2.5.1 直线与圆的位置关系

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【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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选择性必修第一册同步巩固，难度2颗星！

基础知识

直线、圆的位置关系

1 三种位置关系

2 判断直线与圆位置关系的方法
(1) 根据$d$与$r$的关系判断($d$为圆心到直线的距离，$r$为圆的半径)
相离$⇔$没有公共点$⇔ d>r$;
相切$⇔$只有一个公共点 $⇔ d=r$;
相交$⇔$ 有两个公共点$⇔ d<r$.

(2) 联立方程求判别式的方法
联立直线方程与圆的方程 $\left{\begin
A x+B y+C=0 \
x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0
\end\right.$求解，通过解的个数来判断：
当$Δ>0$时，直线与圆有$2$个交点，直线与圆相交；
当$Δ=0$时，直线与圆只有$1$个交点，直线与圆相切；
当$Δ<0$时，直线与圆没有交点，直线与圆相离.

【例】 判断直线$x+y-1=0$与圆 $x^2+y2=1$的位置关系.
解析方法1
圆 $x^2+y2=1$的圆心为$(0,0)$，半径为$1$，
圆心为$(0,0)$到直线的距离 $d=\dfrac{1}{\sqrt{2}}<1$，即直线与圆的位置关系是相交.
方法2
联立方程 $\left{\begin
x+y-1=0 \
x^{2}+y^{2}=1
\end\right.$，得$x^2-x=0$，其方程显然有两个实数解，
则直线与圆的位置关系是相交.

直线与圆的弦长

弦长公式： $A B=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}$ ($r$是圆的半径，$d$是圆心$O$到直线$l$的距离).
利用垂径定理及勾股定理可以得到.

**【例】**若直线$x+y-1=0$与圆 $x^2+y2=1$交于两点$A,B$，求线段$AB$的长度.
解析圆 $x^2+y2=1$的圆心为$(0,0)$，半径为$r=1$，
圆心为$(0,0)$到直线的距离 $d=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，
则 $A B=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{1-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{2}$.

基本方法

【题型1】直线与圆的位置关系

【典题1】 若圆 $C：x^2+y2－2x+2y=2$与直线$x-y+a=0$有公共点，则$a$的取值范围是(　　)
A． $[-2 \sqrt{2}-2,2 \sqrt{2}-2]$ $\qquad \qquad \qquad\qquad$ B． $[-2 \sqrt{2}-2,2 \sqrt{2}-2)$
C． $(-2 \sqrt{2}-2,2 \sqrt{2}-2)$ $\qquad\qquad \qquad\qquad$ D． $[-2 \sqrt{2}-2,2 \sqrt{2}]$
解析方法一
化圆$C$的一般方程为标准方程，得 $(x-1)^2+(y+1)^2=4$，
则圆心坐标为$C(1,－1)$，半径$r=2$，
若直线与圆$C$有公共点，则圆心$(1,－1)$到直线的距离小于等于半径，
设圆心$(1,－1)$到直线的距离为d，则 $d=\dfrac{|1+1+a|}{\sqrt{2}} \leq 2$，
解得： $-2 \sqrt{2}-2 \leq a \leq 2 \sqrt{2}-2$，
故选：$A$．
方法二
由 $\left{\begin
x-y+a=0 \
x^{2}+y^{2}-2 x+2 y=2
\end\right.$得 $2x^2+2ax+a^2+2a-2=0$，
其判别式 $∆=4a^2-8(a^2+2a-2)=-4a^2-16a+16$，
直线与圆有公共点，则$∆≥0$，解得 $-2 \sqrt{2}-2 \leq a \leq 2 \sqrt{2}-2$，
故选：$A$.

【典题2】 若直线$l$过点$A(0,a)$，斜率为$1$，圆 $x^2+y2=4$上恰有$3$个点到l的距离为$1$，则$a$的值为(　　)
A．$3\sqrt{2}$ $\qquad \qquad$ B．$±3\sqrt{2}$ $\qquad \qquad$ C．$±2$ $\qquad \qquad$ D．$±\sqrt{2}$
解析 $∵$直线$l$过点$A(0,a)$斜率为$1$，
$∴$设$l：x-y+a=0$，
$∵$圆 $x^2+y2=4$上恰有$3$个点到l的距离为$1$，
$∴$圆心到直线的距离等于半径减去$1$，
$∴$圆心$(0,0)$到直线$l：y=x+a$的距离为： $\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}=2-1$，解得$a=±\sqrt{2}$．
故选：$D$．

【典题3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西$70 km$处，受影响的范围是半径为$30 km$的圆形区域，已知港口位于台风中心正北$40 km$ 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解析以台风中心为坐标原点，以东西方向为$x$轴建立直角坐标系(如图所示)，

其中取$10 km$为单位长度，
则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 $x^2+y^2=9$，
港口所对应的点的坐标为$(0,4)$，轮船的初始位置所对应的点的坐标为$(7,0)$，
则轮船航线所在直线$l$的方程为 $\dfrac{x}{7}+\dfrac{y}{4}=1$，即$4x+7y－28=0$，
圆心$(0,0)$到直线$4x+7y－28=0$的距离 $d=\dfrac{|28|}{\sqrt{4^{2}+7^{2}}}=\dfrac{28}{\sqrt{65}}$，半径$r=3$．
$∵d>r$，$∴$直线与圆相离，
$∴$轮船不会受到台风的影响．
点拨利用坐标系法处理实际问题，把题中已知条件转化为直角坐标系中的坐标或方程是其关键.

巩固练习

1.直线$3x+4y-5=0$与圆 $x^2+y2-2x+2y-7=0$的位置关系是(　　)
A．相离 $\qquad \qquad$ B．相切 $\qquad \qquad$ C．相交但不过圆心 $\qquad \qquad$ D．相交且过圆心

2.直线$y=kx+1$与圆 $x^2+y2=4$的位置关系是$\underline{\quad \quad}$．

3.直线$x+y+a=0$与半圆 $y=-\sqrt{1-x^{2}}$有两个交点，则$a$的值是$\underline{\quad \quad}$．

4.已知$A(3,0)$，$B(0,4)$，若圆 $M：x^2+y2=r^2 (r>0)$上有且仅有两点$C$使$△ABC$面积等于 $\dfrac{5}{2}$，则实数$r$的取值范围是$\underline{\quad \quad}$.

参考答案

答案 $C$
解析圆方程化为标准方程 $(x-1)^2+(y+1)^2=9$，则圆心为$(1,-1)$，半径为$3$，
圆心$(1,-1)$到$3x+4y-5=0$的距离为 $\dfrac{6}{5}<3$，故选$C$.
答案相交
解析直线$y=kx+1$过定点$(0,1)$，而定点$(0,1)$在圆 $x^2+y2=4$内部，
则直线与圆的位置关系为相交.
答案 $[1, \sqrt{2})$
解析根据题意画出图形，如图所示：

当直线在第三象限与半圆相切时，圆心到直线的距离$d=r$，
即 $\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}=1$，解得：$a=\sqrt{2}$或$a=－\sqrt{2}$(舍去)；
当直线过点$A$时，直线$x+y+a=0$与圆有两个交点$A$和$B$，
把$A(－1,0)$代入$x+y+a=0$中得：$－1+a=0$，解得：$a=1$，
则直线与圆有两个交点时，$a$的范围是$[1,\sqrt{2})$．
故答案为：$[1,\sqrt{2})$.
答案 $\left(\dfrac{7}{5}, \dfrac{17}{5}\right)$
解析由题意可得 $|A B|=\sqrt{9+16}=5$，
根据圆 $M：x^2+y2=r^2 (r>0)$上有且仅有两点$C$使$△ABC$面积等于 $\dfrac{5}{2}$，
可得点$C$到直线$AB$的距离为$1$．
由于$AB$的方程为 $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=1$，即$4x+3y－12=0$．
若圆上只有一个点到直线$AB$的距离为$1$，
则有圆心$(0,0)$到直线$AB$的距离 $\dfrac{|0+0-12|}{\sqrt{9+16}}=r+1$，解得 $r=\dfrac{7}{5}$．
若圆上只有$3$个点到直线$AB$的距离为$1$，
则有圆心$(0,0)$到直线$AB$的距离 $\dfrac{|0+0-12|}{\sqrt{9+16}}=r-1$，解得 $r=\dfrac{17}{5}$，
$∴$实数$r$的取值范围是 $\left(\dfrac{7}{5}, \dfrac{17}{5}\right)$．

【题型2】直线与圆的相切问题

【典题1】 过点$A(4,－3)$作圆 $C:(x-3)^2+(y-1)^2=1$的切线，求此切线的方程．
解析因为 $(4-3)^2+(-3-1)^2=17>1$，所以点$A$在圆外．
若所求直线的斜率存在，设切线斜率为$k$，
则切线方程为$y+3=k(x-4)$．
因为圆心$C(3,1)$到切线的距离等于半径，半径为$1$，
所以 $\dfrac{|3 k-1-3-4 k|}{\sqrt{k^{2}+1}}=1$，即 $|k+4|=\sqrt{k^{2}+1}$，
所以 $k^2+8k+16=k^2+1$．解得 $k=-\dfrac{15}{8}$．
所以切线方程为 $y+3=-\dfrac{15}{8}(x-4)$，即$15x+8y-36=0$．
若直线斜率不存在，
圆心$C(3,1)$到直线$x=4$的距离也为$1$，这时直线与圆也相切，
所以另一条切线方程是$x=4$．
综上，所求切线方程为$15x+8y－36=0$或$x=4$．
点拨设直线方程为斜截式时，要注意斜率是否存在，不确定需要分类讨论.

巩固练习

1.直线$7x－24y+m=0$与圆 $x^2+y2－2x+4y=0$相切，则正实数m的取值是(　　)
A． $25 \sqrt{5}-55$或$25 \sqrt{5}$$\qquad \qquad$ B．$25 \sqrt{5}+55$或$25 \sqrt{5}-55$ $\qquad \qquad$ C．$25 \sqrt{5}-55$ $\qquad \qquad$ D．$25 \sqrt{5}+55$

2.已知过点$P(2,2)$的直线$l$与圆 $(x-1)^2+y2=5$相切，则直线$l$的斜率为(　　)
A．$1$ $\qquad \qquad$ B． $\dfrac{1}{2}$$\qquad \qquad$ C．$2$ $\qquad \qquad$ D． $-\dfrac{1}{2}$

3.已知圆 $C：x^2+y^2－6x=0$，过点$P(6,4)$向这个圆作两条切线，则两切线的夹角的余弦值为(　　)
A． $\dfrac{7}{25}$ $\qquad \qquad$ B． $\dfrac{24}{25}$ $\qquad \qquad$ C． $-\dfrac{7}{25}$ $\qquad \qquad$ D． $-\dfrac{24}{25}$

4.(多选)已知点$P$在圆 $(x-5)^2+(y-5)^2=16$上，点$A(4,0)$,$B(0,2)$，则(　　)
A．点$P$到直线$AB$的距离小于$10$ $\qquad \qquad$ B．点$P$到直线$AB$的距离大于$2$
C．当$∠PBA$最小时， $|P B|=3 \sqrt{2}$ $\qquad \qquad$ D．当$∠PBA$最大时， $|P B|=3 \sqrt{2}$

参考答案

答案 $C$
解析圆 $x^2+y2－2x+4y=0$的圆心$(1,－2)$，半径为$\sqrt{5}$，
直线$7x－24y+m=0$与圆 $x^2+y2－2x+4y=0$相切．
可得： $\dfrac{|7+48+m|}{\sqrt{7^{2}+(-24)^{2}}}=\sqrt{5}$，解得正实数： $m=25 \sqrt{5}-55$．
故选：$C$
答案 $D$
解析设直线方程为：$y=k(x-2)+2$，由已知圆的圆心为$(1,0)$，半径为 $\sqrt{5}$，
因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离为 $\dfrac{|k(1-2)+2|}{\sqrt{1+k^{2}}}=\sqrt{5}$，解得$k= -\dfrac{1}{2}$，
故选：$D$．
答案 $A$
解析因为圆 $C：x^2+y^2－6x=0$，
所以 $（x-3）^2+y^2=9$，
所以圆心为$C(3,0)$，半径为$R=3$，
又点$P(6,4)$，
所以点$P$到圆心的距离为 $\sqrt{(6-3)^{2}+(4-0)^{2}}=5$，
所以切线与直线$PC$的夹角的正弦值为 $\dfrac{3}{5}$，
所以两切线的夹角的余弦值为 $1-2 \times\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}=\dfrac{7}{25}$，
故选：$A$．
答案 $ACD$
解析 $∵A(4,0)$,$B(0,2)$，
$∴$过$A、B$的直线方程为 $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1$，即$x+2y-4=0$，
圆 $(x-5)^2+(y-5)^2=16$的圆心坐标为$(5,5)$，
圆心到直线$x+2y-4=0$的距离 $d=\dfrac{|1 \times 5+2 \times 5-4|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\dfrac{11}{\sqrt{5}}=\dfrac{11 \sqrt{5}}{5}>4$，
$∴$点$P$到直线$AB$的距离的范围为 $\left[\dfrac{11 \sqrt{5}}{5}-4, \dfrac{11 \sqrt{5}}{5}+4\right]$，
$\because \dfrac{11 \sqrt{5}}{5}<5$， $\therefore \dfrac{11 \sqrt{5}}{5}-4<1$， $\dfrac{11 \sqrt{5}}{5}+4<10$，
$∴$点$P$到直线$AB$的距离小于$10$，但不一定大于$2$，故$A$正确，$B$错误；
如图，当过$B$的直线与圆相切时，满足$∠PBA$最小或最大($P$点位于$P_1$时$∠PBA$最小，位于$P_2$时$∠PBA$最大)，
此时 $|B C|=\sqrt{(5-0)^{2}+(5-2)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$，
$\therefore|P B|=\sqrt{|B C|^{2}-4^{2}}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$，故$CD$正确．
故选：$ACD$．

【题型3】直线与圆的弦长问题

【典题1】 已知一圆$C$的圆心为$(2,-1)$，且该圆被直线$l：x-y-1=0$截得的弦长为 $2\sqrt{2}$，求该圆的方程．
解析设圆$C$的方程是 $(x-2)^2+(y+.1)^2=r^2 (r>0)$，
则弦长 $l=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}$，其中$d$为圆心到直线$x-y-1=0$的距离$d=\sqrt{2}$．
$\therefore l=2 \sqrt{r^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=2 \sqrt{2}$．
$∴r^2=4$．
$∴$圆方程为 $(x-2)^2+(y+1)^2=4$．

【典题2】 设$O$为原点，直线$y=kx+2$与圆 $x^2+y2=4$相交于$A$,$B$两点，当$△ABO$面积最大值时，$k=$(　　)
A． $\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\qquad \qquad$ B．$±1$ $\qquad \qquad$ C．$±\sqrt{2}$ $\qquad \qquad$ D．$±2$
解析直线$l$方程$y=kx+2$，原点$O$到$l$的距离为 $d=\dfrac{2}{\sqrt{1+k^{2}}}$，
弦长 $|A B|=2 \sqrt{4-\dfrac{4}{1+k^{2}}}=\dfrac{4|k|}{\sqrt{1+k^{2}}}$，
$△ABO$面积 $S=\dfrac{1}{2}|A B||O C|=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{1+k^{2}}} \times \dfrac{4|k|}{\sqrt{1+k^{2}}}=\dfrac{4|k|}{1+k^{2}}$，
由对称性可知，
$k>0$时，三角形的面积 $S=\dfrac{4 k}{1+k^{2}}=\dfrac{4}{\dfrac{1}{k}+k} \leq \dfrac{4}{2 \sqrt{\dfrac{1}{k} \cdot k}}=2$，当且仅当$k=1$时取等号．
所以$k=±1$．
故选：$B$．

巩固练习

1.圆 $x^2+y2-4x+4y+4=0$截直线$x-y-5=0$所得的弦长等于$\underline{\quad \quad}$．

2.设直线$l：3x+4y+a=0$与圆 $C：(x-2)^2+(y-1)^2=25$交于$A$,B，且$|AB|=6$，则$a$的值是$\underline{\quad \quad}$．

3.直线$l：x-2y-3=0$与圆 $C:(x-2)^2+(y+3)^2=9$交于$E$，$F$两点，则$△EOF$($O$是坐标原点)的面积为$\underline{\quad \quad}$．

4.平行直线 $l_{1}: \sqrt{2} x-y-1=0$和$l_2： \sqrt{2}x-y+2=0$与圆 $E：x^2+y2-4y=0$分别相交于$A$、$B$和$C$、$D$四点，则四边形$ABDC$的对角线$AD$的长度为$\underline{\quad \quad}$ ．

参考答案

答案 $\sqrt{14}$
解析 $(x-2)^2+(y+2)^2=4$，
圆心到直线的距离为 $d=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad l=2 \sqrt{4-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{14}$.
故答案为 $\sqrt{14}$.
答案 $a=10$或$a=-30$
解析 $∵$圆 $C：(x-2)^2+(y-1)^2=25$的圆心为$(2,1)$，半径为$r=5$，
又直线$3x+4y+a=0$被圆 $(x-2)^2+(y-1)^2=25$所截弦长$|AB|=6$，
$∴$由垂径定理得圆心到直线的距离 $d=\sqrt{r^{2}-\left(\dfrac{A B}{2}\right)^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$，
$\therefore \dfrac{|6+4+a|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=4 \text {, }$，解得$a=10$或$a=-30$．
答案 $\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}$
解析圆 $(x-2)^2+(y+3)^2=9$的圆心为$(2,-3)$
$∴(2,-3)$到直线$x-2y-3=0$的距离 $d=\dfrac{|2 \times 1-2 \times(-3)-3|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\sqrt{5}$
弦长 $|E F|=2 \times \sqrt{9-5}=2 \times 2=4$
原点到直线的距离 $d=\dfrac{|0 \times 1-2 \times 0-3|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$，
$∴△EOF$的面积为 $S=\dfrac{1}{2} \times 4 \times \dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}$．
答案 $2 \sqrt{3}$
解析由圆 $E：x^2+y^2-4y=0$，得 $x^2+(y-2)^2=4$，
则圆心坐标为$E(0,2)$，半径$R=2$．
点$E$到直线 $l_{1}: \sqrt{2} x-y-1=0$的距离 $d_{1}=\dfrac{|\sqrt{2} \times 0-2-1|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，
$\therefore|A B|=2 \sqrt{4-3}=2$，
直线 $l_2： \sqrt{2}x-y+2=0$过圆$E$的圆心，则$|CD|=4$．
两平行直线$l_1$和$l_2$的距离 $d=d_{1}=\sqrt{3}$，
$\therefore|A D|=\sqrt{3^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2 \sqrt{3}$．

分层练习

【A组---基础题】

1.点$M(x_0,y_0)$在圆 $x^2+y2=R^{2$外，则直线$x_0 x+y_0 y=R}2$与圆的位置关系是(　　)
A．相切 $\qquad \qquad$ B．相交$\qquad \qquad$ C．相离 $\qquad \qquad$ D．不确定

2.已知集合 $A=\left\{(x, y) \mid y=\sqrt{4-x^{2}}\right\}$，集合$B={(x,y)|y=x+a}$，并且$A \cap B \neq \emptyset$，则$a$的范围是(　　)
A． $[-2,2 \sqrt{2}]$ $\qquad \qquad$ B．$[0,2\sqrt{2}]$ $\qquad \qquad$ C．$(-2,2\sqrt{2}]$ $\qquad \qquad$ D．$(0,2\sqrt{2}]$

3.直线$l$经过点$P(1,0)$，且圆 $x^2+y2-4x-2y+1=0$上到直线$l$距离为$1$的点恰好有$3$个，满足条件的直线$l$有(　　)
A．$0$条 $\qquad \qquad$ B．$1$条$\qquad \qquad$ C．$2$条 $\qquad \qquad$ D．$3$条

4.过点$A(-4,-1)$作圆 $C：(x-2)^2+(y-1)^2=4$的一条切线$AB$，切点为$B$，则三角形$ABC$的面积为(　　)
A． $2 \sqrt{10}$ $\qquad \qquad$ B．$6\sqrt{10}$ $\qquad \qquad$ C．$12$ $\qquad \qquad$ D．$6$

5.已知直线 $l: \quad x+\sqrt{3} y-2=0$与圆心$C(1,\sqrt{3})$，半径为$5$的圆相交于点$M$,$N$，若点$P$为圆$C$上一个动点，则$△PMN$的面积的最大值为(　　)
A．$3\sqrt{3}$ $\qquad \qquad$ B．$3\sqrt{6}$ $\qquad \qquad$ C．$4\sqrt{3}$ $\qquad \qquad$ D．$12\sqrt{6}$

6.已知直线$l：y=m(x-2)+2$与圆 $C：x^2+y2=9$交于$A$、$B$两点，则弦长$|AB|$的最小值为(　　)
A．$1$ $\qquad \qquad$ B．$2$ $\qquad \qquad$ C．$2 \sqrt{2}$$\qquad \qquad$ D．$6$

7.与直线$y=x+2$平行且与圆 $(x-2)^2+(y-3)^2=8$相切的直线的方程是 $\underline{\quad \quad}$．

8.若直线$x-y+1=0$与圆 $(x-a)^2+y2=2$有公共点，则实数$a$的取值范围是$\underline{\quad \quad}$ .

9.台风中心从$A$地以每小时$20$千米的速度向东北方向移动，离台风中心$30$千米内的地区为危险区，城市$B$在$A$的正东$40$千米处，$B$城市处于危险区内的时间为$\underline{\quad \quad}$ .

10.已知圆 $C：(x-1)^2+(y-2)^2=25$，直线$L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)$
(1)证明：无论$m$取什么实数，$L$与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆$C$截得的弦长最小时直线$L$的斜截式方程．

11.如图，圆$M$圆心在$x$轴上，与$x$轴的一个交点为$A(－2,0)$，与$y$轴的一个交点为 $B(0,-2 \sqrt{2})$，点$P$是$OA$的中点．若过$P$点的直线$l$截圆$M$所得的弦长为$2\sqrt{6}$，求直线$l$的方程．

参考答案

答案 $B$
解析 $∵$点$M(x_0,y_0)$在圆 $x^2+y2=R^{2$外， $∴x_0^2+y_0^2=R^2$，

$∴$圆心$(0,0)$到直线$x_0 x+y_0 y=R}2$的距离： $d=\dfrac{\left|R^{2}\right|}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}<R$，
$∴$直线$x_0 x+y_0 y=R^2$与圆相交．
故选：$B$．
答案 $A$
解析集合$A$中$A$的函数表示圆心为原点，半径为$2$的上半圆，
集合$B$中的函数表示斜率为$1$的直线系，
当直线与圆相切时，圆心$(0,0)$到直线$y=x+a$的距离 $d=\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}=2$，
即$a=2\sqrt{2}$(负值舍去)；
当直线过$(2,0)$时，$0=2+a$，即$a=－2$，
则$A∩B≠∅$，即两函数图象有交点时$a$的范围是$[－2，2\sqrt{2}]$．
故选：$A$．
答案 $C$
解析圆 $x^2+y2-4x-2y+1=0$即 $(x-2)^2+(y-1)^2=4$，圆的圆心 (2,1)，半径为2，
直线$l$经过点$P(1,0)$，直线的斜率不存在时，直线方程$x=1$，
圆 $x^2+y2-4x-2y+1=0$上到直线$l$距离为$1$的点恰好有$3$个，
直线的斜率存在时，设直线方程为$y=k(x-1)$，
圆 $x^2+y2-4x-2y+1=0$上到直线$l$距离为$1$的点恰好有$3$个，
可得 $\dfrac{|k-1|}{\sqrt{1+k^{2}}}=2-1$，解得$k=0$，
直线的斜率不存在时，$x-1=0$，满足题意，
故选：$C$．
答案 $D$
解析根据题意，圆 $C：(x-2)^2+(y-1)^2=4$，
则$C$的坐标为$(2,1)$，其半径$r=2$,
则 $|A C|=\sqrt{(-4-2)^{2}+(-1-1)^{2}}=2 \sqrt{10}$，
$|A B|=\sqrt{|A C|^{2}-r^{2}}=\sqrt{40-4}=6$，
因此 $S_{\triangle A B C}=\dfrac{1}{2}|A B| \cdot|C B|=\dfrac{1}{2} \times 6 \times 2=6$．
故选：$D$．
答案 $D$
解析如图，
圆心$C(1,\sqrt{3} )$到直线$l：x+\sqrt{3} y－2=0$的距离 $d=\dfrac{|1+3-2|}{\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}=1$，
则 $|M N|=2 \sqrt{5^{2}-1^{2}}=4 \sqrt{6}$，
圆$C$上的点$P$到$MN$的最大值为$6$，
则$△PMN$的面积的最大值为 $\dfrac{1}{2} \times 4 \sqrt{6} \times 6=12 \sqrt{6}$．
故选：$D$．
答案 $B$
解析直线$l：y=m(x-2)+2$过定点$P(2,2)$，
$\because|C P|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2}<3$，$∴$定点$P$在圆$C$内部，
则当直线$l$与$CP$垂直时，|AB|最小，此时 $|A B|=2 \sqrt{r^{2}-|C P|^{2}}=2 \sqrt{9-8}=2$．
故选：$B$．
答案 $x-y-3=0$或$x-y+5=0$
解析设所求的切线方程为$y=x+b$，即$x-y+b=0$．
$∵$圆心坐标为$(2,3)$，半径为$2\sqrt{2}$，
$\therefore \dfrac{|2-3+b|}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2} \text {, }$，即$|b-1|=4$，$b=5$或$-3$．
$∴$所求的切线方程为$x-y-3=0$或$x-y+5=0$．
答案 $[-3,1]$
解析圆 $(x-a)^2+y2=2$的圆心$(a，0)$，半径为 $\sqrt{2}$，
直线$x-y+1=0$与圆 $(x-a)^2+y2=2$有公共点，
则 $\dfrac{|a+1|}{\sqrt{2}} \leq \sqrt{2}$，所以$|a+1|≤2$，
解得实数$a$取值范围是$[-3,1]$．
故答案为：$[-3，1]$.
答案 $1$小时
解析如图，以$A$为坐标原点，建立平面直角坐标系，则$B(40，0)$，

台风中心移动的轨迹为射线$y=x(x≥0)$，
而点$B$到射线$y=x$的距离 $d=\dfrac{40}{\sqrt{2}}=20 \sqrt{2}<30$，
故 $l=2 \sqrt{30^{2}-(20 \sqrt{2})^{2}}=20$，
故$B$城市处于危险区内的时间为$1$小时.
答案 (1) 略 (2) $y=2x－5$
解析 (1)将直线$l$方程整理得：$(x+y-4)+m(2x+y-7)=0$，
由 $\left{\begin
x+y-4=0 \
2 x+y-7=0
\end\right.$，解得 $\left{\begin
x=3 \
y=1
\end\right.$，
$∴$直线l恒过$A(3,1)$，
$∵(3-1)^2+(1-2)^2=5<25$，
$∴$点$A$在圆$C$内部，
则直线$l$与圆恒有两个交点；
(2)由圆的方程得到圆心$M(1,2)$，当截得的弦长最小时，直线$l⊥AM$，
$\because k_{A M}=-\dfrac{1}{2}$，$∴$直线$l$斜率为$2$，
则直线$l$的方程为$y-1=2(x-3)$，即$y=2x－5$．
答案 $y=\sqrt{3} x+\sqrt{3}$或$y=-\sqrt{3} x-\sqrt{3}$
解析 $∵AC$为圆$M$的直径，$∴∠ABC=90°$，
$∵BO⊥AC$，$∴△AOB∽△BOC$，
$∴OB^2=OA•OC$，即 $O C=\dfrac{O B^{2}}{O A}=\dfrac{8}{2}=4$，
$∴C(4,0)$，半径$r=3$，
$∵A(－2,0)$，$P$为$OA$的中点，
$∴$圆心$M(1,0)$，$P(－1,0)$，
设直线$l$斜率为$k$，即直线$l$解析式为$y=k(x+1)=kx+k$，
$∴$圆心$M$到直线$l$的距离 $d=\dfrac{|2 k|}{\sqrt{k^{2}+1}}$，
$∵$过$P$点的直线$l$截圆$M$所得的弦长为 $2\sqrt{6}$，
$\therefore 2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{6}$，即 $r^2－d^2=6$，
代入得： $9-\dfrac{4 k^{2}}{k^{2}+1}=6$，解得： $k=\pm \sqrt{3}$，
则直线$l$方程为$y=\sqrt{3} x+\sqrt{3}$或$y=-\sqrt{3} x-\sqrt{3}$．

【B组---提高题】

1.直线$y=k(x－2)+4$与曲线 $y=\sqrt{4-x^{2}}$有两个交点，则实数$k$的取值范围为$\underline{\quad \quad}$．

2.已知 $⊙M：x^2+y^2+2x+2y-2=0$，直线$l：2x+y-2=0$，$P$为$l$上的动点，过点$P$作$⊙M$的切线$PA$，$PB$，切点为$A$,$B$，则四边形$PAMB$面积的最小值为$\underline{\quad \quad}$．

3.已知圆 $C：x^2+y2-4x-2y+1=0$及直线$l：y=kx-k+2(k∈R)$，设直线$l$与圆$C$相交所得的最长弦长为$MN$，最短弦为$PQ$，则四边形$PMQN$的面积为$\underline{\quad \quad}$．

4.已知直线$l：y=x$，圆 $C：x^2+y^2-4x+3=0$，在$l$上任意取一点$A$，向圆$C$作切线，切点分别为$M$,$N$，则原点$O$到直线$MN$的距离的最大值为$\underline{\quad \quad}$．

参考答案

答案 $\left(\dfrac{3}{4}, 1\right]$
解析直线$y=k(x－2)+4$，
当$x=2$时，$y=4$，可得此直线恒过$A(2,4)$，
曲线 $y=\sqrt{4-x^{2}}$为圆心在坐标原点，半径为$2$的半圆，
根据题意作出相应的图形，如图所示：

当直线$y=k(x－2)+4$与半圆相切(切点在第二象限)时，圆心到直线的距离$d=r$，
$\therefore \dfrac{|4-2 k|}{\sqrt{1+k^{2}}}=2 \text {, }$，即 $4k^2－16k+16=4+4k^2$，解得： $k=\dfrac{3}{4}$，
当直线$y=k(x－2)+4$过点$C$时，
将$x=－2$，$y=0$代入直线方程得：$－4k+4=0$，解得：$k=1$，
则直线与曲线有$2$个交点时$k$的范围为 $\left(\dfrac{3}{4}, 1\right]$．
答案 $2$
解析由 $⊙M：x^2+y^2+2x+2y-2=0$，得 $(x+1)^2+(y+1)^2=4$，
所以圆心$M(-1,-1)$，半径$r=2$，
四边形$PAMB$面积 $S=2 S_{\triangle P A M}=2 \times \dfrac{1}{2} \times P A \times A M=2 P A$，
又 $P A=\sqrt{P M^{2}-A M^{2}}=\sqrt{P M^{2}-4}$，
所以当$PM$最短时，四边形$PAMB$面积最小，
此时 $|P M|=\dfrac{|2 \times(-1)+(-1)-2|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\sqrt{5}$，
所以 $S_{\min }=2 \sqrt{(\sqrt{5})^{2}-4}=2$．
答案 $4 \sqrt{2}$
解析将圆$C$方程整理为 $(x-2)^2+(y-1)^2=4$，得圆心$C(2,1)$，半径$r=2$；
将直线$l$方程整理为$y=k(x-1)+2$，得直线$l$恒过定点$(1,2)$，且$(1,2)$在圆$C$内；
最长弦$MN$为过$(1,2)$的圆的直径，则$|MN|=4$；
最短弦$PQ$为过$(1,2)$，且与最长弦$MN$垂直的弦，
$\because k_{M N}=\dfrac{2-1}{1-2}=-1$， $\therefore k_{P Q}=1$，
则直线$PQ$方程为$y－2=x－1$，即$x-y+1=0$，
$∴$圆心$C$到直线$PQ$的距离为 $d=\dfrac{|2-1+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
$\therefore|P Q|=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{4-2}=2 \sqrt{2}$，
$∴$四边形$PMQN$的面积 $S=\dfrac{1}{2}|M N| \cdot|P Q|=\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{2}=4 \sqrt{2}$.
答案 $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
解析由题可得圆$C$的圆心坐标为$(2,0)$，半径为$1$．
$∵A$在直线$l$上，设$A(a,a)$，
又$M$、$N$为过$A$点的圆的切线的切点，
故有 $AM^2=AN^2=AC^2－1$，
$∴$以$A$为圆心，$AM$为半径的圆的方程为 $(x-a)^2+(y-a)^2=(a-2)^2+a^2-1$，
化简得 $x^2+y^2-2ax-2ay-3+4a=0$，
$∴MN$所在直线方程为$(2-a)x-ay+2a-3=0$，
$∴O$到$MN$的距离 $d=\dfrac{|2 a-3|}{\sqrt{(2-a)^{2}+a^{2}}}$，
$\therefore d^{2}=2+\dfrac{1-4 a}{2 a^{2}-4 a+4}$，令$1-4a=t$，
$d^{2}=2+\dfrac{8 t}{t^{2}+6 t+25}=2+\dfrac{8}{t+\dfrac{25}{t}+6}$，
由不等式 $t+\dfrac{25}{t} \geq 2 \sqrt{25}=10$，当且仅当$t=5$时取等．
$\therefore d \leq \dfrac{\sqrt{10}}{2}$.

【C组---拓展题】

1.对圆 $x^2+y2=1$上任意一点$P(x,y)$，若$|3x-4y+a|-|3x-4y-9|$的值都与$x,y$无关，则实数$a$的取值范围是(　　)
A．$a≤-5$ $\qquad \qquad$ B．$-5≤a≤5$ $\qquad \qquad$ C．$a≤-5$或$a≥5$ $\qquad \qquad$ D．$a≥5$

2.已知圆 $C：x^2+y^2=4$，直线$l：x－y+6=0$，在直线$l$上任取一点$P$向圆$C$作切线，切点为$A$,$B$，连接$AB$，则直线$AB$一定过定点(　　)
A． $\left(-\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}\right)$ $\qquad \qquad$ B．$(1,2)$ $\qquad \qquad$ C．$(－2,3)$ $\qquad \qquad$ D． $\left(-\dfrac{4}{3}, \dfrac{4}{3}\right)$

3.已知点$P$在直线$x+y=4$上，过点$P$作圆 $O：x^2+y2=4$的两条切线，切点分别为$A$,$B$，则点$M(3,2)$到直线$AB$距离的最大值为$\underline{\quad \quad}$．

参考答案

答案 $A$
解析设直线$l_1：3x-4y+a=0$，$l_2：3x-4y-9=0$，
则点$P$到直线$l_1$的距离 $d_{1}=\dfrac{|3 x-4 y+a|}{5}$，
点$P$到$l_2$的距离 $d_{2}=\dfrac{|3 x-4 y-9|}{5}$，
因为$|3x-4y+a|-|3x-4y-9|$的值都与$x,y$无关，
所以$d_1-d_2$为常数，
所以两条直线在圆的同一侧，且与圆不相交，
因为直线$l_2$在圆的下方，所以直线$l_1$也在圆的下方，
则有圆心$(0,0)$到直线$l_1$的距离 $d=\dfrac{|a|}{5} \geq 1$，解得$a≥5$或$a≤－5$，
因为直线$l_1$也在圆的下方，所以$a≤－5$．
故选：$A$．
答案 $A$
解析设$P(x_0,y_0)$，则$x_0－y_0+6=0$，
以$CP$为直径的圆的方程为$x(x－x_0)+y(y－y_0)=0$，
又圆 $C：x^2+y^2=4$，作差可得直线$AB$的方程为$xx_0+yy_0=4$，
又$y_0=x_0+6$，代入可得$(x+y) x_0+6y－4=0$，
满足$\left{\begin
x+y=0 \
6 y-4=0
\end\right.$，解得 $\left{\begin
x=-\dfrac{2}{3} \
y=\dfrac{2}{3}
\end\right.$．
$∴$直线$AB$一定过定点 $\left(-\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}\right)$，
故选：$A$．
答案 $\sqrt{5}$
解析根据题意，点$P$在直线$x+y=4$上，设$P(a,b)$，则$a+b=4$，
过点$P$作圆 $O：x^2+y2=4$的两条切线，切点分别为$A$，$B$，
则$PA⊥OA$，$PB⊥OB$，
则点$A$、$B$在以$OP$为直径的圆上，
又由$P(a,b)$，则以$OP$为直径的圆的方程是 $\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}\right)$，
圆$O$的方程为 $O：x^2+y^2=4$，
联立两个圆的方程可得：直线$AB$的方程为$ax+by=4$，即$ax+by－4=0$，
因为$a+b=4$，所以$b=4－a$，代入直线$AB$的方程，得$ax+(4-a)y-4=0$，
即$a(x-y)+4y-4=0$，
当$x=y$且$4y－4=0$，即$x=1$，$y=1$时该方程恒成立，
所以直线$AB$过定点$N(1,1)$，
点$M$到直线$AB$距离的最大值即为点$M,N$之间的距离， $|M N|=\sqrt{5}$，
即点$M(3,2)$到直线$AB$距离的最大值为 $\sqrt{5}$．

posted @ 2022-09-05 11:22 贵哥讲数学阅读(2114) 评论(0) 收藏举报

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2.5.1 直线与圆的位置关系

基础知识

直线、圆的位置关系

直线与圆的弦长

基本方法

【题型1】直线与圆的位置关系

巩固练习

【题型2】直线与圆的相切问题

巩固练习

【题型3】直线与圆的弦长问题

巩固练习

分层练习

【A组---基础题】

【B组---提高题】

【C组---拓展题】

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