4.5.2 用二分法求方程的近似解
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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必修第一册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
二分法的概念
对于在区间\([a ,b]\)上连续不断且\(f(a)f(b)<0\)的函数\(y=f(x)\)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
解释 求\(f(x)=x^2-x-2\)，\(g(x)=2^x-1\)的零点很容易，因为我们会求其方程的解，而函数\(f(x)=x^3+x^2-1\)或\(g(x)=e^x+x-2\)的零点怎么求呢？我们求不出来会退而求其次，能否能知道零点的近似值呢？应该会想到函数零点存在性定理，没错这它就是二分法的理论基础.
【例】 下列函数中，你会用二分法求其零点的是（ ）
A. \(y=2x-4\) \(\qquad \qquad\) B.\(y=x^2+1\) \(\qquad \qquad\) C. \(y=\log _{3}(x-1)\) \(\qquad \qquad\) D.\(y=2^x+x^2-3\)
解析 \(A,C\)很容易通过解方程得到其零点，而\(B\)根本没零点，\(D\)项无法通过方程\(2^x+x^2-3=0\)求解，可用二分法求解，故选\(D\).
用二分法求方程近似解的步骤
(1) 确定区间\([a ,b]\)，验证\(f(a)f(b)<0\)，给定精确度\(ε\)；
(2) 求区间\((a ,b)\)的中点\(c\);
(3) 计算\(f(c)\)，
(i) 若\(f(c)=0\) , 则\(c\)就是函数的零点；
(ii) 若\(f(a)f(c)<0\)，则令\(b=c\)(此时零点\(x_0∈(a ,c)\))
(iii) 若\(f(c)f(b)<0\)，则令\(a=c\)(此时零点\(x_0∈(c ,b)\))
(4) 判断是否达到精确度\(ε\)：即若\(|a-b|<ε\)，则得到零点近似值为\(a\)(或\(b\))；否则重复(2)~(4)
解释
（1）使用二分法的前提是函数在所选定的区间\([a ,b]\)上的图象是连续不断的，且\(f(a)f(b)<0\)；
（2）所选的区间\([a ,b]\)的范围尽量小，且\(f(a),f(b)\)比较容易求;
（3）利用二分法时，满足精确度便可停止计算.
【例】 用二分法求函数\(f(x)=3^x-x-4\)的一个零点，其参考数据如下：
| \(f(1.600 0)≈0.200\) | \(f(1.587 5)≈0.133\) | \(f(1.575 0)≈0.067\) |
|---|---|---|
| \(f(1.562 5)≈0.003\) | \(f(1.556 25)≈-0.029\) | \(f(1.550 0)≈-0.060\) |
据此数据，可得\(f(x)=3^x-x-4\)的一个零点的近似值(精确度\(0.01\))为\(\underline{\quad \quad}\)．
解析：\(∵\)由参考数据知\(f(1.562 5)≈0.00 3>0\)，\(f(1.556 25)≈－0.029<0\)，即\(f(1.562 5)·f(1.556 25)<0\)，
且\(1.562 5－1.556 25=0.006 25<0.01\)，
\(∴\)函数\(f(x)=3^x-x-4\)的一个零点的近似值可取为\(1.562 5\)．
答案：\(1.562 5\)(答案不唯一)
基本方法
用二分法求方程的近似解
【典题1】 求方程 \(\lg x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1\)的近似解(精确度\(0.1\))．
解析 如图所示，由函数\(y=\lgx\)与 \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1\)的图象可知，
方程 \(\lg x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1\)有唯一实数解，且在区间\((0,1)\)内．
设 \(f(x)=\lg x-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+1\), \(f(1)=\dfrac{1}{2}>0\)，用计算器计算，列表如下：
| 取值区间 | 中点值 | 中点函数近似值 | 区间长度 |
|---|---|---|---|
| \((0,1)\) | \(0.5\) | \(－0.008 1\) | \(1\) |
| \((0.5,1)\) | \(0.75\) | \(0.280 5\) | \(0.5\) |
| \((0.5,0.75)\) | \(0.625\) | \(0.147 5\) | \(0.25\) |
| \((0.5,0.625)\) | \(0.562 5\) | \(0 .073 0\) | \(0 .125\) |
由于区间\((0.5,0.625)\)的长度为\(0.125<0.2\)，此时该区间中点\(0.562 5\)与真正零点的误差不超过\(0.1\)，
所以函数\(f(x)\)的零点近似值为\(0.562 5\)，
即方程 \(\lg x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1\)的近似解为\(x≈0.562 5\)．
【典题2】 某电脑公司生产\(A\)种型号的笔记本电脑，2008年平均每台电脑生产成本为\(5 000\)元，并以纯利润\(20\%\)标定出厂价．从2009年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2012年平均每台\(A\)种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2008年出厂价的\(80\%\)，但却实现了纯利润\(50\%\)的高效益．
(1)求2012年每台电脑的生产成本；
(2)以2008年的生产成本为基数，用二分法求2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率(精确到\(0.01\))．
解析 (1)设2012年每台电脑的生产成本为\(P\)元，
根据题意，得\(P(1+50\%)=5 000×(1+20\%)×80\%\)，解得\(P=3 200\)(元)．
故2012年每台电脑的生产成本为\(3 200\)元．
(2)设2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率为\(x\)，根据题意，得\(5 000(1－x)^4=3 200(0<x<1)\)，
令\(f(x)=5000(1-x)^4-3200\)，作出\(x\)，\(f(x)\)的对应值表：
| \(x\) | \(0\) | \(0.1\) | \(0.15\) | \(0.2\) | \(0.3\) | \(0.45\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(1 800\) | \(80.5\) | \(－590\) | \(－1 152\) | \(－2 000\) | \(－2 742\) |
观察上表，可知\(f(0.1)·f(0.15)<0\)，说明此函数在区间\((0.1,0.15)\)内有零点\(x_0\)．
取区间\((0.1,0.15)\)的中点\(x_1=0.125\)，可得\(f(0.125)≈－269\)．
因为\(f(0.125)·f(0.1)<0\)，
所以\(x_0∈(0.1,0.125)\)．
再取区间\((0.1,0.125)\)的中点\(x_2=0.112 5\)，可得\(f(0.112 5)≈－98\)．
因为\(f(0.1)·f(0.112 5)<0\)，
所以\(x_0 (0.1,0.112 5)\)．
同理可得，\(x_0∈(0.1,0.10625)\)， \(x_0∈(0.103125,0.10625))\)，\(x_0∈(0.1046875,0.10625)\)，\(x_0∈(0.10546875,0.10625)\)，
由于\(|0.105 468 75－0.106 25|<0.01\)，此时区间的两个端点精确到\(0.01\)的近似值都是\(0.11\)，所以原方程的近似解为\(0.11\)．
故2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率为\(11\%\)．
巩固练习
1.用二分法研究函数\(f(x)=x^3+3x-1\)的零点时，第一次计算\(f(0)<0，f(0.5)>0\)，可得其中一个零点\(x_0∈\)\(\underline{\quad \quad}\)，第二次应计算\(\underline{\quad \quad}\)．以上横线上应填的内容为( )
A．\((0,0.5)，f(0.25)\) \(\qquad \qquad\) B．\((0,1)，f(0.25)\) \(\qquad \qquad\) C．\((0.5,1)，f(0.75)\) \(\qquad \qquad\) D．\((0,0.5)，f(0.125)\)
2.在用“二分法”求函数\(f(x)\)零点近似值时，若第一次所取区间为 \([-2,6]\)，则第三次所取区间可能是 ( )
A． \([-2,-1]\) \(\qquad \qquad\) B．\([-1,1]\) \(\qquad \qquad\) C．\([2,4]\) \(\qquad \qquad\) D．\([5,6]\)
3.若函数\(f(x)=\log_3x+x-3\)的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：
| \(f(2)=-0.3691\) | \(f(2.5)=0.3340\) | \(f(2.25)=-0.0119\) |
|---|---|---|
| \(f(2.375)=0.1624\) | \(f(2.3125)=0.0756\) | \(f(2.28125)=0.0319\) |
那么方程\(\log_3x+x-3=0\)的一个近似根(精确度\(0.1\))为( )
A．\(2.1\) \(\qquad \qquad\) B．\(2.2\) \(\qquad \qquad\) C．\(2.3\)\(\qquad \qquad\) D．\(2.4\)
4.用二分法求函数\(f(x)=\ln(x+1)+x-1\)在区间\([0,1]\)上的零点，要求精确度为\(0.01\)时，所需二分区间的次数最少为( )
A．\(6\) \(\qquad \qquad\) B．\(7\) \(\qquad \qquad\) C．\(8\) \(\qquad \qquad\) D．\(9\)
5.求方程\(\lg x=3－x\)的近似解(精确到\(0.1\))．
6.某企业现有资产\(4.2\)亿，计划平均每年增长\(8\%\)，问要使资产达到\(10\)亿，需几年？(列出方程，利用二分法求解，结果取整数)
7.中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在\(500~1 000\)元之间，选手开始报价：\(1 000\)元，主持人说：高了．选手紧接着报价\(900\)元，高了；\(700\)元，低了；\(880\)元，高了；\(850\)元，低了；\(851\)元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由\(f(0)<0，f(0.5)>0\)知\(x_0 (0,0.5)\)，
再计算\(0\)与\(0.5\)的中点\(0.25\)处相应的函数值，以判断\(x_0\)的更准确位置． -
答案 \(C\)
解析 \(∵\)第一次所取的区间是 \([-2,6]\)，
\(∴\)第二次所取的区间可能为 \([-2,2], \quad[2,6]\)，
第三次所取的区间可能为 \([-2,0],[0,2],[2,4],[4,6]\)．
故选：\(C\)． -
答案\(C\)
解析 因为函数\(f(x)\)在定义域上时连续的，
又根据表格中数据可知\(f(2.25)<0\)，\(f(2.28)>0\)，
则由函数零点判定定理可知方程的一个根在\((2.25,2.28)\)上，精确后得\(2.3\)，
故选：\(C\)． -
答案 \(B\)
解析 根据题意，原来区间区间\([0,1]\)的长度等于\(1\)，每经过二分法的一次操作，
区间长度变为原来的一半，则经过\(n\)次操作后，区间的长度为 \(\dfrac{1}{2^{n}}\) ，
若 \(\dfrac{1}{2^{n}}<0.01\)，即\(n≥7\)；故选：\(B\)． -
答案 \(2.6\)
解析 使用计算器或计算机，最好使用几何画板软件，画出函数\(y=\lg x\)的图象，
利用数形结合的方法估算出方程的解所在的一个区间．
如图所示，由函数\(y=\lg x\)与\(y=3－x\)的图象，
可以发现，方程\(\lg x=3－x\)有唯一解，记为\(x_1\)，并且这个解在区间\((2,3)\)内，
设\(f(x)=\lg x+x－3\)，用计算器计算，得
\(f(2)<0\),\(f(3)>0⇒x_1∈(2,3)\)，
\(f(2.5)<0,f(3)>0⇒x_2∈(2.5,3)\)，
\(f(2.5)<0,f(2.75)>0⇒x_3∈(2.5,2.75)\)，
\(f(2.5)<0,f(2.625)>0⇒x_4∈(2.5,2.625)\)，
\(f(2.5625)<0,f(2.625)>0⇒x_5∈(2.5625,2.625)\)．
因为\(2.625\)与\(2.562 5\)精确到\(0.1\)的近似值都为\(2.6\)，所以原方程的近似解为\(x_5≈2.6\)． -
答案 \(11\)
解析 设需要 年，由题意得：\(4.2×(1+8\%)^x=10\)
即有 \(1.08^{x}-\dfrac{10}{4.2}=0\)
令 \(f(x)=1.08^{x}-\dfrac{10}{4.2}=0\)，借助计算机作出函数\(f(x)\)的图象如图所示．
\(∵\)若\(x_0∈[10,15]\)时，取区间\([10,15]\)的中点\(x_1=12.5\)，计算\(f(12.5)≈0.23695915\)，
\(∴f(1)⋅f(1.5)<0\)，\(∴x_0∈[10,12.5]\)．
再取区间\([10,12.5]\)的中点\(x_2=11.25\)，
计算\(f(11.25)≈-0.003065308\)，\(∴x_0∈[11.25,12.5]\)．
再取区间\([11.25,12.5]\)的中点\(x_3=11.875\)，计算\(f(11.875)≈0.114061144\)，
\(∴x_0∈[11.25,11.875]\)．
要求结果取整数．故取\(x=11\)． -
解析 取价格区间\([500,1 000]\)的中点\(750\)，如果主持人说低了，就再取区间\([750,1 000]\)的中点\(875\)；
否则取另一个区间\([500,750]\)的中点；若遇到小数，则取整数，
照这种方案，游戏过程猜价如下：\(750,875,812,843,859,851\)，经过\(6\)次可以猜中价格．
分层练习
【A组---基础题】
1.下列函数中，不能用二分法求函数零点的是( )
A．\(f(x)=2x-1\) \(\qquad \qquad\) B．\(f(x)=x^2－2x+1\) \(\qquad \qquad\) C．\(f(x)=log_2x\) \(\qquad \qquad\) D．\(f(x)=e^x-2\)
2.下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是
A．
\(\qquad\) B．
\(\qquad\)C．
\(\qquad\)D． 
3.用二分法求函数\(f(x)=\ln(2x+6)+2－3^x\)零点时，用计算器得到如表：
| \(x\) | \(1.00\) | \(1.25\) | \(1.375\) | \(1.50\) |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(1.0794\) | \(0.1918\) | \(－0.3604\) | \(－0.9989\) |
则由表中数据，可得到函数的一个零点的近似值(精确度为\(0.1\))为( )
A．\(1.125\) \(\qquad \qquad\) B．\(1.3125\) \(\qquad \qquad\) C．\(1.4375\) \(\qquad \qquad\) D．\(1.46875\)
4.[多选]某同学用二分法求函数\(f(x)=2^x+3x-7\)的零点时，计算出如下结果：\(f(1.5)=0.33\)，\(f(1.25)=-0.87\),\(f(1.375)=-0.26\),\(f(1.4375)=0.02\),\(f(1.4065)=-0.13\),\(f(1.422)=-0.05\)，下列说法正确的有 ( )
A．精确到\(0.1\)的近似值为\(1.375\) \(\qquad \qquad\) B．精确到\(0.01\)的近似值为\(1.4065\)
C．精确到\(0.1\)的近似值为\(1.4375\) \(\qquad \qquad\) D．精确到\(0.1\)的近似值为\(1.25\)
5.用二分法研究函数\(f(x)=x^3+3x-1\)的零点时，第一次经计算\(f(0)<0\),\(f(1)>0\)，可得其中一个零点\(x_0∈(0,1)\)，那么经过下一次计算可得\(x_0∈\)\(\underline{\quad \quad}\) (填区间)．
6.用二分法求函数\(f(x)=3^x-x-4\)的一个零点，其参考数据如下：
| \(f(1.600 0)≈0.200\) | \(f(1.587 5)≈0.133\) | \(f(1.575 0)≈0.067\) |
|---|---|---|
| \(f(1.562 5)≈0.003\) | \(f(1.556 25)≈-0.029\) | \(f(1.550 0)≈-0.060\) |
据此数据，可得\(f(x)=3^x-x-4\)的一个零点的近似值(精确度\(0.01\))为\(\underline{\quad \quad}\)．
7.求方程\(x^3-x-1=0\)在区间\((1,1.5)\)内的一个近似解(精确度\(0.1\))．
8.求方程 \(3^{x}+\dfrac{x}{x+1}=0\)的近似解(精确度\(0.1\))．
9.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条\(10 km\)长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很大．每查一个点要爬一次电线杆子，\(10 km\)长，大约有\(200\)多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(A\)．函数的值域为\(R\)，可以使用二分法
\(B\)．函数的值域为\([0,+∞)\)，不能使用二分法．
\(C\)．\(f(x)=log_2 x∈R\)，可以使用二分法求解函数的零点；
\(D\)．\(f(x)=e^x-2\)的值域为\((-2,+∞)\)，可以使用二分法，求解函数的零点；
故选：\(B\)． -
答案 \(B\)
解析 由图象可知，\(B\)中图象的零点是不变号零点，
其它图象中零点都是变号零点，故\(B\)不能用二分法求零点近似值．故选：\(B\)． -
答案 \(B\)
解析 在区间\((1.00,1.50)\)之间，根据零点存在性定理有零点，
取中点\(1.25\)，\((1.00,1.25)\)不满足，取\((1.25,1.50)\)，
再取中点\(1.375\)，\((1.25,1.375)\)满足零点存在性定理，
再取中点\((1.25+1.375)÷2=1.3125\)，
故选：\(B\)． -
答案 \(AC\)
解析 \(∵f(1.375)=-0.26<0\),\(f(1.4375)=0.02>0\)，
\(∴\)零点在\((1.375,1.4375)\)内，
又\(1.4375-1.375=0.062<0.1\)，则\(AC\)正确，\(D\)错误；
\(∵f(1.4065)=-0.13<0\),\(f(1.4375)=0.02>0\)，
\(|1.4065-1.375|=0.0315>0.01\)，故\(B\)错误．
故选：\(AC\)． -
答案 \(\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\)
解析 \(∵\)函数\(f(x)=x^3+3x-1\)，\(f(0)<0\)，\(f(1)>0\)，
\(\therefore f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}+3 \times \dfrac{1}{2}-1>0 \text {, }\)，
\(∴\)经过下一次计算可得 \(x_{0} \in\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\)．
故答案为 \(\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\)． -
答案 \(1.562 5\)(答案不唯一)
解析 \(∵\)由参考数据知\(f(1.562 5)≈0.00 3>0\)，\(f(1.556 25)≈－0.029<0\)，
即\(f(1.562 5)·f(1.556 25)<0\)，且\(1.562 5－1.556 25=0.006 25<0.01\)，
\(∴\)函数\(f(x)=3^x-x-4\)的一个零点的近似值可取为\(1.562 5\)．
答案：\(1.562 5\)(答案不唯一) -
答案 \(1.3\)
解析 函数\(f(x)=x^3-x-1\)在区间\([1,1.5]\)内的一个零点附近曲函数值用二分法逐次计算列表如下
| \(x\) | \(1\) | \(1.5\) | \(1.25\) | \(1.375\) | \(1.3125\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-1\) | \(0.875\) | \(-0.2969\) | \(0.2246\) | \(-0.05151\) |
由图中参考数据可得\(f(1.375)>0,f(1.3125)<0\)，又因为题中要求精确到\(0.1\)，
所以近似解为\(1.3\)．
- 答案 \(-0.375\)
解析 原方程可化为 \(3^{x}+\dfrac{x}{x+1}=0\)，即3^x=x/(x+1)-1．
在同一坐标系中，分别画出函数\(g(x)=3^x\)与 \(h(x)=\dfrac{x}{x+1}-1\)的简图，如图所示：
\(∵g(x)\)与\(h(x)\)的图象交点的横坐标位于区间\((－1,0)\)且只有一个交点，
\(∴\)原方程只有一解\(x=x_0\)．
令 \(f(x)=3^{x}+\dfrac{x}{x+1}=3^{x}-\dfrac{x}{x+1}+1\)，
\(∵f(0)=1-1+1=1>0\)， \(f(-0.5)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}-2+1=\dfrac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}<0\)，
\(∴x_0∈(-0.5,0)\).
用二分法求解，列表如下
| 中点值 | 中点（端点）函数值 | 取值区间 |
|---|---|---|
| \(f(-0.5)<0,f(0)>0\) | \((-0.5,0)\) | |
| \(-0.25\) | \(f(-0.25)≈0.4265>0\) | \((-0.5,-0.25)\) |
| \(-0.375\) | \(f(-0.375)≈0.0623>0\) | \((-0.5,-0.375)\) |
| \(-0.4375\) | \(f(-0.4375)≈-0.1594<0\) | \((-0.4375,-0.375)\) |
\(∵|－0.375－(－0.437 5)|=0.062 5<0.1\)，
\(∴\)原方程的近似解可取为\(－0.375\)．
- 答案 一、两根电线杆附近
解析 先检查中间一根电线杆，则将故障的范围缩小一半，再用同样方法依次检查下去．
如图，维修工人首先从中点\(C\)查．用随身带的话机向两端测试时，发现\(AC\)段正常，断定故障在\(BC\)段，再到\(BC\)段中点\(D\)，这次发现\(BD\)段正常，可见故障在\(CD\)段，再到\(CD\)段中点去查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到\(50 m\)至\(100 m\)，即一、两根电线杆附近．
【B组---提高题】
1.用二分法求函数\(f(x)=\ln(x+1)+x-1\)在区间\([0,1]\)上的零点，要求精确度为\(0.01\)时，所需二分区间的次数最少为( )
A．\(6\) \(\qquad \qquad\) B．\(7\) \(\qquad \qquad\) C．\(8\) \(\qquad \qquad\) D．\(9\)
2.设正有理数\(a_1\)是 \(\sqrt{3}\)的一个不足近似值，令 \(a_{2}=1+\dfrac{2}{1+a_{1}}\)，求证：
(1) \(\sqrt{3}\)介于\(a_1\)与\(a_2\)之间；\(\qquad \qquad\) (2) \(a_2\)比\(a_1\)更接近于 \(\sqrt{3}\)．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 根据题意，原来区间区间\([0,1]\)的长度等于\(1\)，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过\(n\)次操作后，区间的长度为 \(\dfrac{1}{2^{n}}\)，
若 \(\dfrac{1}{2^{n}}<0.01\)，即\(n≥7\)；故选：\(B\)． -
证明 (1) \(a_{2}-\sqrt{3}=1+\dfrac{2}{1+a_{1}}-\sqrt{3}=\dfrac{(1-\sqrt{3})\left(a_{1}-\sqrt{3}\right)}{1+a_{1}}\)，
\(∵\)若 \(a_{1}>\sqrt{3}\)， \(\therefore a_{1}-\sqrt{3}>0\)，而 \(1-\sqrt{3}<0\)，
\(\therefore a_{2}<\sqrt{3}\),
\(∵\)若 \(a_{1}<\sqrt{3}\)， \(\therefore a_{1}-\sqrt{3}<0\)，而 \(1-\sqrt{3}<0\)，
\(\therefore a_{2}>\sqrt{3}\)，
故 \(\sqrt{3}\)介于\(a_1\)与\(a_2\)之间；
(2) \(\left|a_{2}-\sqrt{3}\right|-\left|a_{1}-\sqrt{3}\right|=\dfrac{(1-\sqrt{3})\left(a_{1}-\sqrt{3}\right)}{1+a_{1}}-\left|a_{1}-\sqrt{3}\right|\)\(=\left|a_{1}-\sqrt{3}\right| \times \dfrac{\sqrt{3}-2-a_{1}}{1+a_{1}}\)，
\(∵a_1>0\), \(\sqrt{3}-2<0\), \(\left|a_{1}-\sqrt{3}\right|>0\)，
\(\therefore\left|a_{2}-\sqrt{3}\right|-\left|a_{1}-\sqrt{3}\right|<0\),
\(\therefore\left|a_{2}-\sqrt{3}\right|<a_{1}-\sqrt{3} \mid\),
\(∴a_2\)比\(a_1\)更接近于 \(\sqrt{3}\)．
【C组---拓展题】
1.在\(12\)枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最少称\(\underline{\quad \quad}\)次就可以发现假币．
2.利用二分法求 \(\sqrt[3]{3}\)的近似值(精确度\(0.1\))
参考答案
-
答案 \(3\)
解析 将\(12\)枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那\(6\)枚金币里面，将这\(6\)枚平均分成两份，则假币一定在轻的那\(3\)枚金币里面，将这\(3\)枚金币任拿出\(2\)枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．依据上述分析，最少称\(3\)次就可以发现这枚假币．故答案为：\(3\). -
答案 \(1.4\)
解析 由题意，求\(f(x)=x^3-3\)的零点即可．
因为\(f(1)=-2<0,f(2)=5>0\)，所以方程\(x^3-3=0\)在区间\([1,2]\)上有实数解，
如此下去，\(f(1.5)=0.375>0\),\(f(1.25)=-1.05<0\),\(f(1.375)=-0.41<0\),\(f(1.4375)=-0.03<0\).
至此，我们得到零点在区间\((1.4375,1.5)\)内，区间长度为\(0.0625\)，它小于\(0.1\)．
因此，方程\(x^3-3=0\)精确度\(0.1\)近似解是\(1.4\)．
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