7.1.1 条件概率

基础知识

定义

一般地，设$A$ ，$B$为两个事件，且$P(A)>0$，称$P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}$为在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的条件概率.
解释
(1) 求“事件$A$已发生，事件$B$发生的概率”，可理解：如图，事件$A$已发生，则$A$为样本空间，此时事件$B$发生的概率是$AB$包含的样本点数与$A$包含的样本点数的比值，即
$$P(B \mid A)=\dfrac{n(A B)}{n(A)}=\dfrac{\frac{n(A B)}{n(\Omega)}}{\frac{n(A)}{n(\Omega)}}=\dfrac{P(A B)}{P(A)}$$

(通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，$P(B | A)$就是以$A$为样本空间计算$AB$的概率)

【例1】 某个班级有$45$名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表，

	团员	非团员	合计
男生	$16$	$9$	$25$
女生	$14$	$6$	$20$
合计	$30$	$15$	$45$

求在选到团员的条件下，选到男生的概率.
解用$A$表示事件“选到团员”，$B$表示事件“选到男生”，
“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生”的概率，记为$P(B | A)$，
此时相当于以$A$为样本空间来考虑事件$B$发生的概率，而在新的样本空间中事件$B$就是积事件$AB$，包含的样本点数$n(AB)=16$，
根据古典概型知识可知， $P(B \mid A)=\dfrac{n(A B)}{n(A)}=\dfrac{16}{30}=\dfrac{8}{15}$.

【例2】某地$7$月份吹南风(事件$A$)的概率是$\dfrac{1}{3}$，下雨(事件$B$)的概率是$\dfrac{1}{4}$，即吹南风又下雨的概率是$\dfrac{1}{5}$，求在吹南风的条件下下雨的概率是$P(B│A)$，在下雨的条件下吹南风的的概率是$P(A│B)$.
解 $P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}=\dfrac{4}{5}$， $P(A \mid B)=\dfrac{P(A B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}}=\dfrac{3}{5}$.

(2) 当$P(A)>0$时，当且仅当事件$A$与$B$相互独立时，有$P(B | A)=P(B)$.
证明若事件$A$与$B$相互独立，即$P(AB)=P(A)P(B)$，且$P(A)>0$，
则$P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{P(A) P(B)}{P(A)}=P(B)$，
反之，若$P(B | A)=P(B)$，且$P(A)>0$，则 $P(B)=\dfrac{P(A B)}{P(A)} \Rightarrow P(A B)=P(A) P(B)$，
即事件$A$与$B$相互独立.

乘法公式

对任意两个事件$A$与$B$，若$P(A)>0$，则$P(AB)=P(A)P(B | A)$.

条件概率的性质

条件概率只是缩小了样本空间，条件概率同样具有概率的性质，可借助$venn$图理解.
设$P(A)>0$，则
(1) $P(Ω│A)=1$；
(2) 如果$B$和$C$互斥，那么$P[(B \cup C) | A]=P(B | A)+P(C | A)$；
(3) 设$\bar{B}$和$B$互为对立事件，则$P(\bar{B} | A)=1-P(B | A)$.

基本方法

【题型1】求条件概率

【典题1】从$1$，$2$，$3$，$4$，$5$中任取$2$个不同的数，事件$A=$“取到的$2$个数之和为偶数”，事件$B=$“取到的$2$个数均为偶数”，则$P(B|A)=$(　　)
A．$\dfrac{1}{8}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{1}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{2}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{1}{2}$
解析方法1 $P(B \mid A)=\dfrac{n(A B)}{n(A)}=\dfrac{C_2^2}{C_2^2+C_3^2}=\dfrac{1}{4}$．
方法2 $\because P(A)=\dfrac{C_2^2+C_3^2}{C_5^2}=\dfrac{4}{10}$， $P(A B)=\dfrac{C_2^2}{C_5^2}=\dfrac{1}{10}$，
$\therefore P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{1}{4}$．
点拨计算条件概率的两种方法：
① 在缩小后的样本空间$A$中计算事件$B$发生的概率，即 $P(B \mid A)=\dfrac{n(A B)}{n(A)}$；
② 在原样本空间$Ω$中，先计算$P(AB)$，$P(A)$，再按公式 $P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}$ 计算求得$P(B|A)$．

【典题2】某气象台统计，该地区在下雨的条件下刮四级以上的风概率为$\dfrac{3}{8}$，下雨的概率为$\dfrac{4}{15}$，刮四级以上的风概率为$\dfrac{2}{15}$，设事件$A$为下雨，事件$B$为刮四级以上的风，则既刮四级以上的风又下雨的概率为$\underline{\quad \quad}$，$P(A∣B)=$ $\underline{\quad \quad}$．
解析由已知$P(B∣A)=\dfrac{3}{8}$，$P(A)=\dfrac{4}{15}$，$P(B)=\dfrac{2}{15}$，
则既刮四级以上的风又下雨的概率为$P(AB)=P(A)P(B | A)=\dfrac{4}{15}×\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{10}$，
$\therefore P(A \mid B)=\dfrac{P(A B)}{P(B)}=\dfrac{3}{4}$．
点拨
① 对任意两个事件$A$与$B$，若$P(A)>0$，则$P(AB)=P(A)P(B | A)$.
② 在解决条件概率问题时，要灵活掌握$P(A)$，$P(B)$，$P(AB)$，$P(B|A)$，$P(A|B)$之间的关系．即在应用公式求概率时，要明确题中的两个已知事件，搞清已知什么，求什么，再运用公式求概率．

【巩固练习】

1.在某地区进行流行病调查，随机调查了$100$名某种疾病患者的年龄，发现该$100$名患者中有$20$名的年龄位于区间$[40，50)$内．已知该地区这种疾病的患病率为$0.15\%$，年龄位于区间$[40，50)$内人口占该地区总人口的$30\%$．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间$[40，50)$内，则此人患该疾病的概率为(　　)
A．$0.001$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.003$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.005$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.007$

2.小明每天上学途中必须经过$2$个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是$\dfrac{1}{2}$，连续两次遇到红灯的概率是$\dfrac{1}{6}$，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为(　　)
A．$\dfrac{2}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{3}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{1}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{1}{2}$

3.端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等．端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀．小华的妈妈为小华煮了$8$个粽子，其中$5$个甜茶粽和$3$个艾香粽，小华随机取出两个，事件$A$“取到的两个为同一种馅”，事件$B$“取到的两个都是艾香粽”，则$P(B|A)=$(　　)
A．$\dfrac{3}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{3}{13}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{5}{8}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{13}{28}$

4.将两颗骰子各掷一次，设事件$A=$“两个点数不相同”，$B=$“至少出现一个$6$点”，则概率$P(A|B)$等于(　　)
A．$\dfrac{10}{11}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{5}{11}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{5}{18}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{5}{36}$

5.小赵、小钱、小孙、小李到$4$个景点旅游，每人只去一个景点，设事件$A$为“$4$个人去的景点不完全相同”，事件$B$为“小赵独自去一个景点”，则$P(B|A)=$(　　)
A．$\dfrac{3}{7}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{4}{7}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{5}{7}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{6}{7}$

6.某种疾病的患病率为$0.5\%$，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为$99\%$，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为(　　)
A．$0.495\%$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.9405\%$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.9995\%$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.99\%$

7.将甲、乙、丙、丁$4$名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行核酸信息采集，每个社区至少派$1$名志愿者，$A$表示事件“志愿者甲派往①社区”；$B$表示事件“志愿者乙派往①社区”；$C$表示事件“志愿者乙派往②社区”，则(　　)
A．$P(A)=\dfrac{1}{3}$ $\qquad$ B．事件$A$与$C$为互斥事件 $\qquad$ C． $P(C \mid A)=\dfrac{5}{12}$ $\qquad$ D． $P(B \mid A)=\dfrac{1}{9}$

参考答案

答案 $A$
解析设从该地区任选一人，若此人年龄位于区间$[40，50)$内为事件$A$，此人患该疾病为事件$B$，则 $P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{0.15 \% \times \frac{20}{100}}{30 \%}=0.001$．故选：$A$．
答案 $C$
解析设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件$A$，
“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件$A$，
则由题意可得$P(A)=\dfrac{1}{2}$，$P(AB)=\dfrac{1}{6}$，
则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，
第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为 $P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{1}{3}$．
故选：$C$．
答案 $B$
解析根据题意，小华的妈妈为小华煮了$8$个粽子，其中$5$个甜茶粽和$3$个艾香粽，小华随机取出两个，共有$28$种取法，
又事件$A$“取到的两个为同一种馅”，事件$B$“取到的两个都是艾香粽”，
则$P(A)=\dfrac{C_5^2+C_3^2}{C_8^2}=\dfrac{13}{28}$， $P(A B)=\dfrac{C_3^2}{C_8^2}=\dfrac{3}{28}$，
所以 $P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{3}{13}$，
故选：$B$．
答案 $A$
解析根据条件概率的含义，$P(A|B)$其含义为在$B$发生的情况下，$A$发生的概率，
即在“至少出现一个$6$点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，
“至少出现一个$6$点”的情况数目为$6×6-5×5=11$，
“两个点数都不相同”则只有一个$6$点，共$C_2^1×5=10$种，
故$P(A \mid B)=\dfrac{10}{11}$．
故选:$A$．
答案 $A$
解析小赵独自去一个景点，则有$4$个景点可选，其余$3$人只能在小赵剩下的$3$个景点中选择，可能性为$3×3×3=27$种
所以小赵独自去一个景点的可能性为$4×27=108$种，
因为$4$个人去的景点不相同的可能性$4^4-4=252$种，
所以$P(B \mid A)=\dfrac{108}{252}=\dfrac{3}{7}$．
故选:$A$．
答案 $A$
解析设事件$A$表示“患某种疾病”，设事件$B$表示“血检呈阳性”，
则$P(A)=0.5\%$，$P(B|A)=99\%$，
$\therefore$患该种疾病且血检呈阳性的概率为:$P(AB)=0.5\%×99\%=0.495\%$．
故选:$A$．
答案 $C$
解析每个社区至少派$1$名志愿者的所有可能情况有$\dfrac{C_4^2 C_2^1 C_1^1}{A_2^2} \cdot A_3^3=36$种分法，
$A$表示事件志愿者甲派往①社区的分法有$A_3^3+C_3^2 A_2^2=12$种，$P(A)=\dfrac{1}{3}$，$A$错误；
由已知可$A$事件“志愿者甲派往①社区与$C$事件“志愿者乙派往②社区有可能同时发生，即$A$与$C$不是互斥事件，$B$错误；
由$C$表示事件志愿者乙派往②社区的分法有$A_3^3+C_3^2 A_2^2=12$种，$P(C)=\dfrac{1}{3}$，
$P(A C)=\dfrac{C_3^1+C_2^1}{36}=\dfrac{5}{36}$，
所以$P(C \mid A)=\dfrac{P(A C)}{P(A)}=\dfrac{\frac{5}{36}}{\frac{1}{3}}=\dfrac{5}{12}$，$C$正确；
$P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{6}$，$D$错误．
故选：$C$．

【题型2】条件概率的性质

【典题1】已知随机事件$A$ ，$B$，$C$满足$0<P(A)<1$，$0<P(B)<1$，$0<P(C)<1$，则下列说法错误的是(　　)
A．不可能事件$\Phi$与事件$A$互斥
B．必然事件$Ω$与事件$A$相互独立
C．$P(A∣C)=P(AB∣C)+P(A\bar{B}∣C)$
D．若$P(A∣B)=P(\bar{A}∣B)$，则$P(A)=P(\bar{A})=\dfrac{1}{2}$
解析根据题意，依次分析选项：
对于$A$，不可能事件$\Phi$不会发生，与事件$A$互斥，$A$正确；
对于$B$，必然事件$Ω$一定会发生，与事件$A$是否发生没有关系，
故必然事件$Ω$与事件$A$相互独立，$B$正确；
对于$C$， $P(A \mid C)=\dfrac{P(A C)}{p(C)}$，而 $P(A B \mid C)+P(A \bar{B} \mid C)=\dfrac{P(A B C)}{P(C)}+\dfrac{P(\bar{A} C)}{P(C)}=\dfrac{P(A C)}{p(C)}$，
故$P(A|C)=P(AB|C)+P(A\bar{B}|C)$，$C$正确；
对于$D$， $P(A \mid B)=\dfrac{P(A B)}{P(B)}$， $P(\bar{A} \mid B)=\dfrac{P(\bar{A} B)}{p(B)}$，
若$P(A∣B)=P(\bar{A}∣B)$，则有$P(AB)=P(\bar{A}B)$，
不一定有$P(A)=P(\bar{A})=\dfrac{1}{2}$，由$venn$图也可知；
举个反例：掷一枚质地均匀的骰子，设事件$A$为向上的点数不超过$4$，事件$B$为向上的点数为$4$或$5$，
即$A=\{1，2，3，4\}$，$B=\{4，5\}$，$\bar{A}=\{5，6\}$，
所以$P(A∣B)=P(\bar{A}∣B)=\dfrac{1}{2}$，
但$P(A)=\dfrac{2}{3}$，$P(\bar{A})=\dfrac{1}{3}$，故$D$错误；
故选：$D$．
点拨条件概率只是缩小了样本空间，可借助$venn$图理解.若要确定某种说法错误，可举反例.

【典题2】 已知$A$，$B$是两个随机事件，$0<P(A)<1$，$0<P(B)<1$，则下列命题中错误的是(　　)
A．若$A$包含于$B$，则$P(B|A)=1$
B．若$A$ ，$B$是对立事件，则$P(B|A)+P(A|B)=1$
C．若$A$ ，$B$是互斥事件，则$P(B|A)=0$
D．若$A$ ，$B$相互独立，则$P(B|A)=P(B)$
解析关于选项$A$，因为$A$包含于$B$，所以$P(AB)=P(A)$，
则 $P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{P(A)}{P(A)}=1$，故选项$A$正确；
关于选项$B$，因为$A$ ，$B$是对立事件，
所以$P(AB)=0$，$P(A)+P(B)=1$，
所以 $P(B \mid A)+P(A \mid B)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}+\dfrac{P(A B)}{P(B)}=0$，
故选项$B$错误；
关于选项$C$，因为$A$ ，$B$是互斥事件，所以$P(AB)=0$，
所以 $P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=0$，故选项$C$正确；
关于选项$D$，因为$A$ ，$B$相互独立，
所以$P(AB)=P(A)P(B)$，
所以 $P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{P(A) P(B)}{P(A)}=P(B)$，
故选项$D$正确．
故选：$B$．

【巩固练习】

1.下列说法不可能成立的是(　　)
A．$P(B|A)<P(AB)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$P(B)=P(A)P(B|A)$
C．$P(AB)=P(A)\cdot P(B)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$P(A|B)=P(B|A)$

3.(多选)已知事件$A$ ，$B$满足$P(A)=0.5$，$P(B)=0.2$，则(　　)
A．若$B \subseteq A$，则$P(AB)=0.5$
B．若$A$与$B$互斥，则$P(A+B)=0.7$
C．若$A$与$B$相互独立，则$P(A\bar{B})=0.9$
D．若$P(B|A)=0.2$，则$A$与$B$相互独立

4.已知随机事件$A$ ，$B$，$P(A)=\dfrac{1}{3}$，$P(B)=\dfrac{1}{4}$，$P(A∣B)=\dfrac{3}{4}$，则$P(\bar{B}∣A)=$ $\underline{\quad \quad}$．

参考答案

答案 $A$
解析根据题意，依次分析选项:
对于$A$， $P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}$，变形可得$P(AB)=P(B|A)P(A)$，
而$P(A)≤1$，则$P(B|A)≥P(AB)$，$A$错误，
对于$B$， $P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}$，变形可得$P(AB)=P(B|A)P(A)$，
当$P(A)=1$时，有$P(B)=P(A)P(B|A)$，$B$正确，
对于$C$，当$A$、$B$是相互独立事件时，$P(AB)=P(A)\cdot P(B)$，$C$正确，
对于$D$，当$A$、$B$是互斥事件时，$P(A|B)=P(B|A)=0$，$D$正确，
故选:$A$．
答案 $C$
解析 $A$，若事件$A$ ，$B$独立，
则 $\mid P(A \mid B)=\dfrac{P(A B)}{P(B)}=\dfrac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)}=P(A)$，故$A$正确，
$B$，若事件$A$ ，$B$互斥，则$P(AB)=0$，
则$P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=0$， $P(A \mid B)=\dfrac{P(A B)}{P(B)}=0$，
$\therefore P(B|A)=P(A|B)$， $\therefore B$正确，
$C$，若事件$A$ ，$B$独立，则$P(AB)=P(A)P(B)$，
$\therefore P(C \mid(A B))=\dfrac{P(A C \cap B C)}{P(A B)}=\dfrac{P(A C+B C)}{P(A) P(B)}$
$=\dfrac{P(A C)}{P(A) P(B)}+\dfrac{P(B C)}{P(A) P(B)} \neq P(C \mid A) P(C \mid B)$，
故$C$错误，
$D$， $\because$事件$A$ ，$B$互斥，$\therefore P(A+B)=P(A)+P(B)$，
$\because$事件$A$，$C$独立，事件$B$，$C$独立，
$\therefore P(AC)=P(A)P(C)$，$P(BC)=P(B)P(C)$，
$\therefore P(C \mid(A+B))=\dfrac{P[C(A+B)]}{P(A+B)}=\dfrac{P(A C+B C)}{P(A)+P(B)}$
$=\dfrac{P(A C)+P(B C)}{P(A)+P(B)}=\dfrac{P(A) P(C)+P(B) P(C)}{P(A+B)}$$=P(C)=\dfrac{P(A C)}{P(A)}=P(C \mid A)$，
故$D$正确．
故选：$C$．
答案 $BD$
解析对于$A$，因为$P(A)=0.5$，$P(B)=0.2$，$B \subseteq A$，
所以$P(AB)=P(B)=0.2$，故$A$错误；
对于$B$，因为$A$与$B$互斥，
所以$P(A+B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7$，故$B$正确；
对于$C$，因为$P(B)=0.2$，
所以$P(\bar{B})=1-0.2=0.8$，
所以$P(A\bar{B})=0.5×0.8=0.4$，故$C$错误；
对于$D$，因为$P(B|A)=0.2$，即 $\dfrac{P(A B)}{P(A)}=0.2$，
所以$P(AB)=0.2×P(A)=0.1$，
又因为$P(A)×P(B)=0.5×0.2=0.1$，
所以$P(AB)=P(A)⋅P(B)$，
所以$A$与$B$相互独立，故$D$正确．
故选：$BD$．
答案 $\dfrac{7}{16}$
解析依题意得 $P(A \mid B)=\dfrac{P(A B)}{P(B)}=\dfrac{3}{4}$，
所以 $P(A B)=\dfrac{3}{4} P(B)=\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{16}$，
故 $P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{\frac{3}{16}}{\frac{1}{3}}=\dfrac{9}{16}$，
所以 $P(\bar{B} \mid A)=1-P(B \mid A)=\dfrac{7}{16}$．

分层练习

【A组---基础题】

1.核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为$0.5\%$，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为$99\%$．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为(　　)
A．$0.495\%$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0.9405\%$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$0.99\%$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$0.9995\%$

2.抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合$S=\{1，2，3，4，5，6\}$，令事件$A=\{1，3，5\}$，$B=\{1，2，4，5，6\}$，则$P(A|B)$的值为(　　)
A．$\dfrac{1}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{2}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{3}{5}$

3.抛掷红、黄两枚骰子，当红色骰子的点数为$4$或$6$时，两颗骰子的点数之积大于$20$的概率是(　　)
A．$\dfrac{1}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{1}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{3}{5}$

4.已知$5$道试题中有$3$道代数题和$2$道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回．在第$1$次抽到代数题的条件下，第$2$次抽到几何题的概率为(　　)
A．$\dfrac{1}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{2}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{3}{5}$

5.有歌唱道:“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山$4$个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件$A$:甲和乙至少一人选择庐山，事件$B$:甲和乙选择的景点不同，则条件概率$P(B|A)=$(　　)
A． $\dfrac{7}{16}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $\dfrac{7}{8}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $\dfrac{3}{7}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $\dfrac{6}{7}$

6.盒子里有$1$个红球与$n$个白球，随机取球，每次取$1$个球，取后放回，共取$2$次．若至少有一次取到红球的条件下，两次取到的都是红球的概率为$\dfrac{1}{9}$，则$n=$(　　)
A．$3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$4$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$6$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$8$

7.(多选)已知事件$A$发生的概率$P(A)>0$，事件$B$发生的概率$P(B)>0$，则以下说法正确的是(　　)
A．若$P(A)+P(B)=1$，则事件$A$、$B$对立
B．若$A$、$B$相互独立，则$P(AB)=P(A) P(B)$
C．若$P(A|B)=P(A)$，则$P(B|A)=P(B)$
D．若$A$、$B$相互独立，则$A$、$B$不互斥，若$A$、$B$互斥，则$A$、$B$不相互独立

8.(多选)罐中有$5$个红球，$2$个白球和$3$个黑球，乙罐中有$4$个红球，$3$个白球和$3$个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以$A_1$，$A_2$和$A_3$表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以$B$表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(　　)
A．$P(B)=\dfrac{2}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $P\left(B \mid A_1\right)=\dfrac{5}{11}$
C．事件$A_1$与事件$B$不相互独立 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $P\left(B \mid A_2\right)=P\left(B \mid A_3\right)=\dfrac{4}{11}$

9.设某动物由出生算起活到$20$岁的概率为$0.8$，活到25岁的概率为$0.4$，现有一个$20$岁的这种动物，则它活到$25$岁的概率是$\underline{\quad \quad}$．

10.设$P(A∣B)=P(B∣A)=\dfrac{1}{3}$，$P(\bar{A})=\dfrac{1}{4}$，则$P(B)=$ $\underline{\quad \quad}$ ．

11.将四颗骰子各掷一次，记事件$A=$“四个点数互不相同”，$B=$“至少出现一个$5$点”，则概率$P(B|A)$等于$\underline{\quad \quad}$．

12.某校从学生文艺部$6$名成员($4$男$2$女)中，挑选$2$人参加学校举办的文艺汇演活动．
(1)求男生甲被选中的概率；
(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．

参考答案

答案 $A$
解析记感染新冠病毒为事件$A$，感染新冠病毒的条件下，标本为阳性为事件$B$，
则$P(A)=0.5\%$，$P(B|A)=99\%$，
故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为$P(AB)=P(A)P(B|A)=0.5\%×99\%=0.495\%$．
故选：$A$．
答案 $B$
解析因为$A=\{1，3，5\}$，$B=\{1，2，4，5，6\}$，
$\therefore AB=\{1，5\}$，
所以$n(B)=5$，$n(AB)=2$，
故 $P(A \mid B)=\dfrac{n(A B)}{n(B)}=\dfrac{2}{5}$．
故选:$B$．
答案 $B$
解析记$A$：抛掷两颗骰子，红色骰子点数为$4$或$6$，$B$：两颗骰子的点数积大于$20$．
$P(A)=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$， $P(A B)=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}$，
$\therefore P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}$．
答案$C$
解析设事件$A=$“第$1$次抽到代数题”，事件$B=$“第$2$次抽到几何题”，
所以$P(A)=\dfrac{3}{5}$， $P(A B)=\dfrac{3}{10}$，
则 $P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{5}}=\dfrac{1}{2}$．
故选:$C$．
答案 $D$
解析甲和乙至少一人选择庐山对应的基本事件有:$4×4-3×3=7$个，
因为甲和乙选择的景点不同对应的基本事件有: $C_2^1 \times C_3^1=6$个，
所以 $P(B \mid A)=\dfrac{6}{7}$．
故选:$D$．
答案 $B$
解析设事件$A$为至少有一次取到红球，事件$B$为两次都取到红球，
由每次取后放回知 $P(B)=\dfrac{1}{n+1} \times \dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)^2}$ ，
两次都取到白球的概率为 $\dfrac{n}{n+1} \times \dfrac{n}{n+1}=\dfrac{n^2}{(n+1)^2}$ ，
故 $P(A)=1-\dfrac{n^2}{(n+1)^2}=\dfrac{2 n+1}{(n+1)^2}$ ， $P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{P(B)}{P(A)}=\dfrac{1}{2 n+1}=\dfrac{1}{9}$，
故$n=4$．
故选：$B$．
答案 $BCD$
解析对于$A$，事件$A$ ，$B$可能发生在不同的试验中，故
事件$A$ ，$B$不对立，故$A$错误；
对于$B$，若$A$、$B$相互独立，则$P(AB)=P(A)P(B)$，故$B$正确；
对于$C$，若$P(A|B)=P(A)$，则事件$A$ ，$B$相互独立，
则$P(B|A)=P(B)$，故$C$正确；
对于$D$，若$A$、$B$相互独立，
则$P(AB)=P(A)P(B)>0$，即事件$A$ ，$B$不互斥，
若$A$、$B$互斥，
则$P(AB)=0$，不满足$P(AB)=P(A)P(B)$，
即事件$A$ ，$B$不独立，故$D$正确．
故选：$BCD$．
答案 $BCD$
解析对选项$A$： $P(B)=\dfrac{5}{10} \times \dfrac{5}{11}+\dfrac{2}{10} \times \dfrac{4}{11}+\dfrac{3}{10} \times \dfrac{4}{11}=\dfrac{9}{22}$，错误；
对选项$B$： $P\left(B \mid A_1\right)=\dfrac{P\left(B A_1\right)}{P\left(A_1\right)}=\dfrac{\frac{5}{10} \times \frac{5}{11}}{\frac{5}{10}}=\dfrac{5}{11}$，正确；
对选项$C$： $P\left(A_1\right)=\dfrac{1}{2}$， $P(B)=\dfrac{9}{22}$， $P\left(A_1 B\right)=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{11}=\dfrac{5}{22}$，$P\left(A_1 B\right) \neq P\left(A_1\right) P(B)$，正确；
对选项$D$： $P\left(B \mid A_2\right)=\dfrac{P\left(B A_2\right)}{P\left(A_2\right)}=\dfrac{\frac{2}{10} \times \frac{4}{11}}{\frac{2}{10}}=\dfrac{4}{11}$， $P\left(B \mid A_3\right)=\dfrac{P\left(B A_3\right)}{P\left(A_3\right)}=\dfrac{\frac{2}{10} \times \frac{4}{11}}{\frac{2}{10}}=\dfrac{4}{11}$，正确．
故选：$BCD$．
答案 $0.5$
解析设$A$：出生算起活到$20$岁．$B$：出生算起活到$25$岁．
$P(A)= 0.8$，$P(AB)=0.4$，
$\therefore P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{0.4}{0.8}=0.5$．
答案 $\dfrac{3}{4}$
解析由$P(\bar{A})=\dfrac{1}{4}$可得$P(A)=1-P(\bar{A})=\dfrac{3}{4}$，
所以$P(AB)=P(A)P(B∣A)=\dfrac{3}{4}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{4}$，
所以$P(B)=\dfrac{P(A B)}{P(A \mid B)}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}=\dfrac{3}{4}$．
答案 $\dfrac{2}{3}$
解析根据题意，记事件$A=$“四个点数互不相同”，$B=$“至少出现一个$5$点”，
则$P(A B)=\dfrac{4 \cdot A_5^3}{6 \times 6 \times 6 \times 6}$，$P(A)=\dfrac{A_6^4}{6 \times 6 \times 6 \times 6}$，
则$P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{4 \times A_5^3}{A_6^4}=\dfrac{2}{3}$.
答案 (1)$\dfrac{1}{3}$；(2) $\dfrac{1}{5}$； (3)$\dfrac{1}{2}$
解析 (1)从$6$名成员中挑选$2$名成员，共有$C_6^2=15$种情况，
记“男生甲被选中”为事件$A$，事件$A$所包含的基本事件数为$5$种，
故$P(A)=\dfrac{1}{3}$．
(2)记“男生甲被选中”为事件$A$，“女生乙被选中”为事件$B$，
则 $P(A B)=\dfrac{1}{15}$，
由(1)知$P(A)=\dfrac{1}{3}$，故 $P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{1}{5}$．
(3)记“挑选的$2$人一男一女”为事件$C$，则 $P(C)=\dfrac{C_4^1 C_2^1}{C_6^2}=\dfrac{8}{15}$，
“女生乙被选中”为事件$B$， $P(B C)=\dfrac{C_4^1}{C_6^2}=\dfrac{4}{15}$，
故$P(B \mid C)=\dfrac{P(B C)}{P(C)}=\dfrac{1}{2}$．

【B组---提高题】

1.已知$A$学校有$15$位数学老师，其中$9$位男老师，$6$位女老师，$B$学校有$10$位数学老师，其中$3$位男老师，$7$位女老师，为了实现师资均衡，现从$A$学校任意抽取一位数学老师到$B$学校，然后从$B$学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在$B$学校抽取到市里上公开课的是男老师的情况下，从$A$学校抽到$B$学校的老师也是男老师的概率是(　　)
A．$\dfrac{2}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $\dfrac{4}{7}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $\dfrac{4}{11}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $\dfrac{3}{11}$

2.从装有$a$个红球和$b$个蓝球的袋中($a$，$b$均不小于$2$)，每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为$A_1$，“第一次摸球时摸到蓝球”为$A_2$；“第二次摸球时摸到红球”为$B_1$，“第二次摸球时摸到蓝球”为$B_2$，则下列说法错误的是(　　)
A． $P\left(B_1\right)=\dfrac{a}{a+b}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B ．$P(B_1∣A_1 )+P(B_2∣A_1 )=1$
C．$P(B_1 )+P(B_2 )=1$ $\qquad \qquad$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$P(B_2∣A_1 )+P(B_1∣A_2 )=1$

3.已知事件$A$、$B$、$C$中，$A$、$C$互不相容，$P(AB)=\dfrac{1}{3}$，$P(C)=\dfrac{1}{4}$，则$P(AB| \bar{C})=$$\underline{\quad \quad}$．

参考答案

答案 $A$
解析设“在$B$学校抽取到市里上公开课的是男老师”为事件$M$，“从$A$学校抽到$B$学校的老师是男老师”为事件$N$，
则$P(M)=\dfrac{6}{15} \times \dfrac{3}{11}+\dfrac{9}{15} \times \dfrac{4}{11}=\dfrac{18}{55}$， $P(M N)=\dfrac{9}{15} \times \dfrac{4}{11}=\dfrac{12}{55}$，
$\therefore P(N \mid M)=\dfrac{P(M N)}{P(M)}=\dfrac{\frac{12}{55}}{\frac{18}{55}}=\dfrac{2}{3}$．
故选:$A$．
答案 $D$
解析由题意可知， $P\left(A_1\right)=\dfrac{a}{a+b}$， $P\left(A_2\right)=\dfrac{b}{a+b}$，
$P\left(B_1\right)=P\left(A_1 B_1\right)+P\left(A_2 B_1\right)=\dfrac{a}{a+b} \cdot \dfrac{a-1}{a+b-1}+\dfrac{b}{a+b} \cdot \dfrac{a}{a+b-1}=\dfrac{a}{a+b}$，
$P\left(B_2\right)=P\left(A_1 B_2\right)+P\left(A_2 B_2\right)=\dfrac{a}{a+b} \cdot \dfrac{b}{a+b-1}+\dfrac{b}{a+b} \cdot \dfrac{b-1}{a+b-1}=\dfrac{b}{a+b}$，
从而$P(B_1 )+P(B_2 )=1$，故$AC$正确；
又因为 $P\left(B_1 \mid A_1\right)=\dfrac{P\left(A_1 B_1\right)}{P\left(A_1\right)}=\dfrac{a-1}{a+b-1}$， $P\left(B_2 \mid A_1\right)=\dfrac{P\left(A_1 B_2\right)}{P\left(A_1\right)}=\dfrac{b}{a+b-1}$，
$P(B_1∣A_1 )+P(B_2∣A_1 )=1$，故$B$正确；
$P\left(B_1 \mid A_2\right)=\dfrac{P\left(A_2 B_1\right)}{P\left(A_2\right)}=\dfrac{a}{a+b-1}$，
故$P(B_2∣A_1 )+P(B_1∣A_2 )≠1$，故$D$错误．
故选：$D$．
答案 $\dfrac{4}{9}$
解析由$A$、$C$互不相容，故$P(ABC)=0$，
所以$P(AB\bar{C})=P(AB)-P(ABC)=\dfrac{1}{3}$，$P(\bar{C})=1-P(C)=\dfrac{3}{4}$，
故 $P(A B \mid \bar{C})=\dfrac{P(A B \bar{C})}{P(\bar{C})}=\dfrac{4}{9}$．

posted @ 2023-05-08 16:50 贵哥讲数学阅读(638) 评论(0) 收藏举报

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	团员	非团员	合计
男生	\(16\)	\(9\)	\(25\)
女生	\(14\)	\(6\)	\(20\)
合计	\(30\)	\(15\)	\(45\)

湛江贵哥讲数学

自由教师一枚，乐于探讨数学、分享数学！

7.1.1 条件概率

基础知识

定义

乘法公式

条件概率的性质

基本方法

【题型1】求条件概率

【巩固练习】

【题型2】条件概率的性质

【巩固练习】

分层练习

【A组---基础题】

【B组---提高题】

公告

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