5.2.1 三角函数的概念

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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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必修第一册同步巩固，难度2颗星！

基础知识

任意角的三角函数的概念

设\(α\)是一个任意角，\(α∈R\)，它的终边\(OP\)与单位圆相交于点\(P(x,y)\).
① 把点\(P\)的纵坐标\(y\)叫做\(α\)的正弦函数，记作\(\sinα\)，即\(y=\sinα\)；
② 把点\(P\)的纵坐标\(x\)叫做\(α\)的余弦函数，记作\(\cosα\)，即\(x=\cosα\)；
③ 把点\(P\)的纵坐标 \(\dfrac{y}{x}\)叫做\(α\)的正切函数，记作\(\tanα\)，即 \(\dfrac{y}{x}=\tan \alpha(x \neq 0)\).

正弦函数\(f(x)=\sin x\),\(x∈R\)；余弦函数\(f(x)=\cos x\),\(x∈R\)；
正切函数\(f(x)=\tan x\), \(x \neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z)\)，它们统称三角函数.
解释
(1) 一般地，任意给定一个角\(α∈R\)，它的终边\(OP\)与单位圆的交点是确定的，则点\(P\)的横坐标\(x\)、纵坐标\(y\)都是角\(α\)的函数；
(2) 当\(α=\dfrac{\pi}{2}+kπ(k∈Z)\)时，\(α\)的终边在\(y\)轴上，这时点\(P\)横坐标\(x=0\)，此时 \(\dfrac{y}{x}=\tan \alpha\)没意义.
(3) 设\(α\)是一个任意角，它的终边上任意一点\(P\)(不与原点\(O\)重合)的坐标为\((x,y)\)，点\(P\)与原点的距离为\(r\)，
则\(\sin \alpha=\dfrac{y}{r}\)，\(\cos \alpha=\dfrac{x}{r}\)，\(\tan \alpha=\dfrac{y}{x}\).显然其中\(r=\sqrt{x^2+y^2}\).
 

【例】 求\(\sin \dfrac{2 \pi}{3}\)， \(\cos \dfrac{2 \pi}{3}\)， \(\tan \dfrac{2 \pi}{3}\).
解析 下图中，\(\dfrac{2 \pi}{3}\)的终边\(OP\)与单位圆交于点\(P\)，过点\(P\)作\(PH⊥x\)轴，
在\(Rt∆OPH\)中，\(OP=1\)， \(\angle P O H=\dfrac{\pi}{3}\)，
则\(O H=\dfrac{1}{2}\)， \(P H=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，即\(P\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)，
则\(\sin \dfrac{2 \pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos \dfrac{2 \pi}{3}=-\dfrac{1}{2}\)，\(\tan \dfrac{2 \pi}{3}=-\sqrt{3}\).

 

三角函数在各个象限的符号

判断三角函数在各个象限的符号的方法
(1) 三角函数定义
设\(α\)的终边上一点\(P(x,y)\)，\(\sinα\)符号看\(y\)，\(\cos α\)符号看\(x\)，\(\tan α\)符号看 \(\dfrac{y}{x}\).

各象限点坐标的符号	$α$	第一象限	第二象限	第三象限	第四象限
	$\sinα$	$+$	$+$	$－$	$－$
	$\cos α$	$+$	$－$	$－$	$+$
	$\tan α$	$+$	$－$	$+$	$-$

 

(2) 巧记方法： \(QSRC\)--全是天才
如下图，第一象限是\(Q\)，第二象限是\(S\)，第一象限是\(T\)，第一象限是\(C\)；\(QSRC\)是“全是天才”各字拼音首字母.\(S\)代表"\(\sin\)"，\(T\)代表"\(\tan\) "，\(C\)代表"\(\cos\) "，\(Q\)代表全部三种函数.
则第一象限中三个函数符号都是正，第二象限中只有\(\sinα\)的符号是正，第三象限中只有\(\tan α\)的符号是正，第四象限只有\(\cos α\)的符号是正.

PS 建议学数学还是要有“逻辑性”地系统建立起知识体系，方法1好；方法2这种“取巧” 的分式不太建议，但挺佩服想到这方法那个人的想象能力.
 

特殊角的三角函数值表

\(α\)	\(0\)	\(\dfrac{π}{6}\)	\(\dfrac{π}{4}\)	\(\dfrac{π}{3}\)	\(\dfrac{π}{2}\)	\(\dfrac{2π}{3}\)	\(\dfrac{3π}{4}\)	\(\dfrac{5π}{6}\)	\(π\)	\(\dfrac{3π}{2}\)	\(2π\)
\(\sin⁡ α\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)	\(-1\)	\(0\)
\(\cos ⁡α\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)	\(-\dfrac{1}{2}\)	\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)
\(\tan ⁡α\)	\(0\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)	无	\(-\sqrt{3}\)	\(-1\)	\(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)	\(0\)	无	\(0\)

 

利用三角函数的定义求\(α=0\)、 \(\dfrac{π}{2}\) 、\(π\)、\(2π\)时对应的三角函数值.
PS 对特殊角的三角函数值，要理解切忌死记，后面学到诱导公式也可理解.
 

【例】 如图所示，\(α=π\)的终边在\(x\)轴的负半轴，与\(x\)轴交点为\(P(-1,0)\)，
则\(\sinπ=0\)，\(\cos π=-1\)，\(\tan π=0\).

 

终边相等的角的三角函数值

由三角函数的定义，易得：终边相等的角的同一三角函数的值相等.
即\(\sin⁡ (α+k⋅2π)=\sinα\)，\(\cos ⁡(α+k⋅2π)=\cos α\)，\(\tan ⁡(α+k⋅2π)=\tan α\)，其中\(k∈Z\).
这组公式属于诱导公式的公式一，后面我们还会学其他的公式二至六.
 

【例】 求 \(\cos \dfrac{9 \pi}{4}\)， \(\tan \left(-\dfrac{11 \pi}{3}\right)\).
解 \(\cos \dfrac{9 \pi}{4}==\cos \left(\dfrac{\pi}{4}+2 \pi\right)=\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)， \(\tan \left(-\dfrac{11 \pi}{3}\right)=\tan \left(-4 \pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=\tan \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
 

基本方法

【题型1】利用定义求角的三角函数值

【典题1】 已知点\(M\)是单位圆\(x^2+y^2=1\)上的点，以射线\(OM\)为终边的角\(α\)的正弦值为\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，
求\(\cos α\)和\(\tan α\)的值．
解析 设点\(M\)的坐标为\((x_1,y_1)\)．
由题意可知，\(\sin \alpha=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，即\(y_1=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)．
\(∵\)点\(M\)是圆\(x^2+y^2=1\)上的点，
\(∴x_1^2+y_1^2=1\)，即\(x_1^2+\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=1\)，解得\(x_1= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，或 \(x_1=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)．
即\(M\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)或\(M\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，
\(\therefore \cos \alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\tan \alpha=-1\)，或 \(\cos \alpha=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\tan \alpha=1\)．
点拨 注意三角函数的定义，点\(M\)是否在单位圆上，若不是，则\(\sin \alpha=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)，
\(\cos \alpha=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)，\(\tan \alpha=\dfrac{y}{x}\).
 

【典题2】 求\(\sin \dfrac{3 \pi}{4}\)，\(\cos \dfrac{3 \pi}{4}\)，\(\tan \dfrac{3 \pi}{4}\).
解析 \(\dfrac{3 \pi}{4}\)的终边\(OP\)与单位圆交于点\(P\)，过点\(P\)作\(PH⊥x\)轴，
在\(Rt∆OPH\)中，\(OP=1\)， \(\angle P O H=\dfrac{\pi}{4}\)，
则\(O H=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)， \(P H=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，即\(P\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，
则\(\sin \dfrac{3 \pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\cos \dfrac{3 \pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\tan \dfrac{3 \pi}{4}=-1\).

 

【巩固练习】

1.求 \(\sin \dfrac{\pi}{2}=\) \(\underline{\quad \quad}\)， \(\cos \dfrac{\pi}{2}=\) \(\underline{\quad \quad}\) ，
 

2.已知角\(α\)的终边过点\(P(-4m,3m)(m≠0)\)，则\(2\sinα+\cos α\)的值是(　　)
 A．\(1\)或\(-1\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{2}{5}\)或 \(-\dfrac{2}{5}\) \(\qquad \qquad\) C．\(1\)或 \(-\dfrac{2}{5}\) \(\qquad \qquad\) D．\(－1\)或 \(\dfrac{2}{5}\)
 

3.求\(\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\)，\(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\)，\(\tan \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\).
 

参考答案

1. 答案 \(1\)，\(0\)
   解析 利用单位圆，得到\(\sin⁡ \dfrac{\pi}{2}=1\)，\(\cos \dfrac{\pi}{2}=0\).

2. 答案 \(B\)
   解析 \(r=\sqrt{(-4 m)^2+(3 m)^2}=5|m|\)， \(\therefore \sin \alpha=\dfrac{3 m}{5|m|}\)， \(\cos \alpha=\dfrac{-4 m}{5|m|}\)，
   \(\therefore 2 \sin \alpha+\cos \alpha=\dfrac{6 m-4 m}{5|m|}=\dfrac{2 m}{5|m|}=-\dfrac{2}{5}\)或 \(\dfrac{2}{5}\)，故选\(B\)．

3. 答案 \(\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)， \(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)， \(\tan \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\).
   解析 \(-\dfrac{\pi}{4}\)的终边\(OP\)与单位圆交于点\(P\)，过点\(P\)作\(PH⊥x\)轴，
   在\(Rt∆OPH\)中，\(OP=1\)， \(\angle P O H=\dfrac{\pi}{4}\)，
   则\(O H=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)， \(P H=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，即\(P\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，
   则\(\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\tan \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\).

 

【题型2】三角函数值的符号问题

【典题1】 判断下列各式的符号：
(1) \(\sinα⋅\tan α\)，其中\(α\)是第四象限角；(2) \(\sin 3 \cdot \cos 4 \cdot \tan \left(-\dfrac{23 \pi}{4}\right)\).
解析 (1)\(∵α\)是第四象限角，\(∴\sinα<0\)，\(\tan α<0\)，
\(∴\sinα·\tan α>0\)．
(2) \(\because \dfrac{\pi}{2}<3<\pi\)， \(\pi<4<\dfrac{3 \pi}{2}\)，\(∴\sin3>0\)，\(\cos 4<0\)．
\(\because-\dfrac{23 \pi}{4}=-6 \pi+\dfrac{\pi}{4}\)， \(\therefore-\dfrac{23 \pi}{4}\)的终边与\(\dfrac{\pi}{4}\)的终边相同，
\(\because \tan \dfrac{\pi}{4}>0\)， \(\therefore \tan \left(-\dfrac{23 \pi}{4}\right)>0\)
\(\therefore \sin 3 \cdot \cos 4 \cdot \tan \left(-\dfrac{23 \pi}{4}\right)<0\)．
点拨 判断角\(α\)的三角函数的符号，先确定\(α\)终边在第几象限；设\(α\)的终边所在象限点坐标\((x,y)\)，
\(\sinα\)符号看\(y\)，\(\cos α\)符号看\(x\)，\(\tan α\)符号看 \(\dfrac{y}{x}\).
 

【巩固练习】

1.已知\(\sin4\cdot \tan 2\)的值 (　　)
 A．不大于\(0\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．大于\(0\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．不小于\(0\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．小于\(0\)
 

2.已知\(\{x∣x≠\dfrac{kπ}{2},k∈Z\}\)，则函数\(y=\dfrac{|\sin x|}{\sin x}+\dfrac{|\cos x|}{\cos x}-\dfrac{2|\tan x|}{\tan x}\) 的值可能是(　　)
 A.\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(-4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(-2\)
 

3.若\(\cos θ<0\)且\(\tan θ<0\)，则\(\dfrac{θ}{2}\)终边在(　　)
 A．第一象限 \(\qquad \qquad\) B．第二象限 \(\qquad \qquad\) C．第一或第三象限 \(\qquad \qquad\) D．第三或第四象限
 

参考答案

1. 答案 \(B\)
   解析 \(4rad\)在第三象限，\(\sin4<0\);\(2rad\)在第二象限，\(\tan 2<0\),则\(\sin4\tan 2>0\).故选\(B\).

2. 答案 \(B\)
   解析 当\(x\)在第一象限时： \(y=\dfrac{|\sin x|}{\sin x}+\dfrac{|\cos x|}{\cos x}-\dfrac{2|\tan x|}{\tan x}=1+1-2=0\)；
   当\(x\)在第二象限时： \(y=\dfrac{|\sin x|}{\sin x}+\dfrac{|\cos x|}{\cos x}-\dfrac{2|\tan x|}{\tan x}=1-1+2=2\) ；
   当\(x\)在第三象限时： \(y=\dfrac{|\sin x|}{\sin x}+\dfrac{|\cos x|}{\cos x}-\dfrac{2|\tan x|}{\tan x}=-1-1-2=-4\)；
   当\(x\)在第四象限时： \(y=\dfrac{|\sin x|}{\sin x}+\dfrac{|\cos x|}{\cos x}-\dfrac{2|\tan x|}{\tan x}=-1+1+2=2\)．
   故选：\(B\)．

3. 答案 \(C\)
   解析 \(∵\cos θ<0\) ,\(∴θ\)是第二或三象限，
   \(∵\tan θ<0\)，\(∴θ\)是第二或四象限，
   \(∴θ\)是第二象限，即 \(2 k \pi+\dfrac{\pi}{2}<\theta<2 k \pi+\pi\)，
   \(\therefore k \pi+\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\theta}{2}<k \pi+\dfrac{\pi}{2}\)，
   \(∴\)可得 \(\dfrac{θ}{2}\)终边在第一或第三象限．
   故选：\(C\)．
    

【题型3】诱导公式一的应用

【典题1】 求值 \(\cos \dfrac{7 \pi}{3}+\sin \dfrac{25 \pi}{6}+\tan \left(-\dfrac{15 \pi}{4}\right)\).
解析 \(\cos \dfrac{7 \pi}{3}+\sin \dfrac{25 \pi}{6}+\tan \left(-\dfrac{15 \pi}{4}\right)=\cos \left(2 \pi+\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin \left(4 \pi+\dfrac{\pi}{6}\right)+\tan \left(-4 \pi+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(=\cos \dfrac{\pi}{3}+\sin \dfrac{\pi}{6}+\tan \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+1=2\).
点拨 \(\sin⁡ (α+k⋅2π)=\sinα\)，\(\cos ⁡(α+k⋅2π)=\cos α\)，\(\tan ⁡(α+k⋅2π)=\tan α\)，
其中\(k∈Z\). 即终边相等的角的同一三角函数的值相等.
 

【典题2】 角\(α\)终边与单位圆交于点 \(A\left(-\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right)\)，则 \(\sin (\alpha+4 \pi)+2 \tan (-2 \pi+\alpha)=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
解析 \(∵\)角\(α\)终边与单位圆交于点 \(A\left(-\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right)\)，
\(\therefore \sin \alpha=\dfrac{4}{5}\)， \(\tan \alpha=-\dfrac{4}{3}\)，
\(\therefore \sin (\alpha+4 \pi)+2 \tan (-2 \pi+\alpha)=\sin \alpha+2 \tan \alpha=\dfrac{4}{5}+2 \cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-\dfrac{28}{15}\)．
 

【巩固练习】

1.求值 \(\cos \dfrac{13 \pi}{6}+\sin \dfrac{7 \pi}{3}+\tan \left(-\dfrac{7 \pi}{4}\right)\).
 

2.已知角\(α\)终边上点\(P\)的坐标为\(\left(\dfrac{4}{5},-\dfrac{3}{5}\right)\)，则 \(3 \sin (\alpha-2 \pi)-2 \cos (6 \pi+\alpha)=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
 

参考答案

1. 答案 \(\sqrt{3}+1\)
   解析 \(\cos \dfrac{13 \pi}{6}+\sin \dfrac{7 \pi}{3}+\tan \left(-\dfrac{7 \pi}{4}\right)=\cos \left(2 \pi+\dfrac{\pi}{6}\right)+\sin \left(2 \pi+\dfrac{\pi}{3}\right)+\tan \left(-2 \pi+\dfrac{\pi}{4}\right)\)\(=\cos \dfrac{\pi}{6}+\sin \dfrac{\pi}{3}+\tan \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1=\sqrt{3}+1\).

2. 答案 \(-\dfrac{17}{5}\)
   解析 \(∵\)角\(α\)终边上点\(P\)的坐标为\(\left(\dfrac{4}{5},-\dfrac{3}{5}\right)\)，
   \(\therefore x=\dfrac{4}{5}\)， \(y=-\dfrac{3}{5}\)，\(r=|OA|=1\)．
   \(\therefore \sin \alpha=-\dfrac{3}{5}\)，\(\cos \alpha=\dfrac{4}{5}\)，
   \(\therefore 3 \sin (\alpha-2 \pi)-2 \cos (6 \pi+\alpha)=3 \sin \alpha-2 \cos \alpha=-\dfrac{9}{5}-\dfrac{8}{5}=-\dfrac{17}{5}\)．
    

分层练习

【A组---基础题】

1.有下列命题，其中正确的个数是(　　)
 ①终边相同的角的同名三角函数值相等；
 ②同名三角函数值相等的角也相等；
 ③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等；
 ④不相等的角，同名三角函数值也不相等．
 A．\(0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(3\)
 

2.已知角\(α\)的项点与坐标原点重合，始边与\(x\)轴的非负半轴重合，若点\(P(2,-1)\)在角\(α\)的终边上，则\(\tan α=\)(　　)
 A．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(-\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(-2\)
 

3.已知\(\sin \alpha=\dfrac{3}{5}\), \(\cos \alpha=-\dfrac{4}{5}\)，则角\(α\)所在的象限是(　　)
  A．第一象限 \(\qquad \qquad \qquad\) B．第二象限 \(\qquad \qquad \qquad\) C．第三象限 \(\qquad \qquad \qquad\) D．第四象限
 

4.已知\(\alpha=\dfrac{16 \pi}{5}\)，则下列结论正确的是(　　)
 A. \(\sin⁡ α<0\),\(\cos ⁡α>0\) $ \qquad \qquad \qquad \qquad$ B. \(\sin⁡ α<0\),\(\cos ⁡α<0\)
 C.\(\sin⁡ α<0\),\(\cos ⁡α<0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(\sin⁡ α>0\),\(\cos ⁡α>0\)
 

5.若\(\sinα·\cos α<0\)，则\(α\)的终边在(　　)
 A．第一或第二象限 \(\qquad \qquad\) B．第一或第三象限 \(\qquad \qquad\) C．第一或第四象限 \(\qquad \qquad\) D．第二或第四象限
 

6.\(\sin495°=\)(　　)
 A.\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(-\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
 

7.已知角\(α\)的终边与单位圆的交点为\(P\left(-\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}\right)\)，则\(2\cos α+\tan α=\)\(\underline{\quad \quad}\).
 

8.已知\(P\left(\sin \dfrac{5 \pi}{4}, \cos \dfrac{3 \pi}{4}\right)\)落在角\(θ\)的终边上，且\(θ∈[0,2π)\)，则\(θ\)是第\(\underline{\quad \quad}\)象限角．
 

9.已知函数\(f(x)=a \sin (\pi x+\alpha)+b \cos (\pi x+\beta)\)，且\(f(2)=2\)，则\(f(2020)\)的值为\(\underline{\quad \quad}\).
 
 

10.求值\(\sin \left(-\dfrac{11 \pi}{6}\right)+\cos \dfrac{7 \pi}{3}+\tan \left(-\dfrac{5 \pi}{3}\right)\).

 
 

11.已知角\(α\)终边上点\(P\)的坐标为\((2,-1)\)，求\(3 \tan (\alpha+2 \pi)+\sin (-4 \pi+\alpha)\).
 
 
 

参考答案

1. 答案 \(B\)
   解析 对于①，由诱导公式一可得正确；
   对于②，由 \(\sin 30^{\circ}=\sin 150^{\circ}=\dfrac{1}{2}\)，但\(30°≠150°\)，所以②错误；
   对于③，如\(α=60°\)，\(β=120°\)的终边不相同，但 \(\sin 60^{\circ}=\sin 120^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，
   所以③错误；对于④，由③中的例子可知④错误．

2. 答案 \(C\)
   解析 \(∵\)点\(P(2,-1)\)在角\(α\)的终边上， \(\therefore \tan \alpha=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}\)，故选：\(C\)．

3. 答案 \(B\)
   解析 由 \(\sin \alpha=\dfrac{3}{5} >0\)得角\(α\)的终边在第一或第二象限；
   由 \(\cos \alpha=-\dfrac{4}{5}<0\)得角\(α\)的终边在第二或第三象限．
   综上，角\(α\)所在的象限是第二象限．

4. 答案 \(C\)
   解析 \(\because \alpha=\dfrac{16 \pi}{5}=2 \pi+\pi+\dfrac{\pi}{5}\)，终边落在第三象限，
   \(∴\sin⁡ α<0\),\(\cos ⁡α<0\)，故选：\(C\).

5. 答案 \(D\)
   解析 \(∵\sinα·\cos α<0\)，\(∴\sinα\)与\(\cos α\)异号，
   \(∴α\)的终边在第二或第四象限．

6. 答案 \(D\)
   解析 \(\sin⁡ 495^∘=\sin⁡ (360^∘+135^∘ )=\sin⁡ 135^∘=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，故选\(D\).

7. 答案 \(\dfrac{9}{20}\)
   解析 角\(α\)的终边与单位圆的交点为\(P\left(-\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}\right)\)，则 \(\cos \alpha=-\dfrac{4}{5}\)，
   则 \(2 \sin \alpha+\tan \alpha=\dfrac{6}{5}+\dfrac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=\dfrac{9}{20}\)．

8. 答案 三
   解析 \(\because \sin \dfrac{5 \pi}{4}<0\)， \(\cos \dfrac{3 \pi}{4}<0\)，\(∴P\)在第三象限，\(∴θ\)在第三象限角.

9. 答案 \(2\)
   解析 \(∵f(2)=a \sin⁡ (2π+α)+b \cos ⁡(2π+β)=a\sin⁡ α+b\cos ⁡β\)，\(∴a \sin⁡ α+b \cos ⁡β=2\)
   \(f(2020)=a \sin⁡ (2020x+α)+b \cos ⁡(2020x+β)=a \sin⁡ α+b \cos ⁡β=2\).

10. 答案 \(\sqrt{3}+1\)
    解析 \(\sin \left(-\dfrac{11 \pi}{6}\right)+\cos \dfrac{7 \pi}{3}+\tan \left(-\dfrac{7 \pi}{3}\right)=\sin \left(-2 \pi+\dfrac{\pi}{6}\right)+\cos \left(2 \pi+\dfrac{\pi}{3}\right)+\tan \left(-2 \pi+\dfrac{\pi}{3}\right)\)
    \(=\sin \dfrac{\pi}{6}+\cos \dfrac{\pi}{3}+\tan \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}=\sqrt{3}+1\).

11. 答案 \(-\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
    解析 \(∵\)角\(α\)终边上点\(P\)的坐标为\((2,-1)\)，
    \(∴x=2\)，\(y=-1\)， \(r=|O A|=\sqrt{5}\)，
    \(\therefore \sin \alpha=\dfrac{y}{r}=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)， \(\tan \alpha=\dfrac{y}{x}=-\dfrac{1}{2}\)，
    \(\therefore 3 \tan (\alpha+2 \pi)+\sin (-4 \pi+\alpha)=3 \tan \alpha+\sin \alpha=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)．
     

【B组---提高题】

1.若\(θ\)为第二象限角，则下列结论一定成立的是(　　)
 A． \(\sin \dfrac{\theta}{2}>0\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(\cos \dfrac{\theta}{2}>0\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(\tan \dfrac{\theta}{2}>0\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(\sin \dfrac{\theta}{2} \cos \dfrac{\theta}{2}<0\)
 

2.若\(\sin \left(-\dfrac{7 \pi}{3}+\theta\right)=-\dfrac{3}{5}\)，则\(\sin \left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
 
 

参考答案

1. 答案 \(C\)
   解析 \(∵θ\)为第二象限角， \(\therefore \dfrac{\pi}{2}+2 k \pi<\theta<\pi+2 k \pi\)，\(k∈Z\)．
   则 \(\dfrac{\pi}{4}+k \pi<\dfrac{\theta}{2}<\dfrac{\pi}{2}+k \pi\)，\(k∈Z\)，
   \(∴θ\)为一或三象限角，得 \(\tan \dfrac{\theta}{2}>0\)．
   故选：\(C\)．

2. 答案 \(-\dfrac{3}{5}\)
   解析 \(\sin \left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin \left[2 \pi+\left(-\dfrac{7 \pi}{3}+\theta\right)\right]=\sin \left(-\dfrac{7 \pi}{3}+\theta\right)=-\dfrac{3}{5}\).
    

【C组---拓展题】

1.若 \(0<x<\dfrac{\pi}{2}\)，证明 \(\sin x<x<\tan x\).
 
 

参考答案

1. 解析 如上图，在单位圆中，\(\sin x=AB\)，\(\tan x=CD\)， \(x=\widehat{A D}\)，
   显然\(\sin x<x<\tan x\).