2.4.2 圆的一般方程
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【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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基础知识
圆的一般方程
\(x^2+y^2+D x+E y+F=0 (D^2+E^2-4 F>0)\)
解释
(1) 直线方程有一般式方程，圆也有一般方程！它主要是把轨迹转化为关于\(x\),\(y\)的二元方程\(f(x,y)\)，统一起来，到下章学的圆锥曲线一样，这也更好了解圆系方程的相关内容；
(2) 圆的标准方程 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)可变形为 \(x^2+y^2+D x+E y+F=0\)，
比如 圆 \((x-1)^2+(y-2)^2=1\)变形为 \(x^2+y^2-2x-4y+4=0\)；
但形如 \(x^2+y^2+D x+E y+F=0\)的方程不一定能表示为圆，
比如 \(x^2+y^2-2x+2y+3=0\)，对其配方得 \((x-1)^2+(y+1)^2=-1\)，其中\(r^2=-1<0\).
(3) \(D,E,F\)要满足什么条件方程才能表示圆呢？
证明 \(x^2+y^2+D x+E y+F=0\)，
对其左边进行配方得 \(\left(x+\dfrac{D}{2}\right)^{2}+\left(y+\dfrac{E}{2}\right)^{2}=\dfrac{D^{2}+E^{2}-4 F}{4}\)，
当 \(D^2+E^2-4 F>0\)时，它可以表示以 \(\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)\)为圆心， \(\dfrac{1}{2} \sqrt{D^{2}+E^{2}-4 F}\)为半径的圆；
当 \(D^2+E^2-4 F=0\)时，方程只有一组实数解 \(\left\{\begin{array}{l}
x=-\dfrac{D}{2} \\
y=-\dfrac{E}{2}
\end{array}\right.\)，它表示一个点 \(\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)\)；
当 \(D^2+E^2-4 F<0\)时，方程没有实数解，它不表示任何图形.
【例】方程 \(x^2+y^2-2x+6y+3=0\)能表示圆么？若能，说出圆心与半径；若不能请说明理由.
解析 \(x^2+y^2-2x+6y+3=0\)进行配方得 \((x-1)^2+(y+3)^2=13\)，其表示以\((1,-3)\)为圆心， \(\sqrt{13}\)为半径的圆.
求圆方程的方法
1 待定系数法
先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用一般方程，需要求出\(D ,E ,F\).
2 直接法
直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.
求轨迹方程
1 曲线方程的理解
若动点\(P(x,y)\)的横坐标\(x\)，纵坐标\(y\)满足方程\(f(x,y)=0\)，则在直角坐标系中，动点\(P\)的轨迹为由方程\(f(x,y)=0\)确定的曲线.
2 求轨迹方程的方法
(1) 代数法，建立动点的横、纵坐标\(x,y\)的方程；
(2) 几何法，通过题中已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程.
3 代数法求轨迹方程的一般步骤
(1) 设动点的坐标\((x,y)\)，
(2) 根据已知条件得到与动点相关的等量关系，进而得到关于\(x,y\)的方程；
(3) 化简方程得到动点的轨迹方程．
【例】到两个点\(A(-1,2)\)，\(B(3,-4)\)的距离相等的点的轨迹方程是\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 方法1 代数法
设动点\(P(x,y)\)，又因为\(PA=PB\)，
由两点距离公式可得 \(\sqrt{(x+1)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}}\)，
化简得\(2x-3y-5=0\)，即所求轨迹方程为\(2x-3y-5=0\).
方法二 几何法
所求动点的轨迹即线段\(AB\)的垂直平分线，
而 \(k_{A B}=-\dfrac{3}{2}\)，\(A,B\)中点为\((1,-1)\)，
则所求轨迹方程为\(y+1=\dfrac{2}{3}(x-1)\)，即\(2x-3y-5=0\).
基本方法
【题型1】对圆的一般方程的理解
【典题1】 判断方程 \(x^2+y^2-4mx+2my+20m-20=0\)能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．
解析 方法一 由方程 \(x^2+y^2-4mx+2my+20m-20=0\),
可知\(D=－4m\)，\(E=2m\)，\(F=20m－20\)，
\(∴D^2+E^2-4F=16m^2+4m^2-80m+80=20(m-2)^2\)．
因此，当\(m=2\)时，它表示一个点；
当\(m≠2\)时，原方程表示圆，
此时，圆的圆心为\(( 2m,-m)\)， 半径为 \(r=\dfrac{1}{2} \sqrt{D^{2}+E^{2}-4 F}=\sqrt{5}|m-2|\)．
方法二 原方程可化为 \((x-2m)^2+(y+m)^2=5(m-2)^2\)，
因此，当\(m=2\)时，它表示一个点；
当\(m≠2\)时，原方程表示圆，
此时，圆的圆心为\((2m,-m)\)，半径为\(r=\sqrt{5}|m-2|\)．
点拨 对于圆的一般方程，一般通过配方法化为标准方程会更好地判断其方程是否是圆，若是也更容易得到其圆心与半径，故提倡用方法2.
【典题2】(多选)已知圆\(M\)的一般方程为 \(x^2+y^2-8x+6y=0\)，则下列说法正确的是( )
A．圆\(M\)的圆心为\((4,-3)\) \(\qquad \qquad\) B．圆\(M\)被\(x\)轴截得的弦长为\(8\)
C．圆\(M\)的半径为\(5\) \(\qquad \qquad\qquad\) D．圆\(M\)被\(y\)轴截得的弦长为\(6\)
解析 圆\(M\)的一般方程为 \(x^2+y^2－8x+6y=0\)，即 \((x-4)^2+(y+3)^2=25\)，
故该圆的半径为\(5\)，圆心为\((4,－3)\)，
令\(x=0\)，得\(y^2+6y=0\)，解得\(y_1=0\)，\(y_2=-6\)，即圆与\(y\)轴的交点纵坐标为\(0,-6\)，
所以圆\(M\)被\(y\)轴截得的弦长为\(0-(-6)=6\)，
令\(y=0\)，得\(x^2-8x=0\)，解得\(x_1=0\)，\(x_2=8\)，即圆与\(x\)轴的交点纵坐标为\(0,8\),
所以圆\(M\)被\(x\)轴截得的弦长为\(8-0=8\)，
故选项\(ABCD\)都正确，
故选：\(ABCD\)．
巩固练习
1.下列方程能表示圆的是( )．
A．\(x^2+y^2+2x+1=0\)； \(\qquad \qquad\) B．\(x^2+y^2+2ay-1=0\)；
C．\(x^2+y^2+20x+80=0\)；\(\qquad \qquad\) D．\(x^2+y^2+2ax=0\)．
2.已知圆的一般方程为 \(x^2+y^2-2x+4y+3=0\)，则圆心\(C\)的坐标与半径分别是( )
A．\((1,-2),r=2\) \(\qquad \qquad\) B． \((1,-2), r=\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad\) C．\((-1,2),r=2\) \(\qquad \qquad\) D．\((-1,2)，r=\sqrt{2}\)
3.将圆 \(x^2+y^2-2x-4y+1=0\)平分的直线是( )
A．\(x+y－1=0\) \(\qquad \qquad\) B．\(x+y+3=0\) \(\qquad \qquad\) C．\(x-y+1=0\) \(\qquad \qquad\) D．\(x－y+3 =0\)
4.如果圆的方程为 \(x^2+y^2+kx+2y+k^2=0\)，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为\(\underline{\quad \quad}\) .
5.若圆 \(x^2+y^2-4x-2y+c=0\)与\(y\)轴相交于\(A\)、\(B\)两点，圆心为\(P\)，若\(∠APB=90°\)，则\(c\)的值为\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
- 答案 \(D\)
- 答案 \(B\)
解析 由 \(x^2+y^2-2x+4y+3=0\)，配方得\((x-1)^2+(y+2)^2=2\)．
\(∴\)圆的圆心坐标为\(C(1,-2)\)，半径为\(\sqrt{2}\)，故选：\(B\)． - 答案 \(C\)
解析 \(x^2+y^2-2x-4y+1=0\)化为标准方程为 \((x-1)^2+(y-2)^2=4\)，其圆心为\((1,2)\)，
依题意可知直线必过圆心，故选\(C\). - 答案 \((0,-1)\)
解析 化为标准方程为 \(\left(x+\dfrac{k}{2}\right)^{2}+(y+1)^{2}=1-\dfrac{3 k^{2}}{4}\)，圆的面积要最大，
即 \(1-\dfrac{3 k^{2}}{4}\)取到最大值，即\(k=0\)时取到，则圆心为\((0,-1)\). - 答案 \(-3\)
解析 圆 \(x^2+y^2-4x-2y+c=0\) 即 \((x-2)^2+(y-1)^2=5-c\)，
显然它的圆心为\(P(2,1)\)，半径为 \(\sqrt{5-c}\)．
再根据\(∠APB=90°\)，可得圆心到\(y\)轴的距离为\(2\)，正好等于弦长的一半，
故半径为 \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2}\)，
即 \(\sqrt{5-c}=2 \sqrt{2}\)，求得\(c=-3\).
【题型2】求圆的方程
【典题1】 已知\(A(-1 ,0)\)，\(B(3 ,2)\)，\(C(0 ,-2)\)，则过这三点的圆方程为\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 方法一 待定系数法
设圆的一般方程为 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)，
又由圆过\(A(-1 ,0)\)，\(B(3 ,2)\)，\(C(0 ,-2)\)三点，
则有 \(\left\{\begin{array}{l}
1-D+F=0 \\
13+3 D+2 E+F=0 \\
4-2 E+F=0
\end{array}\right.\)，解得\(D=-3\)，\(E=0\)，\(F=-4\)，
则圆的标准方程为 \(x^2+y^2-3x-4=0\)，即 \(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+y^{2}=\dfrac{25}{4}\).
方法二 几何法
圆心是直线\(AB\)、\(AC\)的垂直平分线的交点，(根据外心的定义)
易得直线\(AB\)、\(AC\)的垂直平分线分别为\(y=-2x+3\)， \(y=\dfrac{1}{2} x-\dfrac{3}{4}\)，
由 \(\left\{\begin{array}{c}
y=-2 x+3 \\
y=\dfrac{1}{2} x-\dfrac{3}{4}
\end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l}
x=\dfrac{3}{2} \\
y=0
\end{array}\right.\)，即圆心 \(O\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)\)，
半径 \(r=O C=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}-0\right)^{2}+(0+2)^{2}}=\dfrac{5}{2}\)，(半径为圆心到任一点的距离)
故圆的标准方程为 \(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+y^{2}=\dfrac{25}{4}\).
点拨 求三角形外接圆的方程，可用待定系数法，也可以用三边的中垂线求解.
待定系数法的想法简单但计算量较大.
巩固练习
1.已知\(A(1,0)\)，\(B(-1,2)\)，\(C(0,-2)\)，求过这三点的圆方程.
参考答案
- 答案 \(x^{2}+y^{2}+\dfrac{7}{3} x+\dfrac{1}{3} y-\dfrac{10}{3}=0\)
解析 设圆的标准方程为\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)，
又由圆过\(A(1,0)\)，\(B(-1,2)\)，\(C(0,-2)\)三点，
则有\(\left\{\begin{array}{l} 1+D+F=0 \\ 5-D+2 E+F=0 \\ 4-2 E+F=0 \end{array}\right.\)，解可得： \(D=\dfrac{7}{3}, E=\dfrac{1}{3}, F=-\dfrac{10}{3}\)
则圆的标准方程为： \(x^{2}+y^{2}+\dfrac{7}{3} x+\dfrac{1}{3} y-\dfrac{10}{3}=0\).
【题型3】求轨迹方程
【典题1】 已知动点\(M\)到点\(A(2,0)\)的距离是它到点\(B(8,0)\)的距离的一半．
(1)求动点\(M\)的轨迹方程；
(2)若\(N\)为线段\(AM\)的中点，试求点\(N\)的轨迹．
解析 (1)设动点\(M\)的坐标为\((x,y)\)，
\(∵A(2,0)\)，\(B(8,0)\)， \(|M A|=\dfrac{1}{2}|M B|\)，
\(\therefore(x-2)^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{4}\left[(x-8)^{2}+y^{2}\right]\)．化简得 \(x^2+y^2=16\)，
即动点\(M\)的轨迹方程为 \(x^2+y^2=16\)．
(2)设点\(N\)的坐标为\((x,y)\)，
\(∵A(2,0)\)，\(N\)为线段\(AM\)的中点，
\(∴\)点\(M\)的坐标为\((2x－2,2y)\)．
又点M在圆 \(x^2+y^2=16\)上，
\(∴(2x-2)^2+4y^2=16\)，即 \((x-1)^2+y^2=4\)．
\(∴\)点\(N\)的轨迹是以\((1,0)\)为圆心，\(2\)为半径的圆．
点拨
1 求轨迹方程的方法
① 代数法，建立动点的横、纵坐标x,y的方程；
② 几何法，通过题中已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程.
2 代数法求轨迹方程的一般步骤
① 设动点的坐标\((x,y)\)，
② 根据已知条件得到与动点相关的等量关系，进而得到关于\(x,y\)的方程；
③ 化简方程得到动点的轨迹方程．
巩固练习
1.若\(A(1,2)\)，\(B(2,3)\)，求线段\(AB\)的垂直平分线的方程.
2.已知线段\(AB\)的长为\(4\)，且端点\(A\)，\(B\)分别在\(x\)轴与\(y\)轴上，求线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹方程．
3.自\(A(4,0)\)引圆 \(x^2+y^2=4\)的割线\(ABC\)，求弦\(BC\)中点\(P\)的轨迹方程．
参考答案
- 答案 \(x+y-4=0\)
解析 设\(P(x,y)\)所求直线上的任意一点，
则由\(PA=PB\)得 \(\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}\)，
化简得\(x+y-4=0\)，即所求直线方程为\(x+y-4=0\). - 答案 \(x^2+y^2=4\)
解析 由几何知识可知，线段\(AB\)的中点\(M\)到原点的距离 \(O M=\dfrac{1}{2} A B=2\)，
则点\(M\)的轨迹是以原点为圆心，半径为\(2\)的圆，其方程为 \(x^2+y^2=4\). - 答案 \(x^2+y^2-4x=0\) (在已知圆内的部分)
解析 设\(P(x,y)\)，\(O\)为原点，连接\(OP\)，
当\(x≠0\)时，\(OP⊥AP\)，即 \(k_{O P} \cdot k_{A P}=-1\)，
\(\therefore \dfrac{y}{x \cdot \dfrac{y}{x-4}}=-1\)，即 \(x^2+y^2-4x=0\)．①
当\(x=0\)时，\(P\)点坐标\((0,0)\)是方程①的解，
\(∴BC\)中点\(P\)的轨迹方程为 \(x^2+y^2-4x=0\) (在已知圆内的部分)．
分层练习
【A组---基础题】
1.若圆 \(C：x^2+y^2-2x+4y=0\)上存在两点\(A\),\(B\)关于直线\(l：y=kx-1\)对称，则\(k\)的值为( )
A．\(-1\) \(\qquad \qquad\) B． \(-\dfrac{3}{2}\) \(\qquad \qquad\) C． \(-\dfrac{5}{2}\) \(\qquad \qquad\) D．\(-3\)
2.点\(M(0,1)\)与圆 \(x^2+y^2-2x=0\)上的动点\(P\)之间的最近距离为( )
A． \(\sqrt{2}\)\(\qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad\) C．\(\sqrt{2}+1\)\(\qquad \qquad\) D．\(\sqrt{2}-1\)
3.已知圆 \(x^2+y^2+ax+by+1=0\)关于直线\(x+y=1\)对称的圆的方程为 \(x^2+y^2=1\)，则\(a+b＝\)( )
A．\(-2\) \(\qquad \qquad\) B．\(±2\)\(\qquad \qquad\) C．\(-4\) \(\qquad \qquad\) D．\(±4\)
4.已知点\(P\)是直线\(3x+4y+5=0\)上的动点，点\(Q\)为圆 \((x-2)^2+(y-2)^2=4\)上的动点，则\(|PQ|\)的最小值为( )
A． \(\dfrac{19}{5}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{9}{5}\) \(\qquad \qquad\) C． \(\dfrac{5}{9}\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{29}{5}\)
5.圆 \(x^2+y^2-2x+6y+8=0\)的周长为\(\underline{\quad \quad}\) .
6.圆 \(x^2+y^2-2kx-4=0\)关于直线\(2x-y+3=0\)对称，则\(k\)等于\(\underline{\quad \quad}\) .
7.在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知圆 \(C：(x-a)^2+(y-a+2)^2=1\)，点\(A(0,-3)\)，若圆\(C\)上存在点\(M\)，满足\(|AM|=2|MO|\)，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
8.到两个点\(A(-1,2)\)，\(B(3,-4)\)的距离相等的点的轨迹方程是\(\underline{\quad \quad}\)．
9.若方程 \(x^2+y^2+2mx-2y+m^2+5m=0\)表示圆，求实数\(m\)的取值范围及圆心坐标和半径．
10.\(△ABC\)的三个顶点分别为\(A(-1,5)\)，\(B(-2,-2)\)，\(C(5,5)\)，求其外接圆的方程．
11.如图，已知圆 \(O：x^2+y^2=16\)，\(A\),\(B\)是圆\(O\)上两个动点，点\(P(2,0)\)，求矩形\(PACB\)的顶点\(C\)的轨迹方程．
参考答案
-
答案
解析 圆 \(C：x^2+y^2-2x+4y=0\)的圆心\((1,-2)\)，
若圆 \(C：x^2+y^2-2x+4y=0\)上存在两点\(A\),\(B\)关于直线\(l：y=kx-1\)对称，
可知直线经过圆的圆心，可得\(-2=k-1\)，解得\(k=-1\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(D\)
解析 圆 \(x^2+y^2-2x=0\)可化为 \(（x-1）^2+y^2=1\)，
圆心为\(C(1,0)\)，半径为\(r=1\)；
所以 \(|M C|=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{2}\)，
所以点\(M\)与圆上的动点\(P\)之间的最近距离为\(|MC|-r=\sqrt{2}-1\)．
故选：\(D\)． -
答案 \(C\)
解析 圆 \(x^2+y^2=1\)的圆心是原点\((0,0)\)，半径为\(1\)，
设\((0,0)\)关于直线\(x+y=1\)的对称点为\((m,n)\)，
则 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{m}{2}+\dfrac{n}{2}=1 \\ \dfrac{m}{n}=1 \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} m=1 \\ n=1 \end{array}\right.\)，
则点\((0,0)\)关于直线\(x+y=1\)对称的点的坐标为\((1,1)\)，
所以圆 \(x^2+y^2=1\)关于直线\(x+y=1\)对称的圆的方程为 \((x-1)^2+(y-1)^2=1\)，
化为一般式为 \(x^2+y^2－2x－2y+1=0\)，
所以\(a=b=-2\)，即\(a+b=-4\)．
故选：\(C\)． -
答案 \(B\)
解析 由圆的标准方程 \((x-2)^2+(y-2)^2=4\)得圆心坐标为\(C(2,2)\)，半径\(R=2\)，
圆心到直线的距离 \(d=\dfrac{|2 \times 3+4 \times 2+5|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\dfrac{19}{5}\)，
在\(|PQ|\)的最小值为 \(d-R=\dfrac{19}{5}-2=\dfrac{9}{5}\)，
故选：\(B\)． -
答案 \(2 \sqrt{2} \pi\)
解析 方程化为标准方程为 \((x-1)^2+(y+3)^2=2\)，则半径为\(\sqrt{2}\)，所以周长为 \(2 \sqrt{2} \pi\). -
答案 \(-\dfrac{3}{2}\)
解析 依题意得圆心\((k,0)\)在直线\(2x-y+3=0\)上，则\(2k+3=0\)，解得\(k=-\dfrac{3}{2}\). -
答案 \([0,3]\)
解析 设点\(M(x,y)\)，由\(|AM|=2|MO|\)，得 \(\sqrt{x^{2}+(y+3)^{2}}=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，
即 \(x^2+y^2－2y－3=0\)，
\(∴\)点\(M\)在圆心为\(D(0,1)\)，半径为\(2\)的圆上．
又点\(M\)在圆\(C\)上，\(∴\)圆\(C\)与圆\(D\)有公共点，
\(∴1≤|CD|≤3\)，
\(\therefore 1 \leq \sqrt{(a-0)^{2}+(a-3)^{2}} \leq 3\)，解得\(0≤a≤3\)．
即实数\(a\)的取值范围是\([0,3]\)．
故答案为：\([0,3]\)． -
答案 \(2x－3y－5=0\)
解析 设动点\(P(x,y)\)，依题意得 \(\sqrt{(x+1)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}}\) ，
化简得\(2x－3y－5=0\). -
答案 实数\(m\)的取值范围是 \(\left(-\infty, \dfrac{1}{5}\right)\)，圆心坐标为\((-m,1)\)，半径 \(r=\sqrt{1-5 m}\)．
解析 将方程 \(x^2+y^2+2mx-2y+m^2+5m=0\)写成标准方程为
\((x+m)^2+(y-1)^2=1-5m\)，
由\(1－5m>0\)得 \(m<\dfrac{1}{5}\)．
所以实数\(m\)的取值范围是 \(\left(-\infty, \dfrac{1}{5}\right)\)，圆心坐标为\((-m,1)\)，半径 \(r=\sqrt{1-5 m}\)． -
答案 \(x^2+y^2-4x-2y-20=0\)
解析 方法一：设所求的圆的方程为 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)．
则由题意 \(\left\{\begin{array}{l} -D+5 E+F+26=0 \\ -2 D-2 E+F+8=0 \\ 5 D+5 E+F+50=0 \end{array}\right.\)解得 \(\left\{\begin{array}{l} D=-4 \\ E=-2 \\ F=-20 \end{array}\right.\)
故所求的圆的方程为 \(x^2+y^2-4x-2y-20=0\)．
方法二：由题意可求得\(AC\)的中垂线方程为\(x=2\)，\(BC\)的中垂线方程为\(x+y-3=0\)．
\(∴\)圆心\(P\)是两条中垂线的交点\((2,1)\)．
\(∴\)半径 \(r=|A P|=\sqrt{(2+1)^{2}+(1-5)^{2}}=5\)．
\(∴\)所求的圆的方程为 \((x-2)^2+(y-1)^2=25\)，
即 \(x^2+y^2-4x-2y-20=0\)． -
答案 \(28\)
解析 设点\(C( x,y)\)，点\(P(2,0)\)，
则\(AB\)和\(CP\)的交点为 \(M\left(\dfrac{2+x}{2}, \dfrac{y}{2}\right)\)为矩形\(PACB\)的中心，
且\(OM⊥AB\)， \(\therefore O B^{2}=O M^{2}+M B^{2}=O M^{2}+M P^{2}\)，
即 \(16=\left[\left(\dfrac{2+x}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^{2}\right]+\left[\left(\dfrac{2+x}{2}-2\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^{2}\right]\)，
即 \(64=\left[x^{2}+4 x+4+y^{2}\right]+\left[x^{2}-4 x+4+y^{2}\right]\)，即 \(x^2+y^2=28\)，
故答案为： \(x^2+y^2=28\)．
【B组---提高题】
1.若\(x\)、\(y\)满足 \(x^2+y^2－2x+4y－20=0\),则 \(x^2+y^2\)的最小值是( )
A． \(\sqrt{5}-5\) \(\qquad \qquad\) B．\(5-\sqrt{5}\) \(\qquad \qquad\) C．\(30-10\sqrt{5}\) \(\qquad \qquad\) D．无法确定
2.过点\(P(0,3)\)作直线\(l：(m+n)x+(2n-4m)y-6n=0\)的垂线，垂足为点\(Q\)，则点\(Q\)到直线\(x-2y-8=0\)的距离的最小值为\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 把圆的方程化为标准方程得： \((x-1)^2+(y+2)^2=25\)，
则圆心\(A\)坐标为\((1,－2)\)，圆的半径\(r=5\)，
设圆上一点的坐标为\((x,y)\)，原点\(O\)坐标为\((0,0)\)，
则\(|AO|=\sqrt{5}\)，\(|AB|=r=5\)，所以\(|BO|=|AB|－|OA|=5-\sqrt{5}\)．
则 \(x^2+y^2\)的最小值为\((5-\sqrt{5})^2=30-10\sqrt{5}\)．
故选\(C\)．
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答案 \(\sqrt{5}\)
解析 直线\(l：(m+n)x+(2n-4m)y-6n=0\)，
化为\(m(x-4y)+n(x+2y-6)=0\)，
联立 \(\left\{\begin{array}{l} x-4 y=0 \\ x+2 y-6=0 \end{array}\right.\)，解得\(x=4\)，\(y=1\)．
\(∴\)直线\(l\)经过定点\(M(4,1)\)．线段\(PM\)的中点\(G(2,2)\)．
\(∵PQ⊥l\)．
\(∴\)点\(Q\)在以点\(G\)为圆心，以\(|PG|=\sqrt{5}\)为半径的圆上．
其圆的标准方程为 \((x-2)^2+(y-2)^2=5\)．
圆心\(G\)到直线\(x-2y-8=0\)点距离 \(d=\dfrac{|2-2 \times 2-8|}{\sqrt{5}}=2 \sqrt{5}\)．
\(∴\)点\(Q\)到直线\(x-2y-8=0\)的距离的最小值为 \(\sqrt{5}\)．
故答案为： \(\sqrt{5}\)．
【C组---拓展题】
1.在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知点\(P(0,1)\)在圆 \(C：x^2+y^2+2mx－2y+m^2－4m+1=0\)内，若存在过点\(P\)的直线交圆\(C\)于\(A\)、\(B\)两点，且\(△PBC\)的面积是\(△PAC\)的面积的2倍，则实数\(m\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\)．
2.直线\(l：x-2y+2=0\)，动直线\(l_1：ax-y=0\)，动直线\(l_2：x+ay+2a-4=0\)．设直线\(l\)与两坐标轴分别交于\(A\),\(B\)两点，动直线\(l_1\)与\(l_2\)交于点\(P\)，则\(△PAB\)的面积最大值\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
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答案 \(\left(\dfrac{4}{9}, 4\right)\)
解析 点\(P(0,1)\)在圆 \(x^2+y^2+2mx－2y+m^2－4m+1=0\)内，
\(∴1－2+m^2－4m+1<0\)，
解得\(0<m<4\)；
又圆\(C\)化为标准方程是 \((x+m)^2+(y-1)^2=4m\)，圆心\(C(－m,1)\)；
\(∵△PBC\)的面积是\(△PAC\)的面积的\(2\)倍，
\(∴PB=2PA\)，
设直线\(l\)的方程为：\(y=kx+1\)．
圆心\(C\)到直线\(l\)的距离 \(d=\dfrac{|-k m-1+1|}{\sqrt{1+k^{2}}}=\dfrac{|k m|}{\sqrt{1+k^{2}}}\)．
\(\therefore \sqrt{4 m-d^{2}}=3 \sqrt{m^{2}-d^{2}}\)，可得： \(9 m^{2}-4 m=8 d^{2}=8 \times \dfrac{k^{2} m^{2}}{1+k^{2}}\)，
\(\therefore 9-\dfrac{4}{m}=\dfrac{8 k^{2}}{1+k^{2}} \in(0,8)\)，解得： \(\dfrac{4}{9} \leq m<4\)．
当\(m=\dfrac{4}{9}\)时，四点共线没有三角形，
\(∴\)实数\(m\)的取值范围为 \(\left(\dfrac{4}{9}, 4\right)\)．
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答案 \(\dfrac{11}{2}\)
解析 由\(x-2y+2=0\)，
取\(y=0\)，得\(x=-2\)，则\(A(-2,0)\)，取\(x=0\)，得\(y=1\)，则\(B(0,1)\)，
直线\(l_1：ax-y=0\)过原点\(O(0,0)\)，直线\(l_2：x+ay+2a-4=0\)过\(M(4,-2)\)，
\(∵a×1+(-1)×a=0\)，
\(∴\)直线\(l_1\)与直线\(l_2\)垂直，
\(∴\)动直线\(l_1\)与\(l_2\)交于点\(P\)在以\(OM\)为直径的圆上，
\(∵OM\)的中点坐标为\((2,－1)\)， \(|O M|=\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}=2 \sqrt{5}\)，
\(∴\)动点\(P\)的轨迹方程为 \((x-2)^2+(y+1)^2=5\)，
\(∵(2,-1)\)到直线\(x－2y+2=0\)的距离为 \(d=\dfrac{|2+2+2|}{\sqrt{5}}=\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}>\sqrt{5}\)，
\(∴P\)到直线\(x-2y+2=0\)的距离的最大值为 \(\dfrac{11 \sqrt{5}}{5}\)，
而\(|AB|= \sqrt{5}\)，
\(∴△PAB\)的面积最大值为 \(\dfrac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \dfrac{11 \sqrt{5}}{5}=\dfrac{11}{2}\).
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