阿氏圆模型

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中考必备，难度5颗星！

阿氏圆模型

一 阿波罗尼斯圆定理及其证明

如图，\(P\)是平面上一动点，\(A\)、\(B\)是两定点，\(PA＝kPB(k>0\)且\(k≠1)\)，则\(P\)点的轨迹是圆.

证明 作\(∠APB\)的角平分线交\(AB\)于\(M\)点，
根据角平分线定理，\(MA:MB=PA:PB=k\)，
故\(M\)点为定点，即\(∠APB\)的角平分线交\(AB\)于定点；
作\(∠APB\)外角平分线交直线\(AB\)于\(N\)点，
根据外角平分线定理，\(NA:NB=PA:PB=k\)，
故\(N\)点为定点，即\(∠APB\)外角平分线交直线\(AB\)于定点；
又\(∠MPN=90°\)，
故\(P\)点轨迹是以\(MN\)为直径的圆．

另外提供高中的证明方法
方法一 解析法
设点\(A(0，0)\)，\(B(n，0)\)，则\(P A=\sqrt{x^2+y^2}\)， \(P B=\sqrt{(x-n)^2+y^2}\)，
则\(\sqrt{x^2+y^2}=k \sqrt{(x-n)^2+y^2}\)
化简得\(\left(x+\dfrac{n k^2}{1-k^2}\right)^2+y^2=\left(\dfrac{n k}{1-k^2}\right)^2\)
当\(k>0\)且\(k≠1\)时，点\(P\)的轨迹是圆.
注 ：当\(k=1\)时，点\(P\)的轨迹是线段\(AB\)的中垂线.

方法二 余弦定理法
(下面以\(k>1\)为例，而当\(k<1\)时，\(P A=k P B \Rightarrow P B=\dfrac{1}{k} P A\left(\dfrac{1}{k}>1\right)\)同理证明)
在\(AB\)上取点\(P_1\)使得\(P_1 A=kP_1 B\)；在\(AB\)的延长线上取点\(P_2\)，使得\(P_2 A=kP_2 B\)，
点\(O\)是\(P_1 P_2\)的中点，

设\(PB=x\)，\(AB=n\)，则\(PA=kx\)，\(P_1 B=\dfrac{n}{k+1}\)，
\(P_2 B=\dfrac{2 n k}{k-1}\)，\(A P_2=\dfrac{n k}{k-1}\)，\(P_1 P_2=\dfrac{2 n k}{k^2-1}\)， \(O P_1=O P_2=\dfrac{n k}{k^2-1}\)，
设\(OP=s\)，\(PP_2=t\)
在\(△OPP_2\)，\(△BPP_2\)，\(△APP_2\)分别使用余弦定理
\(\cos \angle P_2=\dfrac{t^2+\left(\dfrac{n k}{k^2-1}\right)^2-s^2}{2 t \cdot \dfrac{n k}{k^2-1}}=\dfrac{t^2+\left(\dfrac{n}{k-1}\right)^2-x^2}{2 t \cdot \dfrac{n}{k-1}}=\dfrac{t^2+\left(\dfrac{n k}{k-1}\right)^2-k^2 x^2}{2 t \cdot \dfrac{n k}{k-1}}\)，
化简得\(S=\dfrac{n k}{k^2-1}\)，
即\(OP=OP_1=OP_2\)，\(∴PP_1⊥PP_2\)，
故点\(P\)的轨迹是圆.

方法三 面积法

如余弦定理法，可得\(A P_1=\dfrac{n k}{k+1}\)，\(A O=\dfrac{n k^2}{k^2-1}\)，
在\(PA\)上取点\(C\)，使得\(PC=x\)，\(\therefore S_{\triangle A P P_1}: S_{\triangle C P P_1}=A P: C P=k\) ，
又\(S_{\triangle A P P_1}: S_{\triangle B P P_1}=A P_1: B P_1=k\) ，
\(\therefore S_{\triangle C P P_1}=S_{\triangle B P P_1}\)，
\(∴P_1\)到直线\(PC\)，\(PB\)的距离相等，可得\(∠P_1 PC=∠P_1 PB\)，
\(∴∆P_1 PC≅∆P_1 PB\)，\(\therefore C P_1=B P_1=\dfrac{n}{k+1}\)，
\(\because \dfrac{A C}{A P}=\dfrac{(k-1) x}{k x}=\dfrac{k-1}{k}\)，\(\dfrac{A P_1}{A O}=\dfrac{k-1}{k}\)，
\(\therefore \dfrac{A C}{A P}=\dfrac{A P_1}{A O}\)， \(∴∆AP_1 C≅∆AOP\)，
\(\therefore \dfrac{C P_1}{P O}=\dfrac{k-1}{k} \Rightarrow O P=\dfrac{n k}{k^2-1}\)，即\(OP=OP_1=OP_2\)，
\(∴PP_1⊥PP_2\)，故点\(P\)的轨迹是圆.

二 阿氏圆模型

“\(PA+k·PB\)”型最值问题是初中数学的热点与难点.当 \(k=1\)时，即可转化为“\(PA+PB\)”之和最短问题，便可用我们常见的“将军饮马”模型来解决.
当\(k ≠1\)时，常规的轴对称思想无法使用.因此我们想要通过转化，把题目变为我们熟悉的模型，在这个过程中产生了两种模型. 当动点\(P\)在直线上运动的类型称之为“胡不归”模型；点\(P\)在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”模型.
 

如下图，\(⊙O\)的半径为\(r\)，点 \(A\)、\(B\)都在\(⊙O\)外，\(P\)是\(⊙O\)上一动点，已知\(r=k·OB\)， 连接\(PA\)、\(PB\)，则当“\(PA+k·PB\)”的值最小时，\(P\)点的位置如何确定？

解析 如图1，在线段\(OB\)上截取\(OC\)使\(OC=k·OP\)，
则有\(△BPO\)与\(△PCO\)相似(利用对应边成比例)，由此可得\(k·PB=PC\)(转化成功).
故本题求“\(PA+k·PB\)”的最小值可以转化为“\(PA+PC\)”的最小值，
故当\(A\)、\(P\)、\(C\)三点共线时，“\(PA+PC\)”值最小.如图2.

做题时最关键步骤就是“转化\(k·PB\)”，即在\(OB\)上找到点\(C\)，使得\(\dfrac{O C}{O P}=\dfrac{O P}{O B}\).

三 例题详析

如图，在\(Rt∆ABC\)中，\(∠C=90°\)，\(AC=4\)，\(BC=5\)， 以点\(C\)为圆心，\(2\)为半径作圆\(C\)，分别交\(AC\)、\(BC\)于\(D\)、\(E\)两点，点\(P\)是圆\(C\)上一个动点，则\(\dfrac{1}{2} PA+PB\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\)．

解析
1 确认模型
本题存在两定点\(A\)，\(B\)，而动点\(P\)在定圆上运动，属于“阿氏圆模型”；
解题思路是找到一线段等于\(\dfrac{1}{2}PA\)，把问题进行转化为熟悉的模型.
2 转化方式
在\(CA\)上取点\(M\)使得\(CM=1\)，连接\(CP\)、\(PM\)，
(在\(\dfrac{1}{2}PA+PB\)中系数不为\(1\)的\(PA\)这边取点\(M\)，为什么是\(CM=1\)？先看懂解题过程，后详析)

则\(\dfrac{C P}{C A}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)，\(\dfrac{C M}{C P}=\dfrac{1}{2}\)，所以\(\dfrac{C P}{C A}=\dfrac{C M}{C P}\)，
又因为\(∠PCM=∠ACP\)，所以\(△CPA∽△CMP\)，
故\(\dfrac{P M}{P A}=\dfrac{1}{2}\)，即\(PM=\dfrac{1}{2}PA\)，
(此处可知圆\(C\)是动点\(P\)满足\(PM=\dfrac{1}{2}PA\)的阿氏圆)
则\(\dfrac{1}{2}PA+PB\)的最小值转化为\(PM+PB\)最小值，
3 解决问题
当\(B\)、\(M\)、\(P\)三点共线时取到，且最小值为\(B M=\sqrt{C M^2+B C^2}=\sqrt{26}\)，
故\(\dfrac{1}{2}PA+PB\)的最小值为\(\sqrt{26}\).
 

【问题剖析】
(1)这里为什么是\(\dfrac{1}{2}PA\)？
答：因为圆\(C\)半径为\(2\)，\(CA=4\)，比值是\(1:2\)，所以构造的是\(\dfrac{1}{2}PA\)，也只能构造\(\dfrac{1}{2}PA\)．
(2)如果问题设计为\(PA+kPB\)最小值，\(k\)为多少？
答：根据圆\(C\)半径与\(CB\)之比为\(2:5\)，\(k\)应为\(\dfrac{2}{5}\)．
(3)点\(M\)是如何确定？其思路主要是构造相似\(△CPA∽△CMP\)得到一线段等于\(\dfrac{1}{2}PA\)；
方法一 外接圆法
首先明确点\(M\)在\(AC\)上(\(k>1\)时，点\(M\)在\(CA\)延长线上)，假设\(CM=x\)；
因为\(△CPA∽△CMP\)，所以可得\(CP\)是\(△AMP\)外接圆的切线，
由圆幂定理可得\(CP^2=CM×CA\)，即\(2^2=4x\)，解得\(x=1\).

 

方法二 阿氏圆模型
本题中最关键的地方就是确定点M的位置，
从方法一的结果来看，可以知道圆\(C\)是动点\(P\)满足\(PM:PA=1:2\)的阿氏圆；
如图1，点\(A\)、\(M\)为定点和\(PM:PA=1:2\)，便可由动点\(P\)的特殊位置\(D\)、\(E\)而确定阿氏圆\(C\)；
如图2，即本题中的场景，已确定点\(A(AC=4)\)、阿氏圆\(C\)半径为\(2\)，\(PM:PA=1:2\)，要确定点\(M\)的位置；
由于点\(D\)是动点\(P\)的一特殊位置，即\(D\)也满足\(DM:DA=1:2\)，
而\(DA=2\)，则\(DM=1\)，所以\(CM=1\)确定了点\(M\)的位置.

四 方法实践

如图，在\(△ABC\)中，\(∠ACB＝90°\)，\(BC＝12\)，\(AC＝9\)，以点\(C\)为圆心，\(6\)为半径的圆上有一个动点\(D\)．连接\(AD\)、\(BD\)、\(CD\)，则\(2AD+3BD\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\)．

解析 变形：\(2 A D+3 B D=3\left(\dfrac{2}{3} A D+B D\right)\)，
以下求\(\dfrac{2}{3} A D+B D\)的最小值，要在线段\(AC\)上找一点\(M\)使得\(D M=\dfrac{2}{3} A D\).
方法一 外接圆法
假设下点\(M\)的位置，\(CD\)是\(∆ADM\)外接圆的切线，
则\(CD^2=CM\cdot CA\)，即\(36=9CM\)，则\(CM=4\)，确定点\(M\)位置；
\(\dfrac{2}{3} A D+B D=M D+B D\)最小值为\(B M=\sqrt{C M^2+B C^2}=4 \sqrt{10}\)，
则\(2 A D+3 B D=3\left(\dfrac{2}{3} A D+B D\right)\)最小值为\(12 \sqrt{10}\).

方法二 阿氏圆模型
设点\(M\)在\(AC\)上，要使得\(D M=\dfrac{2}{3} A D\)，圆\(C\)是点\(A\)，\(M\)的阿氏圆，
则\(D_1 M=\dfrac{2}{3} A D_1\)，又\(AD_1=3\)，所以\(D_1 M=2\)，\(CM=4\)，确定点\(M\)位置；
\(\dfrac{2}{3} A D+B D=M D+B D\)最小值为\(B M=\sqrt{C M^2+B C^2}=4 \sqrt{10}\)，
则\(2 A D+3 B D=3\left(\dfrac{2}{3} A D+B D\right)\)最小值为\(12 \sqrt{10}\).

其中易证\(△CMD∽△CAD\)得到\(\dfrac{2}{3} A D=M D\)，这里不给证明，因为试题中数据往往是“匹配”好的.
总结 “\(PA+k·PB\)”型最值问题中阿氏圆模型 ，主要思想是进行转化，把\(k·PB\)转化为一线段，从而把题目变为我们熟悉的模型，关键在于找点\(M\)，给到您的方法是“外接圆法”和“阿氏圆法”.