6.2.1-6.2.2 排列
基础知识
排列概念
从\(n\)个不同元素中，任取\(m(m≤ n)\)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从\(n\)不同元素中取出\(m\)个元素的一个排列.
【例】 若从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)这\(4\)个数字中，每次取出\(3\)个排成一个三位数，共可得到多少种不同的三位数？
解 利用树状图易得共\(24\)种可能.
题目的要求是取出\(3\)个数字按照“个位”、“十位”、“百位”的顺序依次排成一列，其中元素“\(123\)”和“\(132\)”不是同一元素，因为它们的次序不一样.
故排列讲究的是“顺序”！
阶乘
\(n !\)表示正整数\(1\)到\(n\)的连乘积，叫做\(n\)的阶乘，规定\(0 !=1\)．
【例】 \(3！=3×2×1=6\)，\(6！=6×5×4×3×2×1=720\).
排列数
从\(n\)个不同元素中，任取\(m(m≤ n)\)个元素的所有排列的个数叫做从\(n\)个元素中取出\(m\)元素的排列数，用符号\(A_n^m\)表示.其中
或
解释
① 为什么\(A_n^m\)等于 \(n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1)\)？
举例说明下，从\(5\)，\(4\)，\(3\)，\(2\)，\(1\)这\(5\)个数字中选\(3\)个数字排成三位数字，用排列数表示即是\(A_5^3\)种可能.那具体数值是多少呢？用计数原理来试试，
第一步，选择个位数有\(5\)种选法；
第二步，选择十位数只能在剩下的\(4\)个数字选，有\(4\)种选法；
第三步，选择百位数只能在剩下的\(3\)个数字选，有\(3\)种选法；
根据分步乘法计数原理，共有\(5×4×3\)种可能;
即\(A_5^3=5×4×3\).
② \(A_n^m=n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1)\)这排列公式的结构相当于“在数字\(n\)到\(1\)从大到小依次选\(m\)个数字连乘”，比如\(A_5^3=5×4×3=60\)(从\(5\)，\(4\)，\(3\)，\(2\)，\(1\)中从大到小选\(3\)个数字\(5\)，\(4\)，\(3\)连乘)，而\(A_7^2=7×6=42\)，\(A_4^4=4×3×2×1=24\).
③ 特别地，把\(n\)个不同的元素全部取出的一个排列，叫做\(n\)个元素的一个全排列.
即\(A_n^n=n(n-1)(n-2)×…×2×1\).
④ \(A_n^m=n(n-1)(n-2) \cdots(n-m+1)\)
\(=\dfrac{n(n-1)(n-2) \cdots(n-m+1)(n-m) \times \cdots \times 2 \times 1}{(n-m) \times \cdots \times 2 \times 1}\)
\(=\dfrac{\mathrm{A}_n^n}{\mathrm{~A}_{n-m}^{n-m}}=\dfrac{n !}{(n-m) !}\).
基本方法
【题型1】 排列的概念
【典题1】 判断下列问题是否为排列问题，若是写出排列数：
(1)从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)中任取两个数相加，其结果有多少种不同的可能？
(2)从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)中任取两个数相减，其结果有多少种不同的可能？
(3)有\(12\)个车站，共需要准备多少种普通票？
(4)从\(10\)个人中选\(2\)人分别去植树和种菜，有多少种不同选法？
(5)从\(10\)个人中选\(2\)人去参加座谈会，有多少种不同选法？
解析 (1)两数相加，由加法交换律知与两数顺序无关，所以(1)不是排列问题．
(2)两数相减，要确定谁是被减数，谁是减数，与顺序有关，所以(2)是排列问题，有\(A_5^2\)种可能．
(3)票中要确定哪一个车站为起点站，哪一个车站为终点站，与顺序有关，所以(3)是排列问题，有\(A_12^2\)种可能．
(4)要从选出的\(2\)人中确定谁去植树，谁去种菜，与顺序有关，所以(4)是排列问题，有A_10^2种可能．
(5)只需从\(10\)人中选出\(2\)人即可，与顺序无关，所以(5)不是排列问题．
点拨 排列讲究“顺序”！
【巩固练习】
1.已知下列问题：
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；
③从\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)四个字母中取出\(2\)个字母；
④从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)四个数字中取出\(2\)个数字组成一个两位数．
其中是排列问题的有( )
A．\(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)个
2.判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选\(2\)个小组分别去植树和种菜；
(3)选\(2\)个小组去种菜；
(4)选\(10\)人组成一个学习小组；
(5)选\(3\)个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班\(40\)名学生在假期相互通信．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析对于①，从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组，可分两步，第一步是从甲、乙、丙三名同学中选出两名，是组合问题，然后安排参加数学和物理学习小组，与顺序有关，属排列问题；
对于②，从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动，只是要求选出即可，属组合问题，不涉及排列；
对于③，从\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)四个字母中取出\(2\)个字母，只是要求选出即可，属组合问题，不涉及排列；
对于④，从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)四个数字中取出\(2\)个数字组成一个两位数，需要先选出再排序，属排列问题．
故选：\(B\)． -
解析 (1)因为两个航站之间飞机飞行票价相同与航向无关，所以该问题不是排列问题；
(2)因为植树与种菜是两项不同工作，所以该问题是排列问题；
(3)因为选两个小组都去种菜，干同一项工作，所以该问题不是排列问题；
(4)因为选\(10\)个人组成同一个学习小组，所以该问题不是排列问题；
(5)因为选\(3\)个人担任班干部是\(3\)个不同的角色，所以该问题是排列问题；
(6)因为某班\(40\)名同学是相互通信是双向的，所以该问题是排列问题．
【题型2】 排列数
【典题1】 计算：(1) \(A_{12}^4\)；(2)\(A_6^6\)；(3)\(A_9^4-A_9^3\)；(4) \(\dfrac{A_7^5}{A_7^4}\)．
解析(1)\(A_{12}^4=12×11×10×9=10880\)；
(2)\(A_6^6=6×5×4×3×2×1=720\)；
(3)\(A_9^4-A_9^3=9×8×7×6-9×8×7=2520\)；
(4)\(\dfrac{A_7^5}{A_7^4}=\dfrac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{7 \times 6 \times 5 \times 4}=3\)．
点拨 \(A_n^m=n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1)\)这排列公式的结构相当于“在数字\(n\)到\(1\)从大到小依次选\(m\)个数字连乘”.
【典题2】若\(A_m^3=2 A_{m+1}^2\)，则\(m=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
解析 由\(A_m^3=2 A_{m+1}^2\)，
由排列数公式得：\(m(m-1)(m-2)=2(m+1)m\)，
化简得：\(m^2-5m=0\)，解得：\(m=5\)或\(m=0\)(舍去)．
点拨 \(A_n^m\)中\(m\)，\(n∈N^*\)，且\(n≥m\).
【巩固练习】
1.\(A_5^2\)的值为( )
A．\(20\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(10\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(2\)
2.\(\dfrac{A_8^5+A_8^4}{A_9^6-A_9^5}=\) ( )
A． \(\dfrac{5}{27}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\dfrac{25}{54}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(\dfrac{3}{10}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{3}{20}\)
3.解方程\(90A_n^2=A_n^4\)；
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 \(A_5^2=5×4=20\)，故选：\(A\)． -
答案 \(A\)
解析 \(\dfrac{A_8^5+A_8^4}{A_9^6-A_9^5}=\dfrac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4+8 \times 7 \times 6 \times 5}{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4-9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}=\dfrac{5}{27}\)．故选：\(A\)． -
答案 \(12\)
解析 \(\because 90A_n^2=A_n^4\)，
\(\therefore 90n(n-1)=n(n-1)(n-2)(n-3)\)，
\(\therefore n^2-5n-84=0\)，解得\(n=12\)或\(n=-7\)(舍)．
\(\therefore n=12\)．
【题型3】排列
【典题1】 有\(4\)个男生和\(3\)个女生排成一排．
(1)男生甲必须站在中间有多少种排法？
(2)男生甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同排法？
(3)甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同排法？
解析 (1)由于甲的位置已确定，其余\(6\)人可随意排列，共有\(A_6^6=720\)种排法．
(2)由于甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余\(5\)人中选两人来站，共有\(A_5^2\)种排法，剩下的人有\(A_5^5\)种排法，共有\(A_5^2⋅A_5^5=2400\)种不同排法．
(3)甲站排头有\(A_6^6\)种排法，乙站排尾有\(A_6^6\)种排法，但两种情况都包含了“甲站排头且乙站排尾”的\(A_5^5\)种排法，故共有\(A_7^7-2A_6^6+A_5^5=3720\)排法．
(4)先把女生看成一个元素，与其他\(4\)个男生共\(5\)个元素来排有\(A_5^5\)种排法，再排三个女生有\(A_3^3\)种排法，共有\(A_5^5⋅A_3^3=720\)种不同排法．
【巩固练习】
1.若从\(6\)名志愿者中选出\(4\)人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案有( )
A．\(180\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(360\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(15\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(30\)种
2.高三(一 班学要安排毕业晚会的\(4\)个音乐节目，\(2\)个舞蹈节目和\(1\)个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )
A．\(1800\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(3600\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(4320\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(5040\)
3.某班新年联欢会原定的\(5\)个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )
A．\(42\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(96\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(48\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(124\)
4.三位老师和三位学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法总数为( )
A．\(720\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(144\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(36\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(12\)
5.将红、黄、蓝、白、黑\(5\)种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑\(5\)种颜色的口袋中，但红口袋不能装入红球，则有\(\underline{\quad \quad}\)种不同的放法．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 从\(6\)名志愿者中选出\(4\)人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案有\(A_6^4=360\)种．故选：\(B\)． -
答案 \(B\)
解析 两个舞蹈节目不连排，则利用插空法进行，
先排\(4\)个音乐节目和\(1\)个曲艺节目，共有\(A_5^5\)，\(5\)个节目之间有\(6\)个空，
从中选两个排舞蹈，有\(A_6^2\)，则共有\(A_5^5 A_6^2=3600\)，
故选：\(B\)． -
答案 \(A\)
解析 方法一：分\(2\)种情况：(1)增加的两个新节目相连，(2)增加的两个新节目不相连；
故不同插法的种数为\(A_6^1 A_2^2+A_6^2=42\)，故选：\(A\)．
方法二：\(7\)个节目的全排列为\(A_7^7\)，两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为\(\dfrac{A_7^7}{A_5^5}=A_7^2=42\)，故选：\(A\)． -
答案 \(B\)
解析 先将老师排好有\(A_3^3\)种排法，形成\(4\)个空位，将\(3\)个学生插入\(4\)个空位中，有\(A_4^3\)种排法，
\(\therefore\)共有\(A_3^3⋅A_4^3=144\)种排法． -
答案 \(96\)
解析 \(\because\)红口袋不能装入红球，
\(\therefore\)红球只能放在黄、蓝、白、黑\(4\)种颜色的口袋中，
\(\therefore\) 红球有\(A_4^1\)种放法，
其余的四个球在四个位置全排列有\(A_4^4\)种放法，
由分步计数原理得到共有\(A_4^1 A_4^4=96\)，
故答案为：\(96\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.从\(3\)本不同的书中选\(2\)本送给\(2\)名同学，每人各\(1\)本，则不同的送法种数为( )
A．\(9\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(3\)
2.甲、乙、丙\(3\)位志愿者安排在周一至周五的\(5\)天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( )
A．\(20\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(30\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(40\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(60\)种
3.有\(5\)位学生和\(2\)位老师并坐一排合影，若教师不能坐在两端，且要坐在一起，则有多少种不同坐法( )
A．\(7!\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(240\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(480\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(960\)种
4.把\(ABCDE\)这\(5\)个字母排成一排，\(A\)，\(B\)都不和\(C\)相邻的排法有( )
A．\(24\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(30\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(32\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(36\)种
5.(多选)下列问题中，属于排列问题的有( )
A．\(10\)本不同的书分给\(10\)名同学，每人一本
B．\(10\)位同学去做春季运动会志愿者
C．\(10\)位同学参加不同项目的运动会比赛
D．\(10\)个没有任何三点共线的点构成的线段
6.若\(A_{m+1}^3=6 A_m^2\)，则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\).
7.某信号兵用红、黄、蓝\(3\)面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂\(1\)面、\(2\)面或\(3\)面 (旗的颜色无重复)，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示\(\underline{\quad \quad}\)种不同的信号．
8.编辑一张由\(4\)个语言类节目和\(2\)个舞蹈类节目组成的演出节目单，若要使\(2\)个舞蹈类节目不相邻，则不同排法的种数是\(\underline{\quad \quad}\)．
9.在市数学竞赛中，\(A\)、\(B\)，\(C\)三间学校分别有\(1\)名、\(2\)名、\(3\)名同学获一等奖，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有\(\underline{\quad \quad}\)种．
10.解方程 \(A_8^x=6 A_8^{x-2}\)．
11.一场晚会有\(5\)个唱歌节目和\(3\)个舞蹈节目，要求排出一个节目单
(1)前\(4\)个节目中要有舞蹈，有多少种排法？
(2)\(3\)个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？
(3)\(3\)个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？
12.从\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)这六个数字组成的无重复数字的自然数，
求：(1)有多少个含有\(2\)，\(3\)，但它们不相邻的五位数？
(2)有多少个数字\(1\)，\(2\)，\(3\)必须由大到小顺序排列的六位数？
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 根据题意，只需从\(3\)本不同的书中顺序选出\(2\)本，对应送给\(2\)位同学即可，有\(A_3^2=6\)种方法；故选：\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 分类完成：①甲排周一，乙、丙只能从周二至周五中选\(2\)天排，有\(A_4^2\)种排法；
②甲排周二，乙、丙有\(A_3^2\)种排法；
③甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有\(A_2^2\)种排法，
\(\therefore\)共有\(A_4^2+A_3^2+A_2^2=20\)种排法． -
答案 \(D\)
解析 先排\(5\)位学生，有\(A_5^5\)种坐法，
\(2\)教师坐在一起，将其看成一个整体，可以交换位置，有\(2\)种坐法，
将这个“整体”插在\(5\)个学生的空位中，又由教师不能坐在两端，
则有\(4\)个空位可选，则共有\(2A_5^5 A_4^1=960\)种坐法．
故选：\(D\)． -
答案 \(D\)
解析 \(A\)，\(B\)都不与\(C\)可以分成两种情况，
一是三个都不相邻，二是\(A\)，\(B\)相邻，但是不和\(C\)相邻，
当三个都不相邻时，先排列\(D\)，\(E\)，再把三个元素插空，有\(A_2^2A_3^3=12\) 种方法，
当\(A\)，\(B\)相邻时，有\(A_2^2\)种方法，但是不和\(C\)相邻时，先排\(D\)、\(E\)，有\(A_2^2\)种方法，再从\(3\)个空中选\(2\)个空，把整体AB和\(C\)插入，有\(A_3^2\)种方法，
综上，\(A\)，\(B\)相邻，但是不和\(C\)相邻的方法有\(A_2^2 A_3^2 A_2^2=24\)种，
根据分类计数原理知，共有\(12+24=36\)种结果，
故选：\(D\)． -
答案 \(AC\)
解析 对于\(A\)，\(10\)本不同的书分给\(10\)名同学，每人一本，与顺序有关，属于排列问题；
对于\(B\)，\(10\)位同学去做春季运动会志愿者，与顺序无关，不属于排列问题；
对于\(C\)，\(10\)位同学参加不同项目的运动会比赛，与顺序有关，属于排列问题；
对于\(D\)，\(10\)个没有任何三点共线的点构成的线段，与顺序无关，不属于排列问题．
故选：\(AC\)． -
答案 \(5\)
解析 由\(A_{m+1}^3=6 A_m^2\)，
由排列数公式得：\(m(m+1)(m-1)=6m(m-1)\)，
解得：\(m=5\)或\(m=1\)(舍去)或\(m=0\)(舍去)． -
答案 \(15\)
解析 第\(1\)类，挂\(1\)面旗表示信号，有\(A_3^1\)种不同方法；
第\(2\)类，挂\(2\)面旗表示信号，有\(A_3^2\)种不同方法；
第\(3\)类，挂\(3\)面旗表示信号，有\(A_3^3\)种不同方法；
根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有\(A_3^1+A_3^2+A_3^3=3+3×2+3×2×1=15\)种． -
答案 \(480\)
解析 先排\(4\)个语言类节目，方法有\(A_4^4\)种，再从排列\(4\)个语言类节目形成的\(5\)个空中选出\(2\)个空，
插入\(2\)个舞蹈节目，方法有\(A_5^2\)种，
根据分步计数原理，不同排法的种数是\(A_4^4⋅A_5^2=480\)种，
故答案为：\(480\)． -
答案 \(72\)
解析 因为六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，所以由捆绑法，可得\(A_3^3 A_3^3 A_2^2= 72\)．故答案为：\(72\)． -
答案 \(7\)
解析 根据题意，\(A_8^x=6 A_8^{x-2}\)，
则 \(\left\{\begin{array}{l} x \leq 8 \\ x-2 \leq 8 \end{array}\right.\) ，有\(x≤8\)，且\(x\in N\)，
则有\(\dfrac{8 !}{(8-x) !}=6 \times \dfrac{8 !}{(10-x) !}\)，
化简可得：\(x^2-19x+84=0\)，解可得\(x=7\)或\(14\)，
又由\(x≤8\)，且\(x\in N\)，则\(x=7\)，
则方程的解为\(x=7\)． -
答案 (1) \(37440\)；(2)\(4320\). (3)\(14400\).
解析 (1)\(\because 8\)个节目全排列有\(A_8^8=40320\)种方法，
若前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有\(A_5^4 A_4^4\)，
\(\therefore\)前4个节目中要有舞蹈有\(A_8^8-A_5^4 A_4^4=37440\)，
(2)\(\because 3\)个舞蹈节目要排在一起，
\(\therefore\)可以把三个舞蹈节目看作一个元素和另外\(5\)个元素进行全排列，
三个舞蹈节目本身也有一个排列有\(A_6^6 A_3^3=4320\)，
(3)\(3\)个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，
先把\(5\)个唱歌节目排列，形成\(6\)个位置，选三个把舞蹈节目排列，
有\(A_5^5 A_6^3=14400\)． -
答案 (1) \(252\)；(2) \(100\).
解析 (1)不考虑\(0\)在首位，\(0\)，\(1\)，\(4\)，\(5\)先排三个位置，则有\(A_4^3\)，\(2\)，\(3\)去排四个空档，有\(A_4^2\)，即\(A_4^3 A_4^2\)；而\(0\)在首位时，有\(A_3^2 A_3^2\)，即\(A_4^3 A_4^2-A_3^2 A_3^2=252\)；
(2)在六个位置先排\(0\)，\(4\)，\(5\)，不考虑\(0\)在首位，则有\(A_6^3\)，去掉\(0\)在首位，即\(A_6^3-A_5^2\)，\(0\)，\(4\)，\(5\)三个元素排在六个位置上留下了三个空位，\(1\)，\(2\)，\(3\)必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以\(A_6^3-A_5^2=100\)．
【B组---提高题】
1.\(6\)个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有\(\underline{\quad \quad}\)种不同排法．
2.将\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，\(E\)，\(F\)六个字母排成一排，且\(A\)，\(B\)均在\(C\)的同侧，则不同的排法种数为\(\underline{\quad \quad}\).
3.证明： \(A_{n+1}^m=A_n^m+m A_n^{m-1}\)．
参考答案
-
答案 \(504\)
解析 \(\because\)甲不在排头，乙不在排尾的否定包含三种情况：
甲在头且乙在尾有\(A_4^4\)，甲在头且乙不在尾\(A_4^1 A_4^4\)，甲不在头且乙在尾\(A_4^1 A_4^4\)，由题意得：\(A_6^6-A_4^4-A_4^1 A_4^4-A_4^1 A_4^4=504\)，
故答案为：\(504\)． -
答案 \(480\)
解析 第一类，字母\(C\)排在左边第一个位置，有\(A_5^5\)种；
第二类，字母\(C\)排在左边第二个位置，有\(A_4^2 A_3^3\)种；
第三类，字母\(C\)排在左边第三个位置，有\(A_2^2 A_3^3+A_3^2 A_3^3\)种，
由对称性可知共有\(2(A_5^5+A_4^2 A_3^3+A_2^2 A_3^3+A_3^2 A_3^3 )=480\)种． -
证明 右边 \(=\dfrac{n !}{(n-m) !}+\dfrac{m n !}{(n-m+1) !}\)\(=\dfrac{n !(n+1)}{(n-m+1) !}=\dfrac{(n+1) !}{(n-m+1) !}=A_{n+1}^m=\)左边．
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