3.2.2 函数的奇偶性
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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必修第一册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
函数奇偶性的概念
(1) 一般地，设函数\(f(x)\)的定义域为\(I\)，如果\(∀x∈I\)，都有\(-x∈I\)，且\(f(-x)=f(x)\)，
那么函数\(f(x)\)就叫做偶函数.
(2) 一般地，设函数\(f(x)\)的定义域为\(I\)，如果\(∀x∈I\)，都有\(-x∈I\)，且\(f(-x)=-f(x)\)，
那么函数\(f(x)\)就叫做奇函数.
由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.
注 ① 从定义可知，若\(x\)是函数定义域中的一个数值，则\(-x\)也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的前提是：定义域关于原点对称．如\(f(x)=x,x∈(-1,1]\)是非奇非偶函数.
② 函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即\(f(x)=0\)，\(x∈D\)，\(D\)是关于原点对称的实数集．
性质
1 偶函数关于\(y\)轴对称；
2 奇函数关于原点对称；
3 若奇函数\(f(x)\)定义域内含有\(0\)，则\(f(0)=0\)；
证明 \(∵f(x)\)为奇函数，\(∴f(-x)=-f(x)\)．
令\(x=0\)，则\(f(-0)=-f(0)\)，即\(f(0)=-f(0)\)，\(∴f(0)=0\)．
4 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．
【例】设奇函数\(f(x)\)的定义域是\([－2,2]\)且图象的一部分如图所示，则不等式\(f(x)<0\)的解集是\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 由于\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(x)\)的图象关于原点对称，补全其图象，如图所示．从图上可以看出\(f(x)<0\)的解集是\((-1,0)∪(1,2)\)．
【练】如图，给出了偶函数\(y=f(x)\)的局部图象，试比较\(f(1)\)与\(f(3)\)的大小．
解析 \(∵\)函数\(f(x)\)是偶函数，\(∴\)其图象关于\(y\)轴对称，如图．
由图象可知\(f(1)＜f(3)\)．
判断函数奇偶性的方法
1 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求\(f(-x)\), 看下与\(f(x)\)的关系：若\(f(-x)=f(x)\)，则\(y=f(x)\)是偶函数；
若\(f(-x)=-f(x)\)，则\(y=f(x)\)是奇函数.
2 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于\(y\)轴对称，则函数是偶函数.
3 取特殊值排除法(选择题)
比如：若根据函数得到\(f(1)≠f(-1)\)，则排除\(f(x)\)是偶函数.
4 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为\(0\))仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为\(0\))仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；
一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
对于复合函数\(F(x)=f(g(x))\)的奇偶性如下图
| \(g(x)\) | \(f(x)\) | \(F(x)\) |
|---|---|---|
| 偶函数 | 偶函数 | 偶函数 |
| 奇函数 | 奇函数 | 奇函数 |
| 偶函数 | 奇函数 | 偶函数 |
| 奇函数 | 偶函数 | 偶函数 |
基本方法
【题型1】判断函数的奇偶性
【典题1】 判断下列函数的奇偶性
(1) \(f(x)=\dfrac{2 x^{2}+2 x}{x+1}\)； \(\qquad\) (2) \(f(x)=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{1-x^{2}}\)；\(\qquad\) (3) \(f(x)=x^3-2x\)；\(\qquad\)
(4) \(f(x)=\dfrac{|x|}{x^{2}+1}\)； \(\qquad\) (5)\(f(x)=|x^2+x|\)．
解析 (1)函数的定义域为\((-∞,-1)∪(-1,+∞)\)不关于原点对称，
故函数\(f(x)\)既不是奇函数，又不是偶函数．
(2) \(∵\)函数的定义域为\(\{-1,1\}\)且\(f(x)=0\)，\(f(-1)=0\)，\(f(1)=0\)，
\(∴f(-1)=f(1)\)且\(f(-1)=-f(1)\)．
\(∴\)函数 \(f(x)=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{1-x^{2}}\)既是奇函数，又是偶函数．
(3)函数的定义域为\(R\)，
\(∵f(-x)=(-x)^3-2(-x)=-(x^3-2x)=-f(x)\)，
\(∴\)函数\(f(x)=x^3-2x\)是奇函数．
(4)函数的定义域为\(R\)．
方法1 \(\because f(-x)=\dfrac{|-x|}{(-x)^{2}+1}=\dfrac{|x|}{x^{2}+1}=f(x)\)，\(∴\)函数 \(f(x)=\dfrac{|x|}{x^{2}+1}\)是偶函数．
方法2 \(∵y=|x|\)和\(y=x^2+1\)是偶函数，\(∴\)函数 \(f(x)=\dfrac{|x|}{x^{2}+1}\)是偶函数．
(5) 方法1 \(f(1)=2\)，\(f(-1)=0\)，则\(f(1)≠f(-1)\)，即\(f(x)\)不是偶函数；
\(f(1)+f(-1)≠0\)，即\(f(x)\)不是奇函数；
故\(f(x)\)既不是奇函数，又不是偶函数．
方法2 画出函数图象如下图，
函数图象即不关于\(y\)轴对称，也不关于原点对称，
故\(f(x)\)既不是奇函数，又不是偶函数．
点拨
判断函数的奇偶性的方法有
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求\(f(-x)\) , 看下与\(f(x)\)的关系：
若\(f(-x)=f(x)\)，则\(y=f(x)\)是偶函数；若\(f(-x)=-f(x)\)，则\(y=f(x)\)是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于\(y\)轴对称，则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法(选择题)
④ 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为\(0\))仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为\(0\))仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；
一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
巩固练习
1.函数\(y=x^3-x\)的奇偶性为 ( )
A．奇函数 \(\qquad \qquad\) B．偶函数 \(\qquad \qquad\) C．既是奇函数又是偶函数 \(\qquad \qquad\) D．非奇非偶函数
2.设\(f(x)\)是定义在\(R\)上的一个函数，则函数\(F(x)=f(x)-f(-x)\)在\(R\)上一定是( )
A．奇函数 \(\qquad \qquad\) B．偶函数 \(\qquad \qquad\) C．既是奇函数又是偶函数 \(\qquad \qquad\) D．非奇非偶函数
3.如果定义在区间\([3-a,5]\)上的函数\(f(x)\)为奇函数，那么\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
4.判断函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{1}{2} x^{2}+1,(x>0) \\
-\dfrac{1}{2} x^{2}-1,(x<0)
\end{array}\right.\)的奇偶性．
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 \(f(-x)=-x^3+x=-f(x)\),\(f(x)\)是奇函数. - 答案 \(A\)
解析 \(F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)\)，\(F(x)\)是奇函数. - 答案 \(\dfrac{1}{2}\)
解析 \(∵f(x)\)是\([3-a,5]\)上的奇函数，\(∴\)区间\([3-a,5]\)关于原点对称，
\(∴3-a=-5\)，\(a=8\). - 答案 奇函数
解析 解法一：函数的定义域为\((-∞,0)∪(0,+∞)\)，
当\(x>0\)时，\(-x<0\)， \(f(-x)=-\dfrac{1}{2}(-x)^{2}-1=-\left(\dfrac{1}{2} x^{2}+1\right)=-f(x)\)．
当\(x<0\)时，\(-x>0\)，
\(f(-x)=\dfrac{1}{2}(-x)^{2}+1=\dfrac{1}{2} x^{2}+1=-\left(-\dfrac{1}{2} x^{2}-1\right)=-f(x)\)．
综上所述，在\((－∞,0)∪(0,+∞)\)上总有\(f(-x)=-f(x)\)．
因此函数\(f(x)\)是奇函数．
解法二：作出函数的图象，如图所示．
函数\(f(x)\)的图象关于原点对称，所以\(f(x)\)是奇函数．
【题型2】函数奇偶性的运用
【典题1】 若函数 \(f(x)=\dfrac{2^{x}-a}{2^{x}+1}\)的图象关于\(y\)轴对称，则常数\(a=\) ( )
A．\(-1\) \(\qquad \qquad\) B．\(1\) \(\qquad \qquad\) C．\(1\)或\(-1\) \(\qquad \qquad\) D．不存在
解析 可知函数\(f(x)\)为偶函数，则\(f(-x)=f(x)\)，
令\(x=1\)得，\(f(-1)=f(1)\)，即 \(\dfrac{2^{-1}-a}{2^{-1}+1}=\dfrac{2-a}{2+1}\)，解得\(a=-1\)，
将\(a=-1\)代入解析式验证，符合题意．故选：\(A\)．
点拨 函数\(f(x)\)为偶函数，则\(f(-x)=f(x)\)是对于定义域内任意\(x\)均成立的，故本题令\(x=1\)求得\(a\)，但最后需要检验.解答题这样求解不够严谨.
【典题2】 已知函数\(f(x)\)是定义域为\(R\)的奇函数，当\(x≥0\)时，\(f(x)=2^x+2x-a\)，则\(f(-1)=\) \(\underline{\quad \quad}\).
解析 根据题意，函数\(f(x)\)是定义域为\(R\)的奇函数，则\(f(0)=0\)，
则有\(f(0)=2^0-a=1-a=0\)，解可得\(a=1\)，
则\(f(1)=2+2-a=4-1=3\)，
又由\(f(x)\)为奇函数，则\(f(-1)=-f(1)=-3\).
点拨 若奇函数\(f(x)\)的定义域内能取到\(0\)，则\(f(0)=0\).
【典题3】 已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，当\(x (-∞,0)\)时，\(f(x)=x-x^4\)，则当 \(x∈(-∞,0)\)时，\(f(x)=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
解析 设\(x>0\)，则\(-x<0\)，则 \(f(-x)=-x-(-x)^{4}=-x-x^{4}\)．
又\(∵y=f(x)\)是偶函数，
\(∴f(x)=f(-x)\)，\(x>0\)，
从而在区间\((0,+∞)\)上的函数表达式为\(f(x)=-x-x^4\)．
巩固练习
1.设函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，且\(f(-1)=1\)，则\(f(1)+f(0)=\)( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad\) B．\(0\)\(\qquad \qquad\) C．\(-1\) \(\qquad \qquad\) D．\(-2\)
2.已知函数\(f(x)\)是奇函数，当\(x<0\)时，\(f(x)=-2x^2+x\)，则\(f(2)=\)( )
A．\(-6\) \(\qquad \qquad\) B．\(6\) \(\qquad \qquad\) C．\(-10\) \(\qquad \qquad\) D．\(10\)
3.若函数 \(f(x)=\dfrac{(2 x+1)(x-a)}{x}(a \in R)\)为奇函数，则实数\(a=\)( )
A． \(\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) B．\(0\) \(\qquad \qquad\) C．\(-1\) \(\qquad \qquad\) D．\(1\)
4.已知函数 \(f(x)=a x+\dfrac{x}{4^{x}+1}\)是偶函数，则常数\(a\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
5.已知\(f(x)\)为定义在\(R\)上的奇函数，当\(x≥0\)时，\(f(x)=2^x+m\),则\(f(-2)=\) \(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 根据题意，函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，则\(f(0)=0\)，
若\(f(-1)=1\)，则\(f(1)=-f(-1)=-1\)，
则\(f(1)+f(0)=-1\)；故选\(C\)． - 答案 \(D\)
解析 \(∵f(x)\)是奇函数，当\(x<0\)时，\(f(x)=-2x^2+x\)，
\(∴f(-2)=-8-2=-10\)，即\(-f(2)=-10\)，则\(f(2)=10\)，故选：\(D\)． - 答案 \(A\)
解析 根据题意，函数 \(f(x)=\dfrac{(2 x+1)(x-a)}{x}(a \in R)\)为奇函数，
则\(f(-x)=-f(x)\)，即 \(\dfrac{(2 x+1)(x-a)}{x}=\dfrac{(-2 x+1)(-x-a)}{-x}\)，
变形可得\((2a-1)x=0\)，则有 \(a=\dfrac{1}{2}\)；故选\(A\)． - 答案 \(-\dfrac{1}{2}\)
解析 易知函数定义域为\(R\)
\(∵\)函数 \(f(x)=a x+\dfrac{x}{4^{x}+1}\)是偶函数
\(∴f(-x)=f(x)\)对定义域内每一个\(x\)都成立
\(\therefore-a x+\dfrac{-x}{4^{-x}+1}=a x+\dfrac{x}{4^{x}+1}\)，
\(\therefore-2 a x=\dfrac{x}{4^{x}+1}+\dfrac{x}{4^{-x}+1}=\dfrac{x}{4^{x}+1}+\dfrac{x \times 4^{x}}{4^{-x}\left(4^{x}+1\right)}\)\(=\dfrac{x}{4^{x}+1}+\dfrac{x \times 4^{x}}{1+4^{x}}=x\)，
\(∴(1+2a)x=0\)对定义域内每一个x都成立
\(∴1+2a=0\)，即 \(a=-\dfrac{1}{2}\). - 答案 \(-3\)
解析 根据题意，\(f(x)\)为定义在\(R\)上的奇函数，则\(f(0)=2^0+m=0\)，
解可得：\(m=-1\)，
即当\(x≥0\)时，\(f(x)=2^x-1\)，则有\(f(2)=2^2-1=3\)，
又由\(f(x)\)为奇函数，则\(f(-2)=-f(2)=-3\).
【题型3】函数的奇偶性与单调性的综合
【典题1】 若函数\(f(x)\)是定义在\([-6,6]\)上的偶函数，且在\([-6,0]\)上单调递减，则( )
A．\(f(3)+f(4)>0\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(f(-3)-f(-2)<0\) \(\qquad \qquad\)
C．\(f(-2)+f(-5)<5\) \(\qquad \qquad\) D．\(f(4)-f(-1)>0\)
解析 \(f(x)\)是定义在\([-6,6]\)上的偶函数，且在\([-6,0]\)上单调递减，
可得\(f(x)\)在\([0,6]\)上单调递增，
依题意有\(-4<-1⇒f(-4)>f(-1)⇒f(4)-f(-1)>0\).
点拨 涉及到函数奇偶性和单调性，可借助函数的图象去理解消化.
【典题2】函数 \(f(x)=\dfrac{a x+b}{1+x^{2}}\)是定义在区间\((-1,1)\)上的奇函数，且 \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2}{5}\)．
(1)确定函数\(f(x)\)的解析式；
(2)用定义证明：\(f(x)\)在区间\((-1,1)\)上是增函数；
(3)解不等式：\(f(t-1)+f(t)<0\)．
解析 (1)由题意知 \(\left\{\begin{array}{l}
f(0)=0 \\
f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2}{5}
\end{array}\right.\)，即 \(\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{b}{1+0^{2}}=0 \\
\dfrac{\dfrac{a}{2}+b}{1+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{2}{5}
\end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l}
a=1 \\
b=0
\end{array}\right.\)，
故 \(f(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}\)．
(2)任取\(-1<x_1<x_2<1\)，则\(x_2-x_1>0\)，(定义法证明)
\(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=\dfrac{x_{2}}{1+x_{2}^{2}}-\dfrac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}=\dfrac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(1-x_{1} x_{2}\right)}{\left(1+x_{1}^{2}\right)\left(1+x_{2}^{2}\right)}\)．
\(∵-1<x_1<x_2<1\)，
\(∴-1<x_1 x_2<1,1-x_1 x_2>0\)．
于是\(f(x_2 )-f(x_1 )>0\)，
\(∴f(x)\)为区间\((-1,1)\)上的增函数．
(3)\(f(t-1)<-f(t)=f(-t)\)，
\(∵f(x)\)在区间\((-1,1)\)上是增函数，
\(∴－1<t-1<-t<1\)，解得 \(0<t<\dfrac{1}{2}\)．
点拨 求解类似\(f(x)<f(a)\)关于\(x\)的不等式，可利用函数的单调性去掉\(f\)求解，若强行代入解析式就比较暴力了.
巩固练习
1.奇函数\(f(x)\)在区间\([3,7]\)上是增函数，在区间\([3,6]\)上的最大值为\(8\)，最小值为\(-1\)，则\(2f(-6)+f(-3)\)的值为\(\underline{\quad \quad}\) .
2.设偶函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，当 \(x∈[0,+∞)\)时，\(f(x)\)是增函数，则\(f(－2),f(π),f(－3)\)由大到小的关系是\(\underline{\quad \quad}\)．
3.已知偶函数\(f(x)\)在\([0,+∞)\)上为增函数，且\(f(x-1)>f(3-2x)\)，则实数\(x\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
4.已知偶函数\(f(x)\)在区间\([0,+∞)\)单调增加，则满足 \(f(2 x-1)<f\left(\dfrac{1}{3}\right)\)的\(x\)取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
- 答案 \(-15\)
解析 \(f(x)\)在\([3,6]\)上为增函数， \(f(x)_{\max }=f(6)=8\)， \(f(x)_{\min }=f(3)=-1\).
\(∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=－2×8+1=-15\). - 答案 \(f(π)>f(-3)>f(-2)\)
解析 利用函数\(f(x)\)为\(R\)上的偶函数，将\(f(-2),f(-3)\)转化到区间\([0,+∞)\)上，
利用\(f(x)\)在此区间上是增函数比较大小．因为\(f(x)\)为\(R\)上的偶函数，
所以\(f(-2)=f(2)，f(-3)=f(3)\)．
又因为当\(x∈[0,+∞)\)时，\(f(x)\)是增函数，且\(π>3>2\)，
所以\(f(π)>f(3)>f(2)\)，故\(f(π)>f(-3)>f(-2)\)． - 答案 \(\left(\dfrac{4}{3}, 2\right)\)
解析 \(∵\)偶函数\(f(x)\)在\([0,+∞)\)上为增函数；
\(∴\)由\(f(x-1)>f(3-2x)\)得，\(f(|x－1|)>f(|3-2x|)\)；
\(∴|x-1|>|3-2x|\)；
\(∴(x-1)^2>(3-2x)^2\)；整理得\(3x^2-10x+8<0\)；解得 \(\dfrac{4}{3}<x<2\)；
\(∴\)实数\(x\)的取值范围是 \(\left(\dfrac{4}{3}, 2\right)\)． - 答案 \(\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}\right)\)
解析 由于\(f(x)\)是偶函数，故\(f(x)=f(|x|)\)
\(∴\)得 \(f(|2 x-1|)<f\left(\dfrac{1}{3}\right)\)，
再根据\(f(x)\)的单调性得 \(|2 x-1|<\dfrac{1}{3}\)，解得 \(\dfrac{1}{3}<x<\dfrac{2}{3}\).
分层练习
【A组---基础题】
1.已知\(f(x)=ax^2+bx\)是定义在\([a-1,2a]\)上的偶函数，那么\(a+b\)的值是( )
A． \(-\dfrac{1}{3}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{1}{3}\) \(\qquad \qquad\) C．\(-\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{1}{2}\)
2.下列说法正确的是( )
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，且\(f(0)=0\)，则\(f(x)\)是奇函数
3.函数\(f(x)=|x|+1\)是( )
A.奇函数 \(\qquad \qquad\) B．偶函数 \(\qquad \qquad\) C．既是奇函数又是偶函数 \(\qquad \qquad\) D．非奇非偶函数
4.函数 \(f(x)=\dfrac{\sqrt{3-x^{2}}}{x}\)的图象关于( )
A．原点对称 \(\qquad \qquad\) B．轴对称 \(\qquad \qquad\) C．\(y\)轴对称 \(\qquad \qquad\) D．直线\(y=x\)对称
5.已知函数 \(f(x)=x^5-ax^3+bx+2\)，\(f(-5)=17\)，则\(f(5)\)的值是( )
A．\(19\) \(\qquad \qquad\) B．\(13\) \(\qquad \qquad\) C．\(-19\) \(\qquad \qquad\) D．\(-13\)
6.设\(f(x)\)是奇函数，且当\(x∈(0,+∞)\)时，\(f(x)=x(1+x)\)，则当\(x∈(-∞,0)\)时，\(f(x)\)等于( )
A．\(x(1+x)\) \(\qquad \qquad\) B．\(-x(1+x)\) \(\qquad \qquad\) C．\(x(1-x)\) \(\qquad \qquad\) D．\(-x(1-x)\)
7.如果奇函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)上是减函数，且最小值为\(6\)，那么\(f(x)\)在区间\([-5,-1]\)上是( )
A．减函数且最大值为\(-6\) \(\qquad \qquad\) B．增函数且最大值为\(6\)
C．减函数且最小值为\(-6\) \(\qquad \qquad\) D．增函数且最小值为\(6\)
8.若偶函数\(f(x)\)在\((-∞,-1]\)上是减函数，则 ( )
A． \(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)<f(-1)<f(2)\) \(\qquad \qquad\) B． \(f(-1)<f\left(-\dfrac{3}{2}\right)<f(2)\)
C． \(f(2)<f(-1)<f\left(-\dfrac{3}{2}\right)\) \(\qquad \qquad\) D．\(f(2)<f\left(-\dfrac{3}{2}\right)<f(-1)\)
9.若函数\(f(x)=ax^2+bx+3a+b\)是偶函数，且定义域为\([a-1,2a]\)，则\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\) ， \(b=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
10.已知函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}
-x^{2}+2 x, x>0 \\
0, x=0 \\
x^{2}+m x, x<0
\end{array}\right.\)是奇函数，则\(m=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
11.已知函数 \(f(x)=\dfrac{a x+b}{1+x^{2}}\)是定义域为\((－1,1)\)上的奇函数，且\(a>0\)．
(1)用定义证明：函数\(f(x)\)在\((－1,1)\)上是增函数；
(2)若实数\(t\)满足\(f(2t－1)+f(t－1)<0\)，求实数\(t\)的范围．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 依题意得：\(f(-x)=f(x)\)，\(∴b=0\)，
又\(a-1=-2a\)， \(\therefore a=\dfrac{1}{3}\)， \(\therefore a+b=\dfrac{1}{3}\)．故选：\(B\)． -
答案 \(B\)
解析 奇偶函数的定义域一定关于原点对称，但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如\(y=x+1\)．由此可判断\(A、C\)项错误，\(B\)项正确．奇函数若在原点处有定义，则\(f(0)=0\)，反之不一定成立，如\(y=x^2\)，因此\(D\)项错误．故选\(B\)． -
答案 \(B\)
-
答案 \(A\)
解析 根据题意， \(f(x)=\dfrac{\sqrt{3-x^{2}}}{x}\)，有 \(f(-x)=-\dfrac{\sqrt{3-x^{2}}}{x}\)，
则有\(f(-x)=-f(x)\)，其图象关于原点对称，故选：\(A\)． -
答案 \(D\)
解析 \(\because g(x)=x^{5}-a x^{3}+b x\)是奇函数 \(∴g(-x)=-g(x)\)
\(∵f(-5)=17=g(-5)+2\) \(∴g(5)=-15\)
\(∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13\)，故选：\(D\)． -
答案 \(C\)
解析 当\(x>0\)时，\(-x<0\)，代入函数在\((-∞,0)\)上的解析式，即得\(f(-x)=-x(1-x)\)，
\(∵f(x)\)是奇函数，\(∴f(x)=-f(-x)=x(1-x)\)，
故选：\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 当\(-5≤x≤-1\)时\(1≤-x≤5\)，
\(∴f(-x)≥6\)，即\(-f(x)≥6\)．从而\(f(x)≤-6\)，
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，
故\(f(x)\)在\([-5,-1]\)是减函数．
故选：\(A\)． -
答案 \(B\)
解析 根据题意，\(f(x)\)为偶函数，则\(f(2)=f(-2)\)，
又由函数\(f(x)\)在\((-∞,-1]\)上是减函数，
则 \(f(-1)<f\left(-\dfrac{3}{2}\right)<f(-2)\)，即 \(f(-1)<f\left(-\dfrac{3}{2}\right)<f(2)\)，故选：\(B\). -
答案 \(\dfrac{1}{3}, 0\)
解析 \(∵\)偶函数的定义域关于原点对称，\(∴a－1=－2a\)，解得 \(a=\dfrac{1}{3}\)．
\(∴f(x)=\frac{1}{3}x^2+bx+b+1\)为二次函数．
\(∵\)函数\(f(x)\)为偶函数，对称轴 \(x=-\dfrac{b}{2 \times \dfrac{1}{3}}=0\)，即\(b=0\)． -
答案 \(2\)
解析 \(∵\)当\(x<0\)时，\(-x>0\)， \(f(-x)=-(-x)^2+2(-x)=-x^2-2x\)，
又\(f(x)\)为奇函数，\(∴f(-x)=-f(x)=-x^2-2x\)．
\(∴f(x)=x^2+2x=x^2+mx\)．\(∴m=2\)． -
答案 (1)略 (2) \(\left(0, \dfrac{2}{3}\right)\)
解析 (1)\(∵\)函数 \(f(x)=\dfrac{a x+b}{1+x^{2}}\)是定义域为\((－1,1)\)上的奇函数，
\(\therefore f(0)=\dfrac{b}{1}=0\)，\(∴b=0\)，
\(\therefore f(x)=\dfrac{a x}{1+x^{2}}\)
任取\(x_1,x_2∈(-1,1)\)，且\(x_1<x_2\)，
\(\therefore f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\dfrac{a x_{1}}{1+x_{1}^{2}}-\dfrac{a x_{2}}{1+x_{2}^{2}}=\dfrac{a\left(x_{1}+x_{1} x_{2}^{2}-x_{2}-x_{2} x_{1}^{2}\right)}{\left(1+x_{1}^{2}\right)\left(1+x_{2}^{2}\right)}\)\(=\dfrac{a\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(1-x_{1} x_{2}\right)}{\left(1+x_{1}^{2}\right)\left(1+x_{2}^{2}\right)}\)，
\(∵a>0\)，\(-1<x_1<x_2<1\)，
\(∴x_1-x_2<0\)，\(1-x_1 x_2>0\)， \(1+x_1^2>0\)，\(1+x_2^2>0\)
\(∴\)函数\(f(x)\)在\((－1,1)\)上是增函数．
(2)\(∵f(2t-1)+f(t-1)<0\)，\(∴f(2t-1)<-f(t-1)\)，
\(∵\)函数 \(f(x)=\dfrac{a x+b}{1+x^{2}}\)是定义域为\((-1,1)\)上的奇函数，且\(a>0\)．
\(∴f(2t-1)<f(1-t)\)，
\(∵\)函数\(f(x)\)在\((-1,1)\)上是增函数，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} 2 t-1<1-t \\ -1<2 t-1<1 \\ -1<1-t<1 \end{array}\right.\)，解得 \(0<t<\dfrac{2}{3}\)．
故实数\(t\)的范围是 \(\left(0, \dfrac{2}{3}\right)\)．
【B组---提高题】
1.设\(f(x)\)是\(R\)上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．\(f(x)f(-x)\)是奇函数 \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(f(x)|f(-x)|\)是奇函数
C．\(f(x)-f(-x)\)是偶函数 \(\qquad \qquad\) D．\(f(x)+f(-x)\)是偶函数
2.若函数\(f (x) (x∈R)\)是奇函数，则 ( )
A．函数\(f(x^2 )\)是奇函数 \(\qquad \qquad\) B．函数\([f(x)]^2\)是奇函数
C．函数\(f(x)⋅x^2\)是奇函数 \(\qquad \qquad\)D．函数\(f(x)+x^2\)是奇函数
3.已知奇函数\(y=f(x)\)在\((-∞,0)\)为减函数，且\(f(2)=0\)，则不等式\((x-1)f(x-1)>0\)的解集为( )
A．\(\{x|-3<x<-1\}\) \(\qquad \qquad \qquad\) B ．\(\{x|-3<x<1\)或\(x>2\}\)
C．\(\{x|-3<x<0\)或\(x>3\}\) \(\qquad \qquad\) D．\(\{x|-1<x<1\)或\(1<x<3\}\)
4.已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x>0\)时，\(f(x)\)为增函数，且\(f(3)=0\)，那么不等式\(xf(x)<0\)的解集是( )
A．\((-3,-1)∪(1,3)\) \(\qquad \qquad\) B．\((-3,0)∪(3,+∞)\)
C．\((-3,0)∪(0,3)\) \(\qquad \qquad\) D．\((-∞,-3)∪(0,3)\)
5.若函数 \(f(x)=(1-x^2)(x^2+ax-5)\)的图象关于直线\(x=0\)对称，则\(f(x)\)的最大值是( )
A．\(-4\) \(\qquad \qquad\) B．\(4\)\(\qquad \qquad\) C．\(4\)或\(-4\) \(\qquad \qquad\) D．不存在
6.函数 \(f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{|x+3|-3}\)的图象关于\(\underline{\quad \quad}\)对称．
7.已知函数\(f(x)\)为偶函数，当\(x∈[-1,1]\)时， \(f(x)=\sqrt{1-x^{2}}\)，且\(f(x+1)\)为奇函数，则 \(f\left(\dfrac{21}{2}\right)=\) \(\underline{\quad \quad}\).
8.已知函数\(f(x)=x^3+2x\)，则不等式\(f(2x)+f(x-1)>0\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\).
9.已知\(f(x)\)，\(g(x)\)分别是\(R\)上的奇函数和偶函数，且\(f(x)+g(x)=3x^2-x+1\)，试求\(f(x)\)和\(g(x)\)的表达式．
10.已知定义在\(R\)奇函数 \(f(x)=\dfrac{2^{x}-a}{2^{x}+b}\)．
(1)求\(a,b\)的值； (2)判断并证明\(f(x)\)在\(R\)上的单调性； (3)求该函数的值域．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 选\(D\).设\(F(x)=f(x)f(-x)\)，则\(F(-x)=F(x)\)为偶函数．
设\(G(x)=f(x)|f(-x)|\)， 则\(G(-x)=f(-x)|f(x)|\).
\(∴G(x)\)与\(G(-x)\)关系不定．
设\(M(x)=f(x)-f(-x)\)，\(∴M(-x)=f(-x)-f(x)=-M(x)\)为奇函数．
设\(N(x)=f(x)+f(-x)\)，则\(N(-x)=f(-x)+f(x)\)．
\(N(x)\)为偶函数． -
答案 \(C\)
-
答案 \(D\)
解析 由题意画出\(f(x)\)的草图如下，
因为\((x-1)f(x-1)>0\)，所以\((x-1)\)与\(f(x-1)\)同号，
由图象可得\(-2<x-1<0\)或\(0<x-1<2\)，
解得\(-1<x<1\)或\(1<x<3\)，
故选：\(D\)． -
答案 \(C\)
解析 \(∵f(x)\)为奇函数，且在\((0,+∞)\)上是增函数，\(f(3)=0\)，
\(∴f(3)=-f(-3)=0\)，在\((-∞,0)\)内是增函数
\(∴x f(x)<0\)则 \(\left\{\begin{array} { l } { x > 0 } \\ { f ( x ) < 0 = f ( 3 ) } \end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l} x<0 \\ f(x)>0=f(-3) \end{array}\right.\right.\)
根据在\((-∞,0)\)和\((0,+∞)\)内是都是增函数，解得\(x∈(-3,0)∪(0,3)\)
故选：\(C\)． -
答案 \(B\)
解析 由函数\(f(x)=(1-x^2 )(x^2+ax-5)\)的图象关于直线\(x=0\)对称，知\(f(x)\)是偶函数，
\(∴f(-x)=f(x)\)，即 \((1-x^2 )(x^2-ax-5)=(1-x^2 )(x^2+ax-5)\)，
整理得\(2ax(x^2-1)=0\)总成立，得\(a=0\)，
\(∴f(x)=(1-x^2 )(x^2-5)\)，
令 \(x^2=t(t≥0)\)，则 \(y=(1-t)(t-5)=-t^2+6t-5=-(t-3)^2+4\)，
\(∴\)当\(t=3\)时，\(y\)有最大值\(4\)，即\(f(x)\)的最大值是\(4\)．
故选：\(B\)． -
答案 原点
解析 要使函数有意义，则 \(\left\{\begin{array}{c} 4-x^{2} \geq 0 \\ |x+3|-3 \neq 0 \end{array}\right.\)，即\((x-2)(x+2)<0\)，
解得\(-2<x<0\)或\(0<x<2\)，则定义域关于原点对称．
此时\(|x+3|=x+3\)，则函数 \(f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{|x+3|-3}=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{x+3-3}=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}\)，
\(\because f(-x)=-\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}=-f(x)\)，
\(∴\)函数\(f(x)\)是奇函数，图象关于原点对称. -
答案 \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
解析 \(∵\)函数\(f(x)\)为偶函数，\(∴f(-x)=f(x)\)．
又\(f(x+1)\)为奇函数，图象关于点\((0,0\))对称，
∴函数\(f(x)\)的图象关于点\((-1,0)\)对称，
\(∴f(x-2)=-f(-x)\)，\(∴f(x-2)=-f(x)\)，\(∴f(x-4)=f(x)\)
\(∴\)函数\(f(x)\)的周期\(4\)，
\(\therefore f\left(\dfrac{21}{2}\right)=f\left(12-\dfrac{3}{2}\right)=f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-f\left(\dfrac{3}{2}-2\right)\)\(=-f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\sqrt{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). -
答案 \(\left(\dfrac{1}{3},+\infty\right)\)
解析 函数\(f(x)\)为奇函数，且函数\(f(x)\)为增函数，
则不等式\(f(2x)+f(x-1)>0\)等价为\(f(2x)>-f(x-1)=f(1-x)\)，
则\(2x>1-x\)，得\(3x>1\)，得 \(x>\dfrac{1}{3}\)，
即不等式的解集为 \(\left(\dfrac{1}{3},+\infty\right)\). -
答案 \(f(x)=－x，g(x)=3x^2+1\)
解析 以\(－x\)代替条件等式中的\(x\)，则有\(f(-x)+g(-x)=3x^2+x+1\)，
又\(f(x)\)，\(g(x)\)分别是\(R\)上的奇函数和偶函数，
故\(-f(x)+g(x)=3x^2+x+1\)．
又\(f(x)+g(x)=3x^2-x+1\)，
联立可得\(f(x)=-x，g(x)=3x^2+1\)． -
答案 (1) \(\left\{\begin{array}{l} a=1 \\ b=1 \end{array}\right.\) (2)\(f(x)\)在\(R\)上是增函数 (3) \((-1,1)\)
解析 (1)因为\(f(x)\)是\(R\)上的奇函数，所以 \(\left\{\begin{array}{l} f(0)=0 \\ f(-1)=-f(1) \end{array}\right.\)，
即 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1-a}{1+b}=0 \\ \dfrac{1}{\dfrac{2}{2}-a}=-\dfrac{2-a}{\dfrac{1}{2}+b} \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} a=1 \\ b=1 \end{array}\right.\)；
(2)由(1)知 \(f(x)=\dfrac{2^{x}-1}{2^{x}+1}\)，设\(x_1,x_2∈R\)，且\(x_1<x_2\)，
则 \(f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\dfrac{2^{x_{1}}-1}{2^{x_{1}+1}}-\dfrac{2^{x_{2}}-1}{2^{x_{2}+1}}\)
\(=\dfrac{\left(2^{x_{1}}-1\right)\left(2^{x_{2}}+1\right)-\left(2^{x_{2}}-1\right)\left(2^{x_{1}+1}\right)}{\left(2^{x_{1}+1}\right)\left(2^{x_{2}}+1\right)}=\dfrac{2\left(2^{x_{1}}-2^{x_{2}}\right)}{\left(2^{x_{1}+1}\right)\left(2^{x_{2}+1}\right)}\)
因为\(y=2^x\)是\(R\)上的增函数，且\(x_1<x_2\)，所以\(\left(2^{x_{1}}-2^{x_{2}}\right)<0\)，
又 \(\left(2^{x_{1}}+1\right)\left(2^{x_{2}}+1\right)>0\)，
所以\(f(x_1 )-f(x_2 )<0\)，即\(f(x_1 )<f(x_2 )\)，
所以\(f(x)\)在\(R\)上是增函数；
(3) \(f(x)=\dfrac{2^{x}-1}{2^{x}+1}=\dfrac{2^{x}+1-2}{2^{x}+1}=1-\dfrac{2}{2^{x}+1}\)，
由\(2^x>0\)，得\(2^x+1>1\)，所以 \(0<\dfrac{2}{2^{x}+1}<2\)，
所以 \(-1<1-\dfrac{2}{2^{x}+1}<1\)，即\(-1<f(x)<1\)，
所以函数\(f(x)\)的值域为\((-1,1)\)．
【C组---拓展题】
1.函数 \(f(x)=\dfrac{x^{3}}{2^{-x}-2^{x}}\)的图象大致为( )
A．
\(\qquad \qquad\) B． 
C．
\(\qquad \qquad\) D．
2.若函数\(F(x)=f(x)-2x^4\)是奇函数， \(G(x)=f(x)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)为偶函数，则\(f(-1)=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
3.已知函数\(f(x)=x|x|+4x+1,x∈R\)，若\(f(a)+f(a^2-1)<2\)，则实数\(a\)的取值范围\(\underline{\quad \quad}\)．
4.若函数\(f(x)\)的定义域是\(R\)，且对任意\(x,y∈R\)，都有\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)成立．试判断\(f(x)\)的奇偶性．
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 函数的定义域为\(\{x|x≠0\}\)关于原点对称，且 \(f(-x)=\dfrac{-x^{3}}{2^{x}-2^{-x}}=\dfrac{x^{3}}{2^{-x}-2^{x}}=f(x)\)，
(或由\(y=x^3,y=2^{-x}-2^x\)均是奇函数，得 \(f(x)=\dfrac{x^{3}}{2^{-x}-2^{x}}\)是偶函数)
即函数\(f(x)\)为偶函数，其图象关于\(y\)轴对称，可排除\(CD\)；
又 \(f(1)=\dfrac{1}{2^{-1}-2}=-\dfrac{2}{3}<0\)，可排除\(A\)；
故选：\(B\)． - 答案 \(\dfrac{5}{4}\)
解析 \(∵\)函数\(F(x)=f(x)-2x^4\)是奇函数，
\(∴F(1)+F(-1)=0\)，即\(f(1)-2+f(-1)-2=0\)，则\(f(1)+f(-1)=4\) ①，
\(\because G(x)=f(x)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)为偶函数，
\(∴G(1)=G(-1)\)，即 \(f(1)+\dfrac{1}{2}=f(-1)+2\)，则 \(f(1)-f(-1)=\dfrac{3}{2}\) ②，
由①-②解得 \(f(-1)=\dfrac{4-\dfrac{3}{2}}{2}=\dfrac{5}{4}\)． - 答案 \(\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}, \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\)
解析 设\(g(x)=x|x|+4x\)，\(x∈R\)，则 \(g(x)=\left\{\begin{array}{l} -x^{2}+4 x, x \leq 0 \\ x^{2}+4 x, x>0 \end{array}\right.\)，
又\(g(-x)=(-x)|-x|+4(-x)=-(x|x|+4x)=-g(x)\)，
\(∴g(x)\)为\(R\)上的奇函数，且为增函数；
由\(f(x)=g(x)+1\)，
\(∴\)不等式\(f(a)+f(a^2-1)<2\)可化为\(g(a)+g(a^2-1)<0\)，
即\(g(a^2-1)<-g(a)\)，\(∴g(a^2-1)<g(-a)\)，
\(∴a^2-1<-a\)，即\(a^2+a-1<0\)，解得 \(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}<a<\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\)．
\(∴a\)的取值范围是\(\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}, \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\)． - 答案 奇函数
解析 在\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)中，
令\(x=y=0\)，得\(f(0+0)=f(0)+f(0)\)，\(∴f(0)=0\).
再令\(y=-x\)，则\(f(x-x)=f(x)+f(-x)\)，即\(f(x)+f(-x)=0\)，
\(∴f(-x)=-f(x)\)，故\(f(x)\)为奇函数．
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