4.2 指数函数

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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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必修第一册同步巩固，难度2颗星！

基础知识

指数函数概念

一般地，函数$y=a^x (a>0$且$a≠1)$叫做指数函数，其中$x$是自变量，函数的定义域为$R$.
解释
(1)指数函数$y=a^x (a>0$且$a≠1)$中系数为$1$，底数是不为$1$的正实数的常数，指数是变量$x$.注意与幂函数的区别，如$y=2^x$是指数函数，$y=x^3$是幂函数.
(2)指数函数中为什么要限制$a>0$且$a≠1$呢？
① 若$a<0$，则对于$x$的某些值$a^x$无意义，如$(-2)^x$，此时$x$取 $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}$…等没意义；其函数图象没明显特点；
② 若$a=0$或$a=1$时，函数没研究价值.

指数函数的图像与性质

函数名称	指数函数
定义	函数$y=a^x (a>0$且$a≠1)$叫做指数函数
图象	$a>1$	$0< a <1$

定义域	$R$
值域	$(0,+∞)$
过定点	图象过定点$(0,1)$，即当$x=0$时，$y=1$
奇偶性	非奇非偶
单调性	在$R$上是增函数	在$R$上是减函数
$a$变化对图象的影响	在第一象限内，$a$越大图象越高；在第二象限内，$a$越大图象越低

【例】画出函数$y=2^x$和 $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$的图象，说下他们的函数性质.
解析

$y=2^x$：在$R$上递增，非奇非偶函数，值域是$(0,+∞)$;
$y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$：在$R$上递减，非奇非偶函数，值域是$(0,+∞)$.
$y=2^x$与 $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$关于$y$轴对称.

指数型函数模型

形如 $y=k·a^x (k∈R，$且$k≠0；a>0，$且$a≠1)$的函数称为指数型函数．

基本方法

【题型1】指数函数的概念

【典题1】已知指数函数$f(x)$的图象经过点 $\left(-2, \dfrac{1}{16}\right)$，试求$f(-1)$和$f(3)$．
解析设$f(x)=a^x (a>0,$且$a≠1)$，
$∵$函数$f(x)$的图象经过点 $\left(-2, \dfrac{1}{16}\right)$，
$\therefore a^{-2}=\dfrac{1}{16}$，解得$a=±4$．
又$a>0$，则$a=4$，$∴f(x)=4^x$，
$\therefore f(-1)=4^{-1}=\dfrac{1}{4}$，$f(3)=4^3=64$.
点拨待定系数法求解函数解析式.

巩固练习

1.下列函数中是指数函数的是$\underline{\quad \quad}$ (填序号)．
① $y=2 \cdot(\sqrt{2})^{x}$；② $y=2^{x-1}$；③ $y=\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{x}$；④$y=x^x$；⑤ $y=3^{-\frac{1}{x}}$；⑥ $y=x^{\frac{1}{3}}$．

2.若指数函数$f(x)$的图象经过点$(2,9)$，求$f(x)$．

参考答案

答案 ③
解析 ① $y=2 \cdot(\sqrt{2})^{x}$的系数不是$1$，不是指数函数;
② $y=2^{x-1}$的指数不是自变量$x$，不是指数函数；
③ $y=\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{x}$是指数函数；
④ $y=x^x$的底数是$x$不是常数，不是指数函数；
⑤ $y=3^{-\dfrac{1}{x}}$的指数不是自变量$x$，不是指数函数；
⑥ $y=x^{\dfrac{1}{3}}$是幂函数.
故答案：③
答案 $f(x)=3^x$
解析设$f(x)=ax(a>0,$且$a≠1)$，
因为函数$f(x)$的图象经过点$(2,9)$，代入可得$a^2=9$，解得$a=3$或$a=-3$(舍去)．
故$f(x)=3^x$．

【题型2】指数函数的图象与性质

【典题1】 如图是指数函数①$y=a^x$，②$y=b^x$，③$y=c^x$，④$y=d^x$的图象，则$a,b,c,d$与$1$的大小关系是(　　)

A．$a<b<1<c<d$ $\qquad \qquad$ B．$b<a<1<d<c$$\qquad \qquad$
C．$1<a<b<c<d$ $\qquad \qquad$ D．$a<b<1<d<c$
解析设$x=1$与①②③④的图象分别交于点$A,B,C,D$，如图，则其坐标依次为$(1,a)，(1,b)，(1,c)，(1,d)$，由图象观察可得$c>d>1>a>b$．故选$B$．

【典题2】 函数$y=|2^x-1|$的大致图象是(　　)
A． $\qquad \qquad$ B．
C． $\qquad \qquad$ D．
解析 $y=\left|2^{x}-1\right|=\left\{\begin{array}{l} 2^{x}-1, x \geq 0 \\ -2^{x}+1, x<0 \end{array}\right.$，
当$x<0$时，$y=1－2^x$的图象是将$y=2^x$图象先沿$x$轴对称下来，再沿$y$轴向上平移$1$个单位，
此时$x<0$时的图象在$x$轴上方，且为增函数，渐近线为$y=1$，
只有$C$项满足题意．故选$C$.
点拨含绝对值的函数可利用 $|a|=\left\{\begin{array}{cc} a, & a \geq 0 \\ -a, & a<0 \end{array}\right.$转化为分段函数，也可以函数图象的变换画出其函数图象.

巩固练习

1.如图是指数函数①$y=a^x$ ②$y=b^x$ ③$y=c^x$ ④$y=d^x$的图象，则$a,b,c,d$与$1$的大小关系是(　　)

A．$c<d<1<a<b$ $\qquad \qquad$ B．$d<c<1<b<a$ $\qquad \qquad$ C．$c<d<1<b$ $\qquad \qquad$ D．$1<c<d<a<b$

2.如果$a>1,b<-1$，那么函数$f(x)=a^x+b$的图象在(　　)
A．第一、二、三象限 $\qquad \qquad$ B．第一、三、四象限 $\qquad \qquad$ C．第二、三、四象限 $\qquad \qquad$ D．第一、二、四象限

3.函数 $y=e^{-|x|}$($e$是自然底数)的大致图象是(　　)
A． $\qquad \qquad$ B． $\qquad \qquad$ C． $\qquad \qquad$ D．

参考答案

答案 $B$
解析 $∵$当底数大于$1$时指数函数是定义域内的增函数，当底数大于$0$小于$1$时是定义域内的减函数，
可知$a，b$大于$1$，$c，d$大于$0$小于$1$．
又由图可知$a^1>b^1$，即$a>b$．$d^1<c^1$，即$d<c$．
$∴a,b,c,d$与$1$的大小关系是$d<c<1<b<a$．
故选：$B$．
答案 $B$
解析 $∵a>1$，$∴y=a^x$的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过$(0,1)$，
$f(x)=a^x+b$的图象可看成把 $y=a^x$的图象向下平移$－b(－b>1)$个单位得到的，
故函数$f(x)=a^x+b$的图象，经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，
故选：$B$．
答案 $C$
解析 $\because y=e^{-|x|}=\left\{\begin{array}{l} \left(\dfrac{1}{e}\right)^{x}, x \geq 0 \\ e^{x}, x<0 \end{array}\right.$．根据指数函数的图象与性质可知：应选$C$．

【题型3】指数函数的应用

角度1 比较指数式的大小

【典题1】 设 $y_{1}=4^{0.9}, y_{2}=8^{0.48}, y_{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1.5}$，则(　　)
A．$y_3>y_1>y_2$ $\qquad \qquad$ B．$y_2>y_1>y_3$ $\qquad \qquad$ C．$y_1>y_2>y_3$ $\qquad \qquad$ D．$y_1>y_3>y_2$
解析利用幂的运算性质可得，
$y_{1}=4^{0.9}=2^{1.8}$， $y_{2}=8^{0.48}=2^{1.44}$， $y_{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1.5}=2^{1.5}$，
再由$y=2^x$是增函数，知$y_1>y_3>y_2$．
故选：$D$．
点拨注意数式的结构，通过构造函数，利用函数单调性比较大小.

巩固练习

1.已知 $a=4^{\frac{1}{2}}, \quad b=2^{\frac{1}{3}}, \quad c=5^{\frac{1}{2}}$，则$a、b、c$的大小关系为(　　)
A．$b<a<c$ $\qquad \qquad$ B．$a<b<c$ $\qquad \qquad$ C．$b<c<a$ $\qquad \qquad$ D．$c<a<b$

2.已知 $a=0.7^{2.1}, \quad b=0.7^{2.5} . \quad c=2.1^{0.7}$，则这三个数的大小关系为(　　)
A．$b<a<c$ $\qquad \qquad$ B．$a<b<c$ $\qquad \qquad$ C．$c<a<b$ $\qquad \qquad$ D．$c<b<a$

参考答案

答案 $A$
解析 $a=4^{\frac{1}{2}}=2, \quad b=2^{\frac{1}{3}}<2, \quad c=5^{\frac{1}{2}}>2$，则$c>a>b$，故选：$A$．
答案 $A$
解析根据指数函数的性质可得：函数 $y=0.7^{x}$的底数小于$1$，是减函数，
$∵2.1<2.5$， $\therefore 0.7^{2.1}>0.7^{2.5}$，即$a>b$．
又 $\because c=2.1^{0.7}>2.1^{0}=1$， $a=0.7^{2.1}<0.7^{0}=1$，
$∴c<a$，所以$b<a<c$，故选：$A$．

角度2 求解指数型不等式

【典题1】 已知集合 $N=\left\{x \mid \dfrac{1}{2}<2^{x+1}<4, x \in Z\right\}$，$M=\{-1,1\}$，则$M∩N=\underline{\quad \quad}$.
解析 $\because \dfrac{1}{2}<2^{x+1}<4$， $\therefore 2^{-1}<2^{x+1}<2^{2}$，$∴-1<x+1<2⇒-2<x<1$，
$∴$集合$N=\{x|-2<x<1,x∈z\}=\{-1,0\}$，
又$∵M=\{-1,1\}$，$∴M∩N=\{-1\}$.
点拨利用指数函数的单调性求解不等式.

巩固练习

1.函数 $y=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}}$的定义域是$\underline{\quad \quad}$ .

2.不等式 $3^{x^{2}+a x}>3^{2 x+a-2}$恒成立，则$a$的取值范围是$\underline{\quad \quad}$.

参考答案

答案 $[0,+∞)$
解析由 $1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} \geq 0$得， $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} \leq 1$，解得：$x≥0$，
故函数 $y=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}}$的定义域是$[0,+∞).$
答案 $(-2,2)$
解析不等式 $3^{x^{2}+a x}>3^{2 x+a-2}$恒成立，即$x^2+ax>2x+a-2$，
亦即$x^2+(a-2)x-a+2>0$恒成立，
则$△=(a-2)^2-4(-a+2)<0$，解得$-2<a<2$，
故$a$的取值范围是$(-2,2)$．

角度3 指数型函数综合问题

【典题1】如果函数$y=a^2x+2a^x-1(a>0$且$a≠1)$在区间$[-1,1]$上有最大值$14$，试求$a$的值．
解析设$t=a^x$，则$t>0$，原函数可化为$y=(t+1)^2-2$，其图象的对称轴为$t=-1$．
(1)若$a>1$，$∵x∈[-1,1]$， $\therefore t \in\left[\dfrac{1}{a}, a\right]$，
则函数$y=(t+1)^2-2$在区间 $\left[\dfrac{1}{a}, a\right]$上单调递增，
$∴$当$t=a$时，函数$y$取得最大值$(a+1)^2-2$，
即$(a+1)^2-2=14$，解得$a=3$或$a=-5$(舍去)．
(1)若$0<a<1$，$∵x∈[－1,1]$， $\therefore \mathrm{t} \in\left[a, \dfrac{1}{a}\right]$，
则函数$y=(t+1)^2-2$在区间 $\left[\dfrac{1}{a}, a\right]$上单调递增，
$∴$当 $t=\dfrac{1}{a}$时，函数y取得最大值 $\left(\dfrac{1}{a}+1\right)^{2}-2$，
即 $\left(\dfrac{1}{a}+1\right)^{2}-2=14$，解得 $a=\dfrac{1}{3}$ 或$a=-\dfrac{1}{5}$(舍去)．
综上可知，$a$的值为$3$或 $\dfrac{1}{3}$．

巩固练习

1.已知函数 $f(x)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{a x^{2}-4 x+3}$，
(1)若$a=-1$，求$f(x)$的单调区间；
(2)若$f(x)$有最大值$3$，求$a$的值．
(3)若$f(x)$的值域是$(0,+∞)$，求$a$的取值范围．

参考答案

答案 (1)递增区间是$(-2,+∞)$，递减区间是$(-∞,-2 )$．(2) $1$ (3) $\{0\}$
解析 (1)当$a=-1$时， $f(x)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-x^{2}-4 x+3}$，
令$g(x)=-x^2-4x+3$，
由于$g(x)$在$(-∞,-2)$上单调递增，在$(-2,+∞)$上单调递减，
而 $y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{t}$在$R$上单调递减，
所以$f(x)$在$(-∞,-2)$上单调递减，在$(-2,+∞)$上单调递增，
即函数$f(x)$的递增区间是$(-2,+∞)$，递减区间是$(-∞,-2 )$．
(2)令$h(x)=ax^2-4x+3$， $y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{h(x)}$，由于$f(x)$有最大值$3$，
所以 $h(x)$应有最小值$-1$，
因此 $\dfrac{12 a-16}{4 a}=-1$，解得$a=1$．
即当$f(x)$有最大值3时，$a$的值等于$1$．
(3)由指数函数的性质知，
要使$y=h(x)$的值域为$(0,+∞)$．
应使$h(x)=ax^2-4x+3$的值域为$R$，
因此只能有$a=0$．
因为若$a≠0$，则$h(x)$为二次函数，其值域不可能为$R$．
故$a$的取值范围是$\{0\}$．

分层练习

【A组---基础题】

1.函数$y=(a-2)^2 a^x$是指数函数，则(　　)
A．$a=1$或$a=3$ $\qquad \qquad$ B．$a=1$ $\qquad \qquad$ C．$a=3$ $\qquad \qquad$ D．$a>0$且$a≠1$

2.若函数$y=a^x+b$的部分图象如图所示，则(　　)

A．$0<a<1,-1<b<0$ $\qquad \qquad$ B．$0<a<1,0<b<1$
C．$a>1,-1<b<0$ $\qquad \qquad$ D．$a>1,0<b<1$

3.函数 $y=\dfrac{x a^{x}}{|x|}(a>1)$的图象的大致形状是(　　)
A． $\qquad \qquad$ B． $\qquad \qquad$ C． $\qquad \qquad$ D．

4.已知 $a=1.6^{0.3}, b=1.6^{0.8}, c=0.7^{0.8}$，则(　　)
A．$c<a<b$ $\qquad \qquad$ B．$a<b<c$ $\qquad \qquad$ C．$b>c>a$ $\qquad \qquad$ D．$a>b>c$

5.二次函数$y=-x^2-4x(x>-2)$与指数函数 $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$的交点个数有(　　)
A．$3$个 $\qquad \qquad$ B．$2$个 $\qquad \qquad$ C．$1$个 $\qquad \qquad$ D．$0$个

6.方程$|2^x-1|=a$有唯一实数解，则$a$的取值范围是$\underline{\quad \quad}$．

7.函数$y=a^x-2(a>0$且$a≠1，-1≤x≤1)$的值域是 $\left[-\dfrac{5}{3}, 1\right]$，则实数$a=$$\underline{\quad \quad}$ .

8.已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2^{x}-1}+\dfrac{1}{2}$．
(1)求$f(x)$的定义域； (2)讨论$f(x)$的奇偶性．

9.已知函数$f(x)=b\cdot a^x$(其中$a,b$为常量，且$a>0,a≠1$)的图象经过点$A(1,6)$，$B(3,24)$．
(1)求$f(x)$；
(2)若不等式 $\left(\dfrac{1}{a}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{b}\right)^{x}-m \geq 0$在$x∈(-∞,1]$时恒成立，求实数$m$的取值范围．

参考答案

答案 $C$
解析由指数函数定义知 $\left\{\begin{array}{l} (a-2)^{2}=1 \\ a>0, \text { 且 } a \neq 1 \end{array}\right.$，所以解得$a=3$．故选$C$.
答案 $A$
解析由图象可以看出，函数为减函数，故$0<a<1$，
因为函数$y=a^x$的图象过定点$(0,1)$，函数$y=a^x+b$的图象过定点$(0,b+1)$，
$∴-1<b<0$，故选：$A$.
答案 $C$
解析 $f(x)$是分段函数，根据$x$的正负写出分段函数的解析式，
$f(x)=\left\{\begin{array}{l} a^{x}(x>0) \\ -a^{x}(x<0) \end{array}\right.$
$∴x>0$时，图象与$y=a^x$在第一象限的图象一样，
$x<0$时，图象与$y=a^x$的图象关于$x$轴对称，
故选：$C$．
答案 $A$
解析 $y=1.6^x$是增函数，故 $a=1.6^{0.3}<b=1.6^{0.8}$，而 $1.6^{0.3}>1>0.7^{0.8}$，故$c<a<b$，故选：$A$．
答案 $C$
解析因为二次函数$y=-x^2-4x=-(x+2)^2+4(x>-2)$，
且$x=-1$时，$y=-x^2-4x=3$， $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=2$，
则在坐标系中画出$y=-x^2-4x(x>－2)$与 $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$的图象：
由图可得，两个函数图象的交点个数是$1$个，故选$C$．
答案 $a≥1$或$a=0$
解析作出$y=|2^x-1|$的图象，要使直线$y=a$与图象的交点只有一个，$∴a≥1$或$a=0$.
答案 $3$或 $\dfrac{1}{3}$
解析当$a>1$时，函数$y=a^x-2(a>0$且$a≠1)$，$-1≤x≤1$是增函数，
$∵$值域是 $\left[a^{-1}-2, a-2\right]$， $\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{a}-2=-\dfrac{5}{3} \\ a-2=1 \end{array} \Rightarrow a=3\right.$；
当$0<a<1$时，数$y=a^x-2(a>0$且$a≠1，-1≤x≤1)$是减函数，
$∵$值域是 $\left[a-2, a^{-1}-2\right]$， $\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{a}-2=1 \\ a-2=-\dfrac{5}{3} \end{array} \Rightarrow a=\dfrac{1}{3}\right.$．
综上所述，可得实数$a=3$或 $\dfrac{1}{3}$.
答案 (1)$(-∞,0)∪(0,+∞)$ (2)$C$
解析 (1)由$2x-1≠0$，得$2x≠1$，即$x≠0$，
因此函数$f(x)$的定义域为$(-∞,0)∪(0,+∞)$．
(2)由(1)知，函数$f(x)$的定义域为$(-∞,0)∪(0,+∞)$，关于坐标原点对称，
又 $f(-x)=\dfrac{1}{2^{-x}-1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2 x}{1-2^{x}}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2^{x}-1+1}{1-2^{x}}+\dfrac{1}{2}$$=-1-\dfrac{1}{2^{x}-1}+\dfrac{1}{2}=-\left(\dfrac{1}{2^{x}-1}+\dfrac{1}{2}\right)=-f(x)$，
所以$f(x)$为奇函数．
答案 (1) $f(x)=3\cdot 2^x$ (2) $\left[\dfrac{5}{6},+\infty\right)$
解析 (1)把$A(1,6)$，$B(3,24)$代入 $f(x)=b\cdot a^x$，得 $\left\{\begin{array}{l} 6=a b \\ 24=b \cdot a^{3} \end{array}\right.$
结合$a>0$且$a≠1$，解得 $\left\{\begin{array}{l} a=2 \\ b=3 \end{array}\right.$，
$∴f(x)=3\cdot 2^x$．
(2)要使 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x} \geq m$在$(－∞,1]$上恒成立，
只需保证函数 $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}$在$(－∞,1]$上的最小值不小于$m$即可．
$∵$函数 $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}$在$(－∞,1]$上为减函数，
$∴$当$x=1$时， $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}$有最小值．
$∴$只需 $m \leq \dfrac{5}{6}$即可．

【B组---提高题】

1.如图所示，函数$y=|2^x－2|$的图象是(　　)
A． $\qquad \qquad$ B． $\qquad \qquad$ C． $\qquad \qquad$ D．

2.已知实数$a,b$满足等式$2^a=3^b$，下列五个关系式：①$0<b<a$；②$a<b<0；$③$0<a<b$；④$b<a<0$；⑤$a=b$．其中可能成立的关系式有(　　)
A．①②③ $\qquad \qquad$ B．①②⑤ $\qquad \qquad$ C．①③⑤ $\qquad \qquad$ D．③④⑤

3.已知 $a=2^{\frac{4}{3}}, b=4^{\frac{2}{5}}, c=25^{\frac{1}{3}}$，则(　　)
A．$b<a<c$ $\qquad \qquad$ B．$a<b<c$ $\qquad \qquad$C．$b<c<a$ $\qquad \qquad$ D．$c<a<b$

4.若方程 $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1+a=0$有正数解，则实数$a$的取值范围是(　　)
A．$(0,1)$ $\qquad \qquad$ B．$(-3,0)$ $\qquad \qquad$ C．$(-2,0)$ $\qquad \qquad$ D．$(-1,0)$

5.设函数$f(x)=|2^x-1|$，$c<b<a$，且$f(c)>f(a)>f(b)$，则$2^a+2^c$与$2$的大小关系是(　　)
A．$2^a+2^c>2$ $\qquad \qquad$ B．$2^a+2^c≥2$$\qquad \qquad$ C．$2^a+2^c≤2$ $\qquad \qquad$ D．$2^a+2^c<2$

6.已知不等式 $\dfrac{1}{2^{x^{2}+x}}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2 x^{2}-m x+m+4}$对任意$x∈R$恒成立，则实数$m$的取值范围是$\underline{\quad \quad}$．

7.已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2^{x}+1}-\dfrac{1}{2}$．
(1)求证：函数$f(x)$是$R$上的奇函数；
(2)若对任意的$t∈R$，不等式$f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0$恒成立，求$k$的取值范围．

参考答案

答案 $B$
解析 $\because y=\left|2^{x}-2\right|=\left\{\begin{array}{l} 2^{x}-2, x \geq 1 \\ 2-2^{x}, x<1 \end{array}\right.$，$∴x=1$时，$y=0$，$x≠1$时，$y>0$．故选$B$．
答案 $B$
解析令$f(x)=2^x$和$g(x)=3^x$，$2^a=3^b$即$f(a)=g(b)$，如图所示
由图象可知①②⑤正确，故选$B$．
答案 $A$
解析 $\because a=2^{\frac{4}{3}}, \quad b=2^{\frac{4}{5}}, \dfrac{4}{3}>\dfrac{4}{5}$，$∴a>b$，
又 $a=2^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{16}, \quad c=\sqrt[3]{25}$，故$a<c$，故$c>a>b$，
故选：$A$．
答案 $B$
解析设 $t=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$ ，则有 $a=-\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2 x}+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\right]=-t^{2}-2 t=-(t+1)^{2}+1$．
原方程有正数解$x>0$，则 $0<t=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^{0}=1$，
即关于$t$的方程$t^2+2t+a=0$在$(0,1)$上有实根．
又因为$a=-(t+1)^2+1$，
所以当$0<t<1$时有$1<t+1<2$，
即$1<(t+1)^2<4$，
即$-4<-(t+1)^2<－1$，
即$-3<-(t+1)^2+1<0$，
即得：$-3<a<0$，
故选：$B$．
答案 $D$
解析 $f(x)=\left|2^{x}-1\right|=\left\{\begin{array}{l} 2^{x}-1, x \geq 0 \\ 1-2^{x}, x<0 \end{array}\right.$，
作出$f(x)=|2^x－1|$的图象如图所示，

由图可知，要使$c<b<a$且$f(c)>f(a)>f(b)$成立，则有$c<0$且$a>0$，
故必有$2^c<1$且$2^a>1$，
又$f(c)-f(a)>0$，即为$1-2^c-(2^a-1)>0$，$∴2^a+2^c<2$．
故选：$D$．
答案 $(-3,5)$
解析不等式等价为 $\dfrac{1}{2^{x^{2}+x}}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2 x^{2}-m x+m+4}$，
即$x^2+x<2x^2－mx+m+4$恒成立，$∴x^2-(m+1)x+m+4>0$恒成立，
即$△=(m+1)^2－4(m+4)<0$，即$m^2-2m-15<0$，
解得$-3<m<5$，
故答案为：$-3<m<5$．
答案 (1)奇函数 (2) $\left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right)$
解析 (1)$f(x)$的定义域是$R$， $f(-x)=\dfrac{1}{2^{-x}+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2^{x}}{1+2^{x}}-\dfrac{1}{2}$．
$\therefore f(-x)+f(x)=\dfrac{2^{x}}{1+2^{x}}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{x}+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2^{x}+1}{1+2^{x}}-1=0$．
$∴f(-x)=-f(x)$．
$∴f(x)$是$R$上的奇函数．
(2)$∵y=2^x$在$R$上是增函数， $\therefore f(x)=\dfrac{1}{2^{x}+1}-\dfrac{1}{2}$在$R$上是减函数．
$∵f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0$，$∴f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2 )$．
$∴t^2-2t>k-2t^2$，即$k<3t^2-2t$．
令 $g(t)=3 t^{2}-2 t=3\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^{2}-\dfrac{1}{3}$，则$g(t)$的最小值为 $-\dfrac{1}{3}$．
$\therefore k<-\dfrac{1}{3}$．$∴k$的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right)$．

【C组---拓展题】

1.若 $2^{x}-5^{-x} \leq 2^{-y}-5^{y}$，则有(　　)
A．$x+y≥0$ $\qquad \qquad$ B．$x+y≤0$ $\qquad \qquad$ C．$x-y≤0$ $\qquad \qquad$ D．$x-y≥0$

2.已知定义在$(-1,1)$上的奇函数$f(x)$．在$x∈(-1,0)$时， $f(x)=2^{x}+2^{-x}$．
(1)试求$f(x)$的表达式；
(2)若对于$x∈(0,1)$上的每一个值，不等式$t·2^x·f(x)<4^x-1$恒成立，求实数$t$的取值范围．

参考答案

答案 $B$
解析构造函数 $f(x)=2^{x}-5^{-x}$，易得函数$f(x)$单调递增，
由 $2^{x}-5^{-x} \leq 2^{-y}-5^{y}$，可得$f(x)≤f(-y)$
$∴x≤-y⇒x+y≤0$，
故选：$B$．
答案 (1) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2^{x}+2^{-x} & x \in(-1,0) \\ 0 & x=0 \\ -2^{x}-2^{-x} & x \in(0,1) \end{array}\right.$(2)$[0,+∞)$
解析 (1)$∵f(x)$是定义在$(-1,1)$上的奇函数，$∴f(0)=0$，
设$x∈(0,1)$，则$-x∈(-1,0)$，
则$f(x)=-f(-x)=-\left(2^{x}+2^{-x}\right)$，
故 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2^{x}+2^{-x} & x \in(-1,0) \\ 0 & x=0 \\ -2^{x}-2^{-x} & x \in(0,1) \end{array}\right.$
(2)由题意，$t·2^x·f(x)<4^x-1$可化为 $t \cdot 2^{x} \cdot\left(-2^{x}-2^{-x}\right)<4^{x}-1$
化简可得 $t>\dfrac{-4^{x}+1}{4^{x}+1}$，
(此处恒成立问题用到“分离参数法”转化为最值问题)
令 $g(x)=\dfrac{-4^{x}+1}{4^{x}+1}=-1+\dfrac{2}{4^{x}+1}$， (分离常数法)
易得$g(x)$在$(0,1)$上递减，
$\therefore g(x)<g(0)=-1+\dfrac{2}{4^{0}+1}=0$，
故$t≥0$．($t$可取到$0$).

posted @ 2022-09-06 11:33 贵哥讲数学阅读(1273) 评论(2) 收藏举报

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4.2 指数函数

基础知识

指数函数概念

指数函数的图像与性质

指数型函数模型

基本方法

【题型1】指数函数的概念

巩固练习

【题型2】指数函数的图象与性质

巩固练习

【题型3】指数函数的应用

角度1 比较指数式的大小

巩固练习

角度2 求解指数型不等式

巩固练习

角度3 指数型函数综合问题

巩固练习

分层练习

【A组---基础题】

【B组---提高题】

【C组---拓展题】

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