3.3.1 抛物线及其标准方程
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【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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基础知识
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线\(l\)的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点\(F\)称为抛物线的焦点，定直线\(l\)称为抛物线的准线.
如图，\(P\)在抛物线上，\(PH=PF\).
抛物线的标准方程
| 标准方程 | $y^2=2px$ | $y^2=-2px$ | $x^2=2py$ | $x^2=-2py$ |
| 图形 | 
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|  |
| 焦点 | $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$ | $F\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)$ | $F\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$ | $F\left(0,- \dfrac{p}{2}\right)$ |
| 准线方程 | $x=-\dfrac{p}{2}$ | $x= \dfrac{p}{2}$ | $y=-\dfrac{p}{2}$ | $y= \dfrac{p}{2}$ |
解释
(1) 求解焦点在\(x\)轴正半轴上的抛物线方程
取经过点\(F\)且垂直于直线\(l\)的直线为\(x\)轴，垂足为\(K\)，并使原点与线段\(KF\)的中点重合，建立平面直角坐标系\(xOy\)，
设\(KF=p(p>0)\)，那么焦点\(F\)的坐标为 \(F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)\)，准线\(l\)的方程为 \(x=-\dfrac{p}{2}\)，
设\(P(x,y)\)是抛物线上任意一点，点\(M\)到准线\(l\)的距离为\(d\)，由抛物线的定义，
因为 \(|P F|=\sqrt{\left(x-\dfrac{p}{2}\right)^2+y^2}, d=\left|x+\dfrac{p}{2}\right|\)，所以 \(\sqrt{\left(x-\dfrac{p}{2}\right)^2+y^2}=\left|x+\dfrac{p}{2}\right|\)，
化简得\(y^2=2px(p>0)\).
(2) 涉及抛物线，先看一次项的取值范围确定开口方向，比如\(y^2=-2x\)中一次项\(x≤0\)则该抛物线开口向左；再确定\(p\)值、焦点和准线位置.
可想象下抛物线是鱼缸里的一条鱼，焦点是它眼睛，准线是鱼缸玻璃壁 .
【例】 画出以下抛物线的图象，写出相应的焦点坐标和准线方程.
(1)\(y^2=4x\)；\(\qquad\) (2) \(y^2=-2x\)；\(\qquad\)(3)\(x^2=6y\)；\(\qquad\)(4) \(x^2=-4y\)；
解析
| 方程 | \(y^2=4x\) | \(y^2=-2x\) | \(x^2=6y\) | \(x^2=-4y\) |
|---|---|---|---|---|
| 图象 |  |
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| 焦点坐标 | \((1,0)\) | \(\left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)\) | \(\left(0, \dfrac{3}{2}\right)\) | \((0,-1)\) |
| 准线方程 | \(x=-1\) | \(x=\dfrac{1}{2}\) | \(x=-\dfrac{1}{2}\) | \(y=1\) |
基本方法
【题型1】抛物线的定义
【典题1】 若点\(P\)到点\(F(4,0)\)的距离比它到直线\(x+6=0\)的距离少\(2\)，求动点\(P\)的轨迹的形状．
解析 \(∵\)点\(P\)到点\(F(4,0)\)的距离比它到直线\(x+6=0\)的距离少\(2\)，即\(PF=PG-2\)，
\(∴\)点\(P\)到直线\(x=－4\)的距离和它到点\((4,0)\)的距离相等，即\(PF=PH\)，
根据抛物线的定义可得点\(P\)的轨迹是以点\((4,0)\)为焦点，以直线\(x=-4\)为准线的抛物线.
【典题2】与圆 \((x-2)^2+y^2=1\)外切，且与直线\(x+1=0\)相切的动圆圆心\(P\)的轨迹方程是\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 由圆 \((x-2)^2+y^2=1\)可得：圆心\(F(2,0)\)，半径\(r=1\)．
设所求动圆圆心为\(P(x,y)\)，过点\(P\)作\(PM⊥\)直线\(l：x=-1\)，\(M\)为垂足．
因为圆\(P\)与圆\(F\)外切，则\(|PF|-r=|PM|\)，可得\(|PF|=|PM|+1\)．
过点\(P\)作\(PM⊥\)直线\(L：x=-2\)，\(H\)为垂足，则\(PF=PH\)，
即点\(P\)的轨迹是到定点\(F(2,0)\)的距离和到直线\(L：x=-2\)的距离相等的点的集合．
由抛物线的定义可知：
点\(P\)的轨迹是抛物线，定点\(F(2,0)\)为焦点，定直线\(L：x=-2\)是准线．
\(∴\)抛物线的方程为：\(y^2=8x\)．
\(∴\)与圆 \((x-2)^2+y^2=1\)外切，且与直线\(x+1=0\)相切的动圆圆心的轨迹方程是\(y^2=8x\)．
巩固练习
1.已知定点\(A(1,1)\)和直线\(l:x+y-2=0\)，则到定点\(A\)的距离和到定直线\(l\)的距离相等的点的轨迹为( )
A．椭圆 \(\qquad \qquad\) B．双曲线\(\qquad \qquad\) C．抛物线 \(\qquad \qquad\) D．直线
2.动点\(P(x,y)\)到点\(F(3,0)\)的距离比它到直线\(x+2=0\)的距离大\(1\)，则动点\(P\)的轨迹是( )
A．椭圆 \(\qquad \qquad\) B．双曲线 \(\qquad \qquad\) C．双曲线的一支 \(\qquad \qquad\) D．抛物线
3.一个动圆的圆心在抛物线\(y^2=8x\)上，且动圆恒与直线\(x+2=0\)相切，则动圆必过定点( )
A．\((0,2)\) \(\qquad \qquad\) B．\((0,-2)\) \(\qquad \qquad\) C．(2,0) \(\qquad \qquad\) D．\((4,0)\)
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 因为定点\(A(1,1)\)在直线\(l:x+y-2=0\)上，
所以到定点\(A\)的距离和到定直线\(l\)的距离相等的点的轨迹是直线，
就是经过定点\(A\)与直线\(l:x+y-2=0\)垂直的直线．
故选：\(D\)． - 答案 \(D\)
解析 \(∵\)动点\(P\)到点\((3,0)\)的距离比它到直线\(x=-2\)的距离大\(1\)，
\(∴\)将直线\(x=-2\)向左平移\(1\)个单位，得到直线\(x=-3\)，
可得点\(P\)到点\((3,0)\)的距离等于它到直线\(x=-3\)的距离．
因此点\(P\)的轨迹是以\((3,0)\)为焦点、\(x=-3\)为准线的抛物线，
设抛物线的方程为\(y^2=2px(p>0)\)，可得 \(\dfrac{p}{2}=3\)，得\(2p=12\)，
\(∴\)抛物线的方程为\(y^2=12x\)，即为点\(P\)的轨迹方程．
故选：\(D\)． - 答案 \(C\)
解析 \(∵\)抛物线\(y^2=8x\)的准线方程为\(x=-2\)，
\(∴\)由题可知动圆的圆心在\(y^2=8x\)上，且恒与抛物线的准线相切，
由定义可知，动圆恒过抛物线的焦点\((2,0)\)，
故选：\(C\)．
【题型2】求抛物线的标准方程
【典题1】抛物线\(y^2=-2px(p>0)\)的准线经过椭圆 \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1\)的右焦点，则抛物线的焦点到准线的距离为\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 椭圆\(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1\)的右焦点\((2,0)\)，
抛物线 \(y^2=-2px(p>0)\)的准线经过椭圆 \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1\)的右焦点，
可得 \(\dfrac{p}{2}=2\)，解得\(p=4\)，
则抛物线的焦点到准线的距离为\(p=4\).
点拨 抛物线的焦点与准线均与 \(\dfrac{p}{2}\)有关.
【典题2】根据下列条件，求抛物线的标准方程．
(1)焦点坐标为\((-2,0)\)；(2)准线方程为\(y=-1\)；(3)过点\((1,2)\)．
解析 (1)∵抛物线的焦点坐标为(-2,0)，
\(∴\dfrac{p}{2}=2\)，则\(p=4\)，且抛物线的开口向左，故抛物线方程为\(y^2=-8x\)；
(2)∵抛物线准线方程为\(y=-1\)，
\(\therefore \dfrac{p}{2}=1\)，则\(p=2\)，且抛物线的开口向上，故抛物线方程为\(x^2=4y\)；
(3)\(∵\)抛物线过点\((1,2)\)，
\(∴\)可设抛物线方程为 \(y^2=2 p x(p>0)\)或 \(x^2=2 p y(p>0)\)，
把点\((1,2)\)代入 \(y^2=2px\)，得\(p=2\)，故抛物线方程为\(y^2=4x\)；
代入 \(x^2=2py\)，得 \(p=\dfrac{1}{4}\)，故抛物线方程为 \(x^2=\dfrac{1}{2} y\)．
∴所求抛物线方程为\(y^2=4x\)或 \(x^2=\dfrac{1}{2} y\)．
点拨
1.求抛物线方程的方法主要是定义法和待定系数法；
2.明确了抛物线的焦点或准线的位置，可确定抛物线的开口方向，其标准方程便可设定.
巩固练习
1.抛物线\(y^2=2x\)的焦点到其准线的距离是( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad\) D．\(4\)
2.焦点在\(x\)轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为\(2\)的抛物线的标准方程是( )
A．\(x^2=4y\) \(\qquad \qquad\) B．\(y^2=8x\) \(\qquad \qquad\) C．\(x^2=8y\) \(\qquad \qquad\) D．\(y^2=4x\)
3.已知抛物线的准线方程为\(x=1\)，则此抛物线的标准方程为( )
A．\(x^2=-2y\) \(\qquad \qquad\) B．\(x^2=-4y\) \(\qquad \qquad\) C．\(y^2=-2x\) \(\qquad \qquad\) D．\(y^2=-4x\)
4.已知圆 \(x^2+y^2-6x-7=0\)与抛物线\(y^2=2px(p>0)\)的准线相切，则\(p=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
5.若抛物线 \(y^2=2px\)的焦点与双曲线 \(\dfrac{x^2}{4}-y^2=1\)的右顶点重合，则\(p=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
6.抛物线\(y^2=2px(p>0)\)上一点\(M\)的纵坐标为 \(-4 \sqrt{2}\)，该点到准线的距离为\(6\)，则抛物线方程为\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 由抛物线\(y^2=2x\)的方程可得\(2p=2\)，所以\(p=1\)，
焦点到其准线的距离是\(p=1\)，
故选：\(A\)． - 答案 \(D\)
解析 由题意可设抛物线方程为\(y^2=2px(p>0)\)，
且\(p=2\)，则抛物线方程为\(y^2=4x\)，
故选：\(D\)． - 答案 \(D\)
解析 因为抛物线的准线方程为\(x=1\)，
所以设抛物线方程为\(y^2=-2px(p>0)\)，
则 \(\dfrac{p}{2}=1\)，得\(p=2\)，
所以抛物线方程为\(y^2=-4x\)
故选：\(D\)． - 答案 \(2\)
解析 圆 \(x^2+y^2-6x-7=0\)的圆心为\((3,0)\)，半径为\(4\)，
抛物线\(y^2=2px\)的准线为 \(x=-\dfrac{p}{2}\)．由 \(\left|3+\dfrac{p}{2}\right|=4\)，得\(p=2\)或\(-14\)(舍)． - 答案 \(4\)
解析 双曲线 \(\dfrac{x^2}{4}-y^2=1\)的右顶点坐标为\((2,0)\)，
\(∵\)抛物线 \(y^2=2px\)的焦点与双曲线 \(\dfrac{x^2}{4}-y^2=1\)的右顶点重合，
\(\therefore \dfrac{p}{2}=2\)， \(\therefore p=4\)． - 答案 \(y^2=16x\)或\(y^2=8x\)
解析 由于抛物线的准线方程是 \(x=-\dfrac{p}{2}\)，而点\(M\)到准线的距离为\(6\)，
所以\(M\)点的横坐标是 \(6-\dfrac{p}{2}\)，于是 \(M\left(6-\dfrac{p}{2},-4 \sqrt{2}\right)\)，
代入方程得 \(32=2 p\left(6-\dfrac{p}{2}\right)\)，解得\(p=8\)或\(p=4\)，
故方程为 \(y^2=16x\)或\(y^2=8x\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.如图，在正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，\(P\)是侧面\(BCC_1 B_1\)上的一个动点，若点\(P\)到直线\(BC\)与直线\(C_1 D_1\)的距离相等，则动点\(P\)的轨迹是下列哪种曲线的一部分( )
A．直线 \(\qquad \qquad\) B．圆 \(\qquad \qquad\) C．双曲线 \(\qquad \qquad\) D．抛物线
2.已知点\(P\)到点\(F(0,1)\)的距离比它到直线\(l:y+2=0\)的距离小\(1\)，则点\(P\)的轨迹方程为( )
A．\(x^2=-4y\) \(\qquad \qquad\) B．\(x^2=4y\) \(\qquad \qquad\) C．\(y^2=-4x\) \(\qquad \qquad\) D．\(y^2=4x\)
3.若抛物线 \(y^2=\dfrac{4}{m} x\)的焦点与椭圆 \(\dfrac{x^2}{7}+\dfrac{y^2}{3}=1\)的左焦点重合，则\(m\)的值为( )
A． \(-\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) C．\(-2\) \(\qquad \qquad\) D．\(2\)
4.抛物线\(y^2=8x\)上一点\(P\)到\(x\)轴的距离为\(12\)，则点\(P\)到抛物线焦点\(F\)的距离为( )
A．\(8\) \(\qquad \qquad\) B．\(20\)\(\qquad \qquad\) C．\(22\) \(\qquad \qquad\) D．\(24\)
5.已知点\(P(m,n)\)为抛物线\(C:y^2=4x\)上的点，且点\(P\)到抛物线\(C\)的焦点\(F\)的距离为\(3\)，则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
6.点\(M\)与点\(F(4,0)\)的距离比它到直线\(l:x+5=0\)的距离小\(1\)，则点\(M\)的轨迹方程是\(\underline{\quad \quad}\)．
7.抛物线\(y=4x^2\)上的一点\(M\)到焦点的距离为\(1\)，则点\(M\)的纵坐标是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 由正方体的性质知，\(C_1 D_1⊥\)平面\(BCC_1 B_1\)，
所以点\(P\)到直线\(C_1 D_1\)的距离与到点\(C_1\)的距离相等，
又点\(P\)到直线\(BC\)与直线\(C_1 D_1\)的距离相等，
所以点\(P\)到直线\(BC\)与到点\(C_1\)的距离相等，
根据抛物线的定义，可得动点\(P\)的轨迹是抛物线．
故选：\(D\)． - 答案 \(B\)
解析 由题意，点\(P\)到点\(F(0,1)\)的距离等于它到直线\(y=-1\)的距离，
可得点\(P\)的轨迹是以\(F\)为焦点，\(y=-1\)为准线的抛物线，
则点\(P\)的轨迹方程为\(x^2=4y\)，
故选：\(B\)． - 答案 \(A\)
解析 抛物线 \(y^2=\dfrac{4}{m} x\)的焦点坐标为 \(\left(\dfrac{1}{m}, 0\right)\)
椭圆 \(\dfrac{x^2}{7}+\dfrac{y^2}{3}=1\)， \(∵a^2=7\)，\(b^2=3\)
\(∴c^2=a^2-b^2=4\)，
\(∴\)椭圆的左焦点坐标为\((-2,0)\)
\(∵\)抛物线 \(y^2=\dfrac{4}{m} x\)的焦点与椭圆 \(\dfrac{x^2}{7}+\dfrac{y^2}{3}=1\)的左焦点重合，
\(\therefore \dfrac{1}{m}=-2\), \(\therefore m=-\dfrac{1}{2}\)
故选：\(A\)． - 答案 \(B\)
解析 由抛物线的方程可得焦点\(F(2,0)\)，准线方程为：\(x=-2\)，
设\(P(m,n)\)，由题意可得\(8m=n^2\)，由\(P\)到\(x\)轴的距离为\(12\)可得\(|n|=12\)，所以\(m=18\)，
再由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，
所以点\(P\)到抛物线焦点\(F\)的距离为\(18+2=20\)，
故选：\(B\)． - 答案 \(2\)
解析 抛物线\(C:y^2=4x\)的焦点为\((1,0)\)，准线为\(x=-1\)，
因为点\(P(m,n)\)为抛物线\(C:y^2=4x\)上的点，且点\(P\)到抛物线\(C\)的焦点\(F\)的距离为\(3\)，
所以\(m+1=3\)，得\(m=2\)． - 答案 \(y^2=16x\)
解析 依题意可知：点\(M\)与点\(F(4,0)\)的距离比它到直线\(l:x+5=0\)的距离小\(1\)，
转化为点\(M\)与点\(F(4,0)\)的距离与它到直线\(l:x+4=0\)的距离相等，
满足抛物线的定义，所以$P=\(8，点\)M\(的轨迹方程是\)y^2=16x$. - 答案 \(\dfrac{15}{16}\)
解析 根据抛物线的定义可知\(M\)到焦点的距离为\(1\)，则其到准线距离也为\(1\)．
又\(∵\)抛物线的准线为 \(y=-\dfrac{1}{16}\)，
\(∴M\)点的纵坐标为 \(1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}\)．
【B组---提高题】
1.如图，正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)的棱长为\(2\)，点\(P\)是平面\(ABCD\)上的动点，点\(M\)在棱\(AB\)上，且 \(A M=\dfrac{1}{3}\)，且动点\(P\)到直线\(A_1 D_1\)的距离与点\(P\)到点\(M\)的距离的平方差为\(4\)，则动点\(P\)的轨迹是( )
A．圆 \(\qquad \qquad\) B．抛物线 \(\qquad \qquad\) C．双曲线 \(\qquad \qquad\) D．直线
2.已知点\(P(x,y)\)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点\(Q(x+y,xy)\)的轨迹是( )
A．圆 \(\qquad \qquad\) B．抛物线 \(\qquad \qquad\) C．椭圆 \(\qquad \qquad\) D．双曲线
3.已知抛物线的顶点在原点，焦点\(F\)在\(x\)轴正半轴 上．若抛物线上一动点\(P\)到 \(A\left(2, \dfrac{3}{2}\right)\)，\(F\)两点距离之和的最小值为\(4\)，且\(A\)为抛物线内一点，求抛物线方程．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 如图所示：正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，作\(PQ⊥AD\)，\(Q\)为垂足，则\(PQ⊥\)面\(ADD_1 A_1\)，
过点\(Q\)作\(QR⊥D_1 A_1\)，
则\(D_1 A_1⊥\)面\(PQR\)，\(PR\)即为点\(P\)到直线\(A_1 D_1\)的距离，由题意可得\(PR^2-PQ^2=RQ^2=4\)．
又已知 \(PR^2-PM^2=4\)，
\(∴PM=PQ\)，即\(P\)到点\(M\)的距离等于\(P\)到\(AD\)的距离，
根据抛物线的定义可得，点\(P\)的轨迹是抛物线，
故选：\(B\)． -
答案 \(B\)
解析 设\(Q(u,v)\)，则 \(\left\{\begin{array}{l} u=x+y \\ v=x y \end{array}\right.\)，
\(∵x^2+y^2=1\)， \(∴u^2-2v=x^2+y^2=1\)．
\(∴\)点\(Q\)的轨迹是抛物线．
故选：\(B\)． -
答案 \(B\)
解析 设所求的抛物线方程为\(y^2=2px(p>0)\)，
其焦点为 \(F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)\)，准线 \(l: x=-\dfrac{p}{2}\)．
如图所示，若\(A\)点在“抛物线所包含的区域之内”，
过点\(P\)作准线的垂线，垂足为\(H\)，
由抛物线定义可知\(|PF|=|PH|\)．
当\(H，P，A\)在同一条直线上时，
\(|PA|+|PF|\)取最小值 \(|A H|=2+\dfrac{p}{2}=4\)，解得\(p=4\)，
故所求的抛物线方程为\(y^2=8x\)．
【C组---拓展题】
1.若动点\(P(x,y)\)满足 \(\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}=\left|\dfrac{3}{5} x-\dfrac{4}{5} y-1\right|\)，则\(P\)点的轨迹应为( )
A．椭圆 \(\qquad \qquad\) B．抛物线\(\qquad \qquad\) C．双曲线 \(\qquad \qquad\) D．圆
- 已知抛物线\(C:y^2=2px(p>0)\)的焦点为\(F\)，点 \(H\left(x_0, 4 \sqrt{2}\right)\left(x_0>\dfrac{p}{2}\right)\)是抛物线\(C\)上的一点，以\(H\)为圆心的圆交直线 \(x=\dfrac{p}{2}\)于\(A\),\(B\)两点(点\(A\)在点\(B\)的上方)，若 \(\sin \angle H F A=\dfrac{7}{9}\)，则抛物线\(C\)的方程是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 动点\(P(x,y)\)满足 \(\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}=\left|\dfrac{3}{5} x-\dfrac{4}{5} y-1\right|\)，
可知：动点\(P(x,y)\)到定点\((1,2)\)与到定直线\(3x-4y-5=0\)的距离相等，其中定点不在定直线上．
因此\(P\)点的轨迹应为抛物线．
故选：\(B\)． - 答案 \(y^2=4x\)
解析 画出图形如右图所示，作\(HD⊥AB\)，垂足为\(D\)，
由题意得点 \(H\left(x_0, 4 \sqrt{2}\right)\left(x_0>\dfrac{p}{2}\right)\)在抛物线上，则\(32=2px_0\)，①
由抛物线的性质，可知\(|D H|=x_0-\dfrac{p}{2}\)，
因为 \(\sin \angle H F A=\dfrac{7}{9}\)，所以 \(|D H|=\dfrac{7}{9}|H F|=\dfrac{7}{9}\left(x_0+\dfrac{p}{2}\right),\)，
所以 \(x_0-\dfrac{p}{2}=\dfrac{7}{9}\left(x_0+\dfrac{p}{2}\right)\)，解得\(x_0=4p\)，②
由①②解得\(x_0=4p=-8\)(舍去)或\(x_0=4p=8\)．
故抛物线\(C\)的方程为\(y^2=4x\)．
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