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★★★
 

题目

（25 年湛江一模第 19 题）甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的\(A\)类问题以及难度系数较高的\(B\)类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题。甲遇到每类问题的概率均为\(\dfrac{1}{2}\)。甲遇到\(A\)类问题时回答正确的概率为\(\dfrac{1}{2}\)，回答正确记 1 分，否则记 0 分；甲遇到\(B\)类问题时回答正确的概率为\(\dfrac{1}{4}\)，回答正确记 2 分，否则记 0 分。总得分记为\(X\)分．甲回答每个问题相互独立．

（1）当进行完 2 轮游戏时，求甲的总分\(X\)的分布列与数学期望．
（2）设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为\(n\)分的概率为\(G(n)\)．
  （i）证明：\(\left\{G(n+1)-\dfrac{1}{2} G(n)\right\}\)为等比数列。
  （ii）求\(G(n)\)的最大值以及对应\(n\)的值．

 
 

解析

第一问

遇到类似很多种情况的概率问题，可以用列表或树状图的形式梳理，避免拉下某种情况：

若能做到思路清晰，也没必要这样做．

\(X\)的取值可能是\(0,1,2,3,4\)，

每次回答\(A\)类问题且答对的概率为\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)，

回答\(A\)类问题且答不对的概率为\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)．

每次回答\(B\)类问题且答对的概率为\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}\)，

回答\(B\)类问题且答不对的概率为\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{8}\)．
$P(X=0)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{8}+2 \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{8}=\dfrac{25}{64} $;

\(P(X=1)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \times 2+\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{8} \times 2=\dfrac{5}{16}\) ;
$P(X=2)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8} \times \dfrac{3}{8} \times 2+\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{8} \times 2=\dfrac{7}{32} $;

\(P(X=3)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{8} \times 2=\dfrac{1}{16}\)；

\(P(X=4)=\dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{64}\)．
\(X\)的分布列为：

\(X\)	0	1	2	3	4
\(P\)	\(\dfrac{25}{64}\)	\(\dfrac{5}{16}\)	\(\dfrac{7}{32}\)	\(\dfrac{1}{16}\)	\(\dfrac{1}{64}\)

\(E(X)=0 \times \dfrac{25}{64}+1 \times \dfrac{5}{16}+2 \times \dfrac{7}{32}+3 \times \dfrac{1}{16}+4 \times \dfrac{1}{64}=1\).

 

第二问

典型的马尔可夫链问题，只要梳理好题意．

（i）

\(G(1)=\dfrac{1}{4}, G(2)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{16}\)（一次答对\(B\)类题，两次答对\(A\)类题）．

由题意得甲累计得分为\(n\)分的前一轮得分只能为\((n-1)\)分或\((n-2)\)分，

故当\(n \geqslant 3\)时，\(G(n)=\dfrac{1}{4} G(n-1)+\dfrac{1}{8} G(n-2)\)，
（要得到\(n\)分，由\(n-2\)分再答对一次\(B\)类题或\(n-1\)分时再答对一次 \(A\)类题）

所以\(G(n)-\dfrac{1}{2} G(n-1)=-\dfrac{1}{4} G(n-1)+\dfrac{1}{8} G(n-2)=-\dfrac{1}{4}\left[G(n-1)-\dfrac{1}{2} G(n-2)\right]\)，
（证明等比数列，利用定义法；若要构造，则利用待定系数法也可）

所以\(\left\{G(n+1)-\dfrac{1}{2} G(n)\right\}\)是以\(\dfrac{1}{16}\)为首项，\(\dfrac{1}{4}\)为公比的等比数列．

 

（ii）

要求\(G(n)\)的最值，可以由（i）可得到数列\(\{G(n)\}\)的递推公式，进而求出\(G(n)\)通项公式，在利用数列的单调性或构造函数分析单调性求最值．如何由三项递推公式求出通项公式是个难点，以下给出两个方法．

方法 1

根据（1）可知，\(G(n+1)-\dfrac{1}{2} G(n)=\dfrac{1}{16} \times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}(1)\)．

由\(G(n)=\dfrac{1}{4} G(n-1)+\dfrac{1}{8} G(n-2)\)，

也可得\(G(n)+\dfrac{1}{4} G(n-1)=\dfrac{1}{2} G(n-1)+\dfrac{1}{8} G(n-2)=\dfrac{1}{2}\left[G(n-1)+\dfrac{1}{4} G(n-2)\right]\)，

所以\(\left\{G(n+1)+\dfrac{1}{4} G(n)\right\}\)是以\(\dfrac{1}{4}\)为首项，\(\dfrac{1}{2}\)为公比的等比数列，
（由递推公式\(G(n)=\dfrac{1}{4} G(n-1)+\dfrac{1}{8} G(n-2)\)可构造出两个等比数列）

所以\(G(n+1)+\dfrac{1}{4} G(n)=\dfrac{1}{4} \times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\)（2）．
令（2）－（1）可得\(\dfrac{3}{4} G(n)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}-\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}\)，

所以\(G(n)=\dfrac{1}{3} \times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}+\dfrac{1}{3} \times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n}\)．（数形结合，显然是个摆动数列）

经检验\(n=1, n=2\)时均满足上式，故\(G(n)=\dfrac{1}{3} \times\left[\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right]\)，

所以\(G(n)=\dfrac{1}{3} \times\left[\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right] \leqslant \dfrac{1}{3} \times\left[\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right]\)，

而\(\dfrac{1}{3} \times\left[\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right]\)显然随着\(n\)的增大而减小，

故\(G(n) \leqslant \dfrac{1}{3} \times\left[\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}\right]=\dfrac{3}{16}=G(2)(n \geqslant 2)\)．

又因为\(G(1)>G(2)\)，

所以当\(n=1\)时，\(G(n)\)取到最大值，为\(\dfrac{1}{4}\)．
 

方法2 迭代

求\(G(n)\)通项公式可用迭代，其他地方的求解如方法 1 ．
\(G(n+1)\)

\(=\dfrac{1}{2} G(n)+\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{2} G(n-1)+\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n}\right]+\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}=\dfrac{1}{2^{2}} G(n-1)+(-2) \cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}+\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}\)
\(=\dfrac{1}{2^{2}}\left[\dfrac{1}{2} G(n-2)+\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}\right]+(-2) \cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}+\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}\)
\(=\dfrac{1}{2^{3}} G(n-2)+(-2)^{2} \cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}+(-2) \cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}+\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}\)
\(=\dfrac{1}{2^{2}} G(1)+\left[(-2)^{n-1}+\cdots+(-2)^{2}+(-2)+1\right] \cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}\)
\(=\dfrac{1}{3} \times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+\dfrac{1}{3} \times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}\).

所以\(G(n)=\dfrac{1}{3} \times\left[\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right]\)．