5.1.2 弧度制
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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必修第一册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
弧度的定义
弧长等于半径时，所对的圆心角为\(1\)弧度的圆心角，记作\(1\mathrm{rad}\).
即:半径为\(r\)的圆中，弧长为\(l\)的弧所对的圆心角为\(\alpha \mathrm{rad}\)，那么\(|\alpha|=\dfrac{l}{r}\).
解释
(1) 如下图，设\(α=n^{\circ}\)，\(OP=r\)，圆弧\(\widehat{P P}_1\) ̂的长为\(l\)，\(OQ=r_1\)，圆弧\(\widehat{Q Q}_1\)的长为\(l_1\).
由初中所学的弧长公式\(l=\dfrac{n \pi r}{180}\)，可得\(\dfrac{l}{r}=n \dfrac{\pi}{180}\).
同理\(\dfrac{l_1}{r_1}=n \dfrac{\pi}{180}\)，则\(\dfrac{l_1}{r_1}=\dfrac{l}{r}\)，即圆心角\(α\)所对的弧长与半径的比值，只与\(α\)的大小有关.
(2) \(|\alpha|=\dfrac{l}{r}\)，其中\(α\)的正负由角\(α\)的终边旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.
角度与弧度的转化
(1) \(180^{\circ}=\pi \mathrm{rad} \Rightarrow 1^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} \approx 0.01745 \mathrm{rad}\)， \(1 \mathrm{rad}=\left(\dfrac{180}{\pi}\right)^{\circ} \approx 57.30^{\circ}\).
(2) 特殊角的角度与弧度对应表
| 角度 | \(0^∘\) | \(30^∘\) | \(45^∘\) | \(60^∘\) | \(90^∘\) | \(120^∘\) | \(135^∘\) | \(150^∘\) | \(180^∘\) | \(270^∘\) | \(360^∘\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 弧度 | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(\dfrac{3\pi}{4}\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
注 在弧度制下，角的集合与实数集之间建立一一对应关系；以后弧度制单位\(\mathrm{rad}\)可省略不写.
【例】 \(\dfrac{2\pi}{5}\)化成角度为\(\underline{\quad \quad}\)．
解 \(\dfrac{2 \pi}{5}=\dfrac{2}{5} \cdot 180^{\circ}=72^{\circ}\).
弧长与扇形面积计算公式
弧长\(l=α\cdot R\)； 扇形面积\(S=\dfrac{1}{2} l R=\dfrac{1}{2} \alpha R^2\)， 其中\(R\)是圆的半径，\(α(0<α<2π)\)为圆心角.
证明
由公式\(|\alpha|=\dfrac{l}{r}\)可得\(l=αR\)，
由于初中所学可知\(l=\dfrac{n \pi R}{180}\)，\(S=\dfrac{n \pi R^2}{360}\)，
所以\(S=\dfrac{n \pi R^2}{360}=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{n \pi R}{180} \cdot R=\dfrac{1}{2} l R=\dfrac{1}{2} \cdot \alpha R \cdot R=\dfrac{1}{2} \alpha R^2\).
【例】 一扇形中，圆心角为\(\dfrac{π}{3}\)，半径\(r=2\)，求圆心角所对的弧长和扇形面积.
解 \(l=2\cdot \dfrac{π}{3}=\dfrac{2π}{3}\)，\(S=\dfrac{1}{2} αR^2=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{π}{3}\cdot 4=\dfrac{2π}{3}\).
基本方法
【题型1】弧度制的概念
【典题1】 圆弧长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A． \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{2\pi}{3}\) \(\qquad \qquad\) C．\(\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) D．\(2\)
解析 设圆的半径为\(R\)，则圆的内接正三角形的边长为\(\sqrt{3}R\)，
所以圆心角的弧度数为\(\dfrac{\sqrt{3} R}{R}=\sqrt{3}\)．
点拨 考核弧度的定义：半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为\(α rad\)，那么 \(|\alpha|=\dfrac{l}{r}\).
【巩固练习】
1.在圆心角均为\(1\)弧度的若干个圆中，下列结论正确的是( )
A．所对的弧长相等 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．所对的弦长相等
C．所对的弧长等于各自圆的半径 \(\qquad \qquad\) D．所对的弦长等于各自圆的半径
2.下面各命题中，是假命题的为( )．
A．“度”与“弧度”是度量 角的两种不同的度量单位；
B．\(1\)度的角是周角的\(\dfrac{1}{360}\)，\(1\)弧度的角是周角的\(\dfrac{1}{2 \pi}\)；
C．根据弧度的定义，\(180°\)一定等于\(π\)弧度；
D．不论是用角度制 还是用弧度制度量角，它们均与所在圆的半径长短有关．
3.圆弧长度等于其圆内接正四边形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A．\(\dfrac{\pi}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{\pi}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(2\)
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 \(∵l=θR\)，\(θ=1\)，\(∴l=R\)，故选\(C\)． -
答案 \(D\)
解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与所在圆的半径长短无关，
而是与弧长和半径的比值有关，所以\(D\)是假命题． -
答案 \(C\)
【题型2】弧度制与角度制的换算
【典题1】 设\(α_1=510^{\circ}\)，\(α_2=-750^{\circ}\)， \(\beta_1=\dfrac{4}{5} \pi\)， \(\beta_2=-\dfrac{11}{6} \pi\).
(1)将\(α_1\)，\(α_2\)用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；
(2)将\(β_1\)，\(β_2\)用角度表示出来，并在\([-2π,2π)\)内找出与它们终边相同的所有的角．
解析 (1) \(\because 1^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} \mathrm{rad}\)，
\(\therefore \alpha_1=510^{\circ}=510 \times \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{17}{6} \pi=2 \pi+\dfrac{5}{6} \pi\)；
\(\alpha_2=-750^{\circ}=-750 \times \dfrac{\pi}{180}=-\dfrac{25}{6} \pi=-3 \times 2 \pi+\dfrac{11}{6} \pi\)．
\(∴α_1\)的终边在第二象限，\(α_2\)的终边在第四象限．
(2) \(\beta_1=\dfrac{4}{5} \pi=\dfrac{4 \pi}{5} \times\left(\dfrac{180}{\pi}\right)^{\circ}=144^{\circ}\)．
设\(θ_1=k·360^{\circ}+144^{\circ}(k∈Z)\)．
\(∵-360^{\circ}≤θ_1<360^{\circ}\)，
\(∴-360^{\circ}≤k·360^{\circ}+144^{\circ}<360^{\circ}\)．
\(∴k=-1\)或\(k=0\)．
\(∴\)在\([-2π,2π)\)内与\(β_1\)终边相同的角是\(－216^{\circ}\)角．
\(\beta_2=-\dfrac{11}{6} \pi=-\dfrac{11 \pi}{6} \times\left(\dfrac{180}{\pi}\right)=-330^{\circ}\)．
设\(θ_2=k·360^{\circ}-330^{\circ}(k∈Z)\)．
\(∵-360^{\circ}≤θ_2<360^{\circ}\)，
\(∴-360^{\circ}≤k·360^{\circ}-330^{\circ}<360^{\circ}\)．
\(∴k=0\)或\(k=1\)．
\(∴\)在\([-2π,2π)\)内与\(β_2\)终边相同的角是\(30^{\circ}\)角．
【巩固练习】
1.下列各式中正确的是 ( )
A．\(\dfrac{\pi}{6} \mathrm{rad}=60^{\circ}\) \(\qquad \qquad\) B．\(\dfrac{3 \pi}{4} \mathrm{rad}=120^{\circ}\) \(\qquad \qquad\) C．\(150^{\circ}=\dfrac{5 \pi}{6} \mathrm{rad}\) \(\qquad \qquad\) D．\(180^∘=2π \mathrm{rad}\)
2.\(3\)弧度的角终边在( )
A．第一象限 \(\qquad \qquad \qquad\) B．第二象限 \(\qquad \qquad \qquad\) C．第三象限 \(\qquad \qquad \qquad\) D．第四象限
3.已知角\(α=1200^{\circ}\)
(1)将\(α\)改写成\(β+2kπ(k∈Z,0≤β≤2π)\)的形式，并指出\(α\)是第几象限的角；
(2)在区间\([-4π,π]\)上找出与\(α\)终边相同的角．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 \(\therefore \pi \mathrm{rad}=180^{\circ}\)， \(\therefore \dfrac{\pi}{6} \mathrm{rad}=\dfrac{1}{6} \times 180^{\circ}=30^{\circ}\)， \(\dfrac{3 \pi}{4} \mathrm{rad}=\dfrac{3}{4} \times 180^{\circ}=135^{\circ}\)，
\(\dfrac{5 \pi}{6} \mathrm{rad}=\dfrac{5}{6} \times 180^{\circ}=150^{\circ}\)，故选：\(C\)． -
答案 \(B\)
解析 因为\(\dfrac{\pi}{2}<3<\pi\)，所以\(3\)弧度的角终边在第二象限．故选：\(B\)． -
答案 (1) \(\alpha=3 \times 2 \pi+\dfrac{2 \pi}{3}\), 第二象限角； (2) \(-\dfrac{10 \pi}{3},-\dfrac{4 \pi}{3}\).
解析 (1) \(\because \alpha=1200^{\circ}=1200 \times \dfrac{\pi}{180} \mathrm{rad}=\dfrac{20 \pi}{3}=3 \times 2 \pi+\dfrac{2 \pi}{3} \mathrm{rad}\)，
又 \(\because \dfrac{\pi}{2}<\dfrac{2 \pi}{3}<\pi\)，
\(∴\)角\(α\)与\(\dfrac{2 \pi}{3}\)的终边相同，角\(α\)是第二象限角．
(2)\(∵\)与角\(α\)终边相同的角（含角\(α\)在内）为 \(2 k \pi+\dfrac{2 \pi}{3}\),\(k∈Z\)，
\(∴\)由 \(-4 \pi \leq 2 k \pi+\dfrac{2 \pi}{3} \leq \pi\)，得 \(-\dfrac{14 \pi}{3} \leq 2 k \pi \leq-\dfrac{\pi}{3}\)，
\(k=-2\)，\(k=-1\)时，不等式成立．
\(∴\)在区间\([-4π,π]\)上与角\(α\)终边相同的角是\(-\dfrac{10 \pi}{3},-\dfrac{4 \pi}{3}\)．
【题型3】扇形的弧长与面积公式的应用
【典题1】 半径为\(12cm\)的轮子，每\(3\)分钟转\(1000\)圈，试求：
(1)它的平均角速度(\(1\)秒钟转过的弧度数)；
(2)轮沿上一点\(1\)秒经过的距离；
(3)轮沿上一点转过\(1000°\)所经过的距离．
解析 (1)每\(3\)分钟转\(1000\)圈，则它的平均角速度为 \(\omega=\dfrac{1000 \times 2 \pi}{3 \times 60}=\dfrac{100 \pi}{9}\) (弧度/秒)；
(2)轮沿上一点\(1\)秒经过的距离为 \(s=v t=\omega r t=\dfrac{100 \pi}{9} \times 12 \times 1=\dfrac{400 \pi}{3}(\mathrm{~cm})\)；
(3)轮沿上一点转过\(1000°\)所经过的距离为 \(1000 \times \dfrac{2 \pi}{360} \times 12=\dfrac{200 \pi}{3}(\mathrm{~cm})\)．
【典题2】已知扇形\(AOB\)的圆心角为\(α\)，周长为\(14\)．
(1)若这个扇形面积为\(10\)，且\(α\)为锐角，求\(α\)的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角\(α\)的大小和弦长\(AB\)．
解析 设扇形\(AOB\)的半径为\(r\)，弧长为\(l\)，圆心角为\(α\)，
(1)由题意知 \(\left\{\begin{array}{l}
2 r+l=14 \\
\dfrac{1}{2} l r=10
\end{array}\right.\)，解得： \(\left\{\begin{array}{l}
r=5 \\
l=4
\end{array}\right.\)，或 \(\left\{\begin{array}{l}
r=2 \\
l=10
\end{array}\right.\)，
\(\therefore \alpha=\dfrac{l}{r}=\dfrac{4}{5}\)或\(5\)；
\(∵α\)为锐角， \(\therefore \alpha=\dfrac{4}{5}\)．
(2)\(∵2r+l=14\)，
\(\therefore S=\dfrac{1}{2} l r=\dfrac{1}{4} \cdot l \cdot 2 r \leq \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{l+2 r}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4} \times 7^2=\dfrac{49}{4}\)，
当且仅当\(2r=l\)，即 \(\alpha=\dfrac{l}{r}=2\)时，面积取得最大值 \(\dfrac{49}{4}\)，
\(\therefore r=\dfrac{7}{2}\)， \(\therefore\)弦长 \(A B=\dfrac{7}{2} \sin 1 \times 2=7 \sin 1\)．
【巩固练习】
1.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为\(2cm\)，圆心角为\(\dfrac{2 \pi}{3}\)的扇形，则此圆锥的高为\(\underline{\quad \quad}\)\(cm\)．
2.若扇形\(OAB\)的面积是\(1 cm^2\)，它的周长是\(4 cm\)，求扇形圆心角的弧度数．
3.已知\(2rad\)的圆心角所对的弦长为\(2\)，求这个圆心角所对的弧长．
4.已知扇形\(AOB\)的周长为\(8\)．
(1)若这个扇形的面积为\(3\)，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长\(AB\)．
参考答案
-
答案 \(\dfrac{4 \sqrt{2}}{3}\)
解析 设此圆的底面半径为\(r\)，高为\(h\)，母线为\(l\)，
∵圆锥的侧面展开图是一个半径为\(2cm\)，圆心角为\(\dfrac{2 \pi}{3}\)的扇形，
\(∴l=2\)，得 \(2 \pi r=\dfrac{2 \pi}{3} \times l=\dfrac{4 \pi}{3}\)，解之得 \(r=\dfrac{2}{3}\)，
因此，此圆锥的高 \(h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{2^2-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2}=\dfrac{4 \sqrt{2}}{3} \mathrm{~cm}\)．
故答案为： \(\dfrac{4 \sqrt{2}}{3}\)．
-
答案 \(2\)
解析 设扇形的半径为\(R\)，弧长为\(l\)，
由已知得\(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{2} l R=1 \\ 2 R+l=4 \end{array}\right.\)解得\(\left\{\begin{array}{l} l=2 \\ R=1 \end{array}\right.\)，
\(∴\)扇形圆心角的弧度数是\(\dfrac{l}{R}=2\)． -
答案 \(\dfrac{2}{\sin 1}\)
解析 如图，
\(∠AOB=2\)，过\(O\)点作\(OC⊥AB\)于\(C\)，并延长\(OC\)交于\(D\).\(∠AOD=∠BOD=1\)，
且\(AC= AB=1.\)在\(Rt△AOC\)中， \(A O=\dfrac{A C}{\sin \angle A O C}=\dfrac{1}{\sin 1}\)，
从而弧\(AB\)的长为 \(l=|\alpha| \cdot r=\dfrac{2}{\sin 1}\). -
答案 (1) \(θ=6\)或 \(\dfrac{2}{3}\)； (2) \(θ=2\)，\(AB=4\sin1\).
解析 设扇形的半径为\(r\)，中心角为\(θ\)，则\(2r+θr=8\),\(θ∈[0,2π]\)．
(1)由题意可得：\(S=\dfrac{1}{2} \theta r^2=3\)，
又\(2r+θr=8\),
联立解得 \(θ=6\)或 \(\dfrac{2}{3}\)．
(2) \(S=\dfrac{1}{2} \theta r^2=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{8-2 r}{r} \times r^2=(4-r) r \leq\left(\dfrac{4-r+r}{2}\right)^2=4\)，
当且仅当\(r=2\)，\(θ=2\)．
\(∴AB=2×2\sin1=4\sin1\)．
分层练习
【A组---基础题】
- \(\dfrac{7}{12} \pi=\)( )
A．\(70^{\circ}\) \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) B．\(75^{\circ}\) \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) C．\(80^{\circ}\) \(\qquad \qquad\qquad \qquad\) D．\(105^{\circ}\)
2.若\(α=5 rad\)，则角\(α\)的终边所在的象限为( )
A．第一象限 \(\qquad \qquad \qquad\) B．第二象限 \(\qquad \qquad \qquad\) C．第三象限 \(\qquad \qquad \qquad\) D．第四象限
3.终边在\(y\)轴的非负半轴上的角的集合是( )
A．\(\{α|α=kπ,k∈Z\}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\left\{\alpha \mid \alpha=k \pi+\dfrac{\pi}{2}, k \in Z\right\}\)
C．\(\{α|α=2kπ,k∈Z\}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\left\{\alpha \mid \alpha=2k \pi+\dfrac{\pi}{2}, k \in Z\right\}\)
4.若弧度为\(2 \alpha\left(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\right)\)的圆心角所对弦长为\(m\)，则该圆心角所对的弧长为( )
A． \(\dfrac{a m}{\sin \alpha}\) \(\qquad \qquad \qquad\) B． \(\dfrac{a m}{\cos \alpha}\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{a m}{2\sin \alpha}\) \(\qquad \qquad \qquad\) D． \(\dfrac{a m}{2\cos \alpha}\)
5.已知圆\(O\)与直线\(l\)相切于点\(A\)，点\(P,Q\)同时从\(A\)点出发，\(P\)沿着直线\(l\)向右、\(Q\)沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当\(Q\)运动到点\(A\)时，点\(P\)也停止运动，连接\(OQ\),\(OP\)(如图)，则阴影部分面积\(S_1\),\(S_2\)的大小关系是( )
A．\(S_1=S_2\)
B．\(S_1≤S_2\)
C．\(S_1≥S_2\)
D．先\(S_1<S_2\)，再\(S_1=S_2\)，最后\(S_1>S_2\)
6.在直径为\(20cm\)的圆中，圆心角为\(150^{\circ}\)时所对的弧长为\(\underline{\quad \quad}\)．
7.若\(α\)角与\(-\dfrac{8 \pi}{5}\)角终边相同，则在\([0,2π]\)内终边与\(-\dfrac{\alpha}{4}\)角终边相同的角是\(\underline{\quad \quad}\) ．
8.(1)把\(-1480^{\circ}\)写成\(α+2kπ(k∈Z)\)的形式，其中\(0≤α<2π\)；
(2)若\(β∈[-4π,0]\)，且\(β\)与(1)中\(α\)的终边相同，求\(β\)．
9.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有\(60\)齿，小轮有\(45\)齿．
(1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；
(2)当小轮的转速是 \(120 \mathrm{r} / \mathrm{min}\)时，大轮上每\(1s\)转过的弧长是\(60πcm\)，求大轮的半径．
10.如下图所示，已知扇形\(AOB\)的圆心角为\(120^{\circ}\)，半径长为\(6\)，求弓形\(ACB\)的面积．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 \(\dfrac{7}{12} \pi=\dfrac{7}{12} \times 180^{\circ}=105^{\circ}\)．故选：\(D\)． -
答案 \(D\)
-
答案 \(D\)
解析 \(A\)选项表示的角的终边在\(x\)轴上；\(B\)选项表示的角的终边在\(y\)轴上；
\(C\)选项表示的角的终边在\(x\)轴非负半轴上；\(D\)选项表示的角的终边在\(y\)轴非负半轴上，
故选\(D\)． -
答案 \(A\)
解析 设圆的半径为\(r\)，由弧度为\(2 \alpha\left(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\right)\)的圆心角所对弦长为\(m\)，
则\(\sin \alpha=\dfrac{\dfrac{m}{2}}{r}=\dfrac{m}{2 r}\)，\(r=\dfrac{m}{2 \sin \alpha}\)；
该圆心角所对的弧长为\(l=2 \alpha r=\dfrac{m \alpha}{\sin \alpha}\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(A\)
解析 如图所示，
\(∵\)直线\(l\)与圆\(O\)相切，\(∴OA⊥AP\)，
\(\therefore S_{\text {扇形 } A O Q}=\dfrac{1}{2} \cdot \widehat{A Q} \cdot r=\dfrac{1}{2} \cdot \widehat{A Q} \cdot O A\)， \(S_{\triangle A O P}=\dfrac{1}{2} \cdot O A \cdot A P\)，
\(\because \widehat{A Q}=A P\)，
\(\therefore S_{\text {扇形 } \mathrm{AOQ}}=S_{\triangle A O P}\)，即 \(S_{\text {扇形 } \mathrm{AOQ}}-S_{\text {扇形 } \mathrm{AOB}}=S_{\triangle A O P}-S_{\text {扇形 AOB }}\)，
\(∴S_1=S_2\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(\dfrac{25 \pi}{3} \mathrm{~cm}\)
解析 \(150^{\circ}=150 \times \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5 \pi}{6}, \quad \therefore l=\dfrac{5 \pi}{6} \times 10=\dfrac{25 \pi}{3} \mathrm{~cm}\). -
答案 \(\dfrac{2 \pi}{5}, \dfrac{9 \pi}{10}, \dfrac{7 \pi}{5}, \dfrac{19 \pi}{10}\)
解析 依题意， \(\alpha=2 k \pi+\dfrac{8 \pi}{5}, k \in z\)， \(\therefore \dfrac{\alpha}{4}=\dfrac{k \pi}{2}+\dfrac{2 \pi}{5}, k \in z\)，
又 \(\dfrac{\alpha}{4} \in[0,2 \pi]\)， \(\therefore k=0, \alpha=\dfrac{2 \pi}{5}\)； \(k=1, \alpha=\dfrac{9 \pi}{10}\)； \(k=2, \alpha=\dfrac{7 \pi}{5}\)； \(k=3, \alpha=\dfrac{19 \pi}{10}\)；
故 答案为 \(\dfrac{2 \pi}{5}, \dfrac{9 \pi}{10}, \dfrac{7 \pi}{5}, \dfrac{19 \pi}{10}\). -
答案 (1) \(-1480^{\circ}=\dfrac{16}{9} \pi-2 \times 5 \pi\) (2)\(-\dfrac{2 \pi}{9},-\dfrac{20}{9} \pi\)
解析 (1) \(\because-1480^{\circ}=-\dfrac{74}{9} \pi=-8 \pi-\dfrac{2}{9} \pi=-10 \pi+\dfrac{16}{9} \pi\)，
又 \(\because 0 \leq \dfrac{16}{9} \pi<2 \pi\)，
故 \(-1480^{\circ}=\dfrac{16}{9} \pi-2 \times 5 \pi\)．
(2)\(∵β\)与\(α\)终边相同，
\(\therefore \beta=\alpha+2 k \pi=\dfrac{16}{9} \pi+2 k \pi\)，\(k∈Z\)．
又\(∵β∈[－4π,0]\)，
\(\therefore \beta_1=\dfrac{16}{9} \pi-2 \pi=-\dfrac{2 \pi}{9}\)，\(\beta_2=\dfrac{16}{9} \pi-4 \pi=-\dfrac{20}{9} \pi\)． -
答案 (1)\(\dfrac{3 \pi}{2}\)； (2)\(20\)
解析 (1)当小轮转动一周时，求大轮转动的周数为\(x\)，
则\(45=60x\),即 \(x=\dfrac{3}{4}\)，
大轮转动的弧度数 \(\dfrac{3}{4} \times 2 \pi=\dfrac{3 \pi}{2}\)；
(2)设大轮的半径为\(R\)，则大轮的速度为\(120 \times \dfrac{45}{60}=90(\mathrm{r} / \mathrm{min})\)，
所以大轮上每\(1s\)转过的周数为\(\dfrac{90}{60}=1.5\)，
大轮上每\(1s\)转过的弧长是\(1.5×2πR=60πcm\)，
所以\(R=20\)，
故大轮的半径为\(20\)． -
答案 \(12 \pi-9 \sqrt{3}\)
解析 \(S_{\text {扇形 } A O B}=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{120}{180} \pi \times 6^2=12 \pi\)， \(S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2} \times 6^2 \times \sin 120^{\circ}=9 \sqrt{3}\)，
\(\therefore S_{\text {弓形 } A C B}=S_{\text {扇形 } A O B}-S_{\triangle A O B}=12 \pi-9 \sqrt{3}\)．
【B组---提高题】
1.已知扇形的周长为\(C\)，当该扇形面积取得最大值时，圆心角为( )
A． \(\dfrac{1}{2} r a d\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1rad\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(\dfrac{3}{2} r a d\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(2rad\)
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 设扇形的圆心角大小为\(α(rad)\)，半径为\(r\)，
根据扇形的面积为\(S_{\text {扇形 }}=\dfrac{1}{2} a r^2\)，周长为\(2r+αr=C\)，
得到\(r=\dfrac{C}{2+\alpha}\)，且\(0<α<2π\)，
\(\therefore S_{\text {扇形 }}=\dfrac{1}{2} \alpha\left(\dfrac{C}{2+\alpha}\right)^2=\dfrac{C^2 \alpha}{2 \alpha^2+8 \alpha+8}=\dfrac{C^2}{8+\left(2 \alpha+\dfrac{8}{\alpha}\right)}\)，
又\(2 \alpha+\dfrac{8}{\alpha} \geq 2 \sqrt{2 \alpha \cdot \dfrac{8}{\alpha}}=8\)，当且仅当\(2 \alpha=\dfrac{8}{\alpha}\)，即\(α=2\)时，\(“=”\)成立，
此时\(S_{\text {扇形 }}\)取得最大值为 \(\dfrac{C^2}{16}\)，对应圆心角为\(α=2\)．
故选：\(D\)．
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