2.4.1 圆的标准方程
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【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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基础知识
圆的定义
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.
圆的标准方程
\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)，称之为圆心为\(A(a ,b)\)，半径为\(r\)的圆的标准方程.
解释
1 曲线方程的理解
若动点\(P(x,y)\)满足方程\(f(x,y)=0\)，则在直角坐标系中，动点\(P\)的轨迹为由方程\(f(x,y)=0\)确定的曲线.
【例】 到两个点\(A(-1,2)\)，\(B(3,-4)\)的距离相等的点的轨迹方程是\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 设动点\(P(x,y)\)，依题意得 \(\sqrt{(x+1)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}}\)，
化简得\(2x-3y-5=0\).
2 证明
在直角坐标系中，设圆上任意一点\(M(x,y)\)，由圆的定义可得\(MA=r\)，
由两点距离公式可得 \(\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r\)，
两边平方得 \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} \quad (*)\)，
若点\(M(x,y)\)在\(⊙A\)上，点\(M\)的坐标满足方程 \((*)\)；
反过来，若点\(M\)的坐标\((x,y)\)满足方程 \((*)\)，就说明点\(M(x,y)\)在\(⊙A\)上.
【例1】 求圆心为\((-1,2)\)，半径为\(3\)的方程.
解析 所求圆的标准方程为 \((x+1)^2+(y-2)^2=9\).
【例2】根据给出的方程，说出下面圆的圆心与半径，
(1) \((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4\) \(\qquad \qquad\) (2) \(x^2+(y+2)^2=5\)
解析 (1) 圆心为\((2 ,-3)\)，半径为\(2\)； (2) 圆心为\((0 ,-2)\)，半径为 \(\sqrt{5}\).
求圆的方程的方法
1 待定系数法
先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，利用圆的标准方程，需求出\(a ,b ,r\)；
2 直接法
直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置.
基本方法
【题型1】对圆标准方程的理解
【典题1】点\(A (－2 ,3)\)与圆 \((x+3)^2+(y-1)^2=9\)的位置关系是( )
A．在圆外 \(\qquad \qquad\) B．在圆内 \(\qquad \qquad\) C．在圆上 \(\qquad \qquad\) D．不确定
解析 圆 \((x+3)^2+(y-1)^2=9\)的圆心为\((-3,1)\)，半径为\(3\)，
而\(A (－2 ,3)\)到圆心为\((-3,1)\)的距离为 \(\sqrt{(-3+2)^{2}+(1-3)^{2}}=\sqrt{5}<3\)，
故选\(B\).
点拨 判断点与圆的位置关系的方法
方法1 设点到圆心的距离为\(d\)，圆半径为\(r\)，
\(a.\)点在圆内\(⇔ d<r\)； \(b.\)点在圆上\(⇔ d=r\)； \(c.\)点在圆外\(⇔ d>r\) .
方法2 给定点\(M(x_0 ,y_0)\)及圆 \(C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
\(a.\)\(M\)在圆\(C\)内 \(⇔(x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2\)；
\(b.\)\(M\)在圆\(C\)上 \(⇔(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2\) ；
\(c.\)\(M\)在圆\(C\)外 \(⇔(x_0-a)^2+(y_0-b)^2>r^2\) .
【典题2】曲线 \(y=-\sqrt{4-x^{2}}(x \leq 0)\)的长度为\(\underline{\quad \quad}\).
解析 \(\because y=-\sqrt{4-x^{2}}(x \leq 0)\)， \(\therefore y^{2}=4-x^{2}(x \leq 0, y \leq 0)\)，
\(\therefore x^{2}+y^{2}=4 . \quad(x \leq 0, y \leq 0)\),
\(∴\)该曲线是以原点为圆心，\(2\)为半径的圆在第三象限的弧长．
\(∴\)弧长 \(l=\dfrac{1}{4} \times 2 \pi \times 2=\pi\)．
点拨 注意方程的形式，从而判断对应的曲线类型，同时要注意变量\(x\)，\(y\)的取值范围.
巩固练习
1.圆心为\((-2,-1)\)，半径为\(4\)的圆的标准方程是( )
A． \((x-2)^2+(y-1)^2=4\) \(\qquad \qquad\) B． \((x+2)^2+(y-1)^2=16\)
C． \((x-2)^2+(y+1)^2=4\) \(\qquad \qquad\) D． \((x+2)^2+(y+1)^2=16\)
2.已知点\(A(1,0)\)，\(B(0,1)\)，圆 \(C：x^2+(y+1)^2=3\)，则( )
A．\(A,B\)都在\(C\)内 \(\qquad \qquad\) B．\(A\)在\(C\)外，\(B\)在\(C\)内 \(\qquad \qquad\)
C．\(A,B\)都在\(C\)外 \(\qquad \qquad\) D．\(A\)在\(C\)内，\(B\)在\(C\)外
3.若圆 \((x-1)^{2}+(y-1)^{2}=5\)关于直线\(y=kx+2\)对称，则\(k=\)( )
A．\(2\) \(\qquad \qquad\) B．\(-2\) \(\qquad \qquad\) C．\(-1\) \(\qquad \qquad\) D．\(1\)
4.圆 \((x+2)^2+(y-9)^2=4\)的圆心到直线\(3x+4y－15=0\)的距离是( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad\) D．\(5\)
5.已知\(O\)为坐标原点，\(P\)为圆 \(C:(x-1)^{2}+(y-b)^{2}=1\)(常数\(b>0\))上的动点，若\(|OP|\)最大值为\(3\)，则\(b\)的值为( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad\) B． \(\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad\) C． \(\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) D．\(2\)
参考答案
- 答案 \(D\)
- 答案 \(D\)
解析 圆 \(C：x^2+（y+1）^2=3\)的圆心\(C(0,－1)\)，半径为 \(\sqrt{3}\)，点\(A(1,0)\),\(B(0,1)\)，
\(\therefore A C=\sqrt{2}<\sqrt{3}\)， \(B C=2>\sqrt{3}\)，故\(A\)在\(C\)内，\(B\)在\(C\)外，
故选：\(D\)． - 答案 \(C\)
解析 因为圆 \((x-1)^{2}+(y-1)^{2}=5\)关于直线\(y=kx+2\)对称，
所以圆心\((1,1)\)在直线\(y=kx+2\)上，
所以\(1=k+2\)，得\(k=1-2=-1\)．
故选：\(C\)． - 答案 \(C\)
解析 圆心为\((-2,9)\)，到直线\(3x+4y－15=0\)的距离 \(d=\dfrac{|-6+36-15|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=3\)，故选\(C\). - 答案 \(C\)
解析 圆 \(C:(x-1)^{2}+(y-b)^{2}=1\)的圆心为\(C(1,b)\)，半径为\(1\)，
所以圆\(C\)上的点\(P\)到原点的最大距离为\(|OP|=|OC|+1=3\)，
即 \(\sqrt{1^{2}+b^{2}}+1=3\)，解得 \(b=\pm \sqrt{3}\)，
又\(b>0\)，所以\(b\)的值为 \(\sqrt{3}\)．
故选：\(C\)．
【题型2】求圆的方程
【典题1】 已知一个圆经过两个点\(A(2,-3)\)和\(B(-2,-5)\)，且圆心在直线\(l：x-2y-3=0\)上，求此圆的方程．
解析 方法一 待定系数法
设所求圆的方程为 \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)．
由已知条件得 \(\left\{\begin{array}{l}
(2-a)^{2}+(-3-b)^{2}=r^{2} \\
(-2-a)^{2}+(-5-b)^{2}=r^{2} \\
a-2 b-3=0
\end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l}
a=-1 \\
b=-2 \\
r^{2}=10
\end{array}\right.\)，
\(∴\)所求圆的方程为 \((x+1)^2+(y+2)^2=10\)．
方法二 直接法
由\(A(2,-3)\)，\(B(-2,-5)\)得，\(AB\)的中点为\((0,-4)\)， \(k_{A B}=\dfrac{1}{2}\)，
\(∴AB\)的垂直平分线的方程为\(y+4=-2x\)，即\(2x+y+4=0\)，
解方程组 \(\left\{\begin{array}{l}
2 x+y+4=0 \\
x-2 y-3=0
\end{array}\right.\)得 \(\left\{\begin{array}{l}
x=-1 \\
y=-2
\end{array}\right.\)，
\(∴\)圆心为\((－1,－2)\)，半径 \(r=\sqrt{(2+1)^{2}+(-3+2)^{2}}=\sqrt{10}\)．
故所求圆的方程为 \((x+1)^2+(y+2)^2=10\)．
方法三 设点\(C\)是圆心，
\(∵\)点\(C\)在直线\(l\)上，\(∴\)设点\(C(2b+3,b)\)．
又\(∵|CA|=|CB|\)，
\(\therefore \sqrt{(2 b+3-2)^{2}+(b+3)^{2}}=\sqrt{(2 b+3+2)^{2}+(b+5)^{2}}\)，解得\(b=-2\)，
\(∴\)圆心为\(C(-1,-2)\)，半径 \(r=\sqrt{10}\)，
故所求圆的方程为 \((x+1)^2+(y+2)^2=10\)．
点拨 求圆的方程的方法常有待定系数法与直接法.
【典题2】有一种大型商品，\(A\)，\(B\)两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费\(A\)地是\(B\)地的两倍，若\(A\)，\(B\)两地相距\(10\)千米，顾客选择\(A\)地或\(B\)地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
解析 以直线\(AB\)为\(x\)轴，线段\(AB\)的垂直平分线为\(y\)轴，建立直角坐标系，如图所示．
设\(A(-5,0)\)，则\(B(5,0)\)．
在坐标平面内任取一点\(P(x,y)\)，
设从\(A\)地运货到\(P\)地的运费为\(2a\)元/千米，则从\(B\)地运货到\(P\)地的运费为\(a\)元/千米．
若\(P\)地居民选择在\(A\)地或\(B\)地购买此商品均一样，
则 \(2 a \sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}=a \sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}\)，整理得 \(\left(x+\dfrac{25}{3}\right)^{2}+y^{2}=\left(\dfrac{20}{3}\right)^{2}\)．
即圆\(C\)上的 居民可随意选择\(A，B\)两地之一购物，
圆\(C\)内的居民应在\(A\)地购物．
同理可推得圆\(C\)外的居民应在B地购物．
点拨 建系处理几何问题或实际问题，即坐标法，其解决套路如下：
① 建立恰当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素(如点、直线、圆等)，用代数语言“翻译”几何要素的位置关系(如相交、平行、垂直)，把平面几何问题转化为代数问题；
② 通过代数运算，解决代数问题；
③ 把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
巩固练习
1.圆心在\(x\)轴上，半径长为 \(\sqrt{2}\)，且过点\((-2,1)\)的圆的方程为( )
A． \((x+1)^2+y^2=2\)或 \((x+3)^2+y^2=2\) \(\qquad \qquad\) B． \(x^2+(y+2)^2=2\) \(\qquad \qquad\)
C． \((x+3)^2+y^2=2\) \(\qquad \qquad \qquad\) D． \((x+1)^2+y^2=2\)
2.已知点\(A(-2,1)\),\(B(0,-3)\)，则以线段\(AB\)为直径的圆的方程为\(\underline{\quad \quad}\) .
3.若圆\(C\)过点\((0 ,-1)\),\((0 ,5)\)，且圆心到直线\(x-y-2=0\)的距离为 \(2 \sqrt{2}\)，求圆\(C\)的标准方程.
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 设圆心坐标为\((a,0)\)，
则由题意知 \(\sqrt{(a+2)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{2}\)，解得\(a=-1\)或\(a=－3\)，
故圆的方程为 \((x+1)^2+y^2=2\)或 \((x+3)^2+y^2=2\)．
故选：\(A\)． - 答案 \((x+1)^{2}+(y+1)^{2}=5\)
解析 因为点\(A(-2,1)\),\(B(0,-3)\)，
故\(AB\)的中点即为圆心，则圆心坐标为\((-1,-1)\)，
\(AB\)为圆的直径，根据两点间距离公式 \(A B=\sqrt{(-2-0)^{2}+(1+3)^{2}}=\sqrt{4+16}=2 \sqrt{5}\)，
故圆的半径为 \(\dfrac{2 \sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}\)，
所以以线段\(AB\)为直径的圆的方程为 \((x+1)^{2}+(y+1)^{2}=5\)． - 答案 \(x^2+(y-2)^2=9\)或 \((x-8)^2+(y-2)^2=73\).
解析 方法一 几何法
\(∵\)圆\(C\)过点\((0 ,-1)\) ,\((0 ,5)\)，\(∴\)圆心的纵坐标为\(2\)，
则设圆心为\((a ,2)\)，
则 \(\dfrac{|a-4|}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2}\)，\(∴a=0\)或\(8\)，
\(∴\)当\(a=0\)时，\(r=3\)；当\(a=8\)时， \(r=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}\)；
\(∴\)圆\(C\)的标准方程为\(x^2+(y-2)^2=9\)或 \((x-8)^2+(y-2)^2=73\).
方法二 待定系数法
设圆的方程为 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，
则 \(\left\{\begin{array}{c} a^{2}+(-1-b)^{2}=r^{2} \\ a^{2}+(5-b)^{2}=r^{2} \\ \dfrac{|a-b-2|}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2} \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} a=0 \\ b=2 \\ r=3 \end{array}\right.\)或 \(\left\{\begin{array}{c} a=8 \\ b=2 \\ r=\sqrt{73} \end{array}\right.\)
\(∴\)圆\(C\)的标准方程为 \(x^2+(y-2)^2=9\)或 \((x-8)^2+(y-2)^2=73\).
分层练习
【A组---基础题】
1.若圆的标准方程为 \((x-1)^2+(y+5)^2=3\)，则此圆的圆心和半径分别为( )
A． \((-1,5), \sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) B．\((1,-5),\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) C．\((－1,5),3\) \(\qquad \qquad\) D．\((1,－5),3\)
2.若点\(A(a+1,3)\)在圆 \(C:(x-a)^{2}+(y-1)^{2}=m\)内部，则实数\(m\)的取值范围是( )
A．\((5,+∞)\) \(\qquad \qquad\) B．\([5,+∞)\) \(\qquad \qquad\) C．\((0,5)\) \(\qquad \qquad\) D．\([0,5]\)
3.圆心为\((-3,-2)\)，且过点\((1,1)\)的圆的标准方程为( )
A． \((x-3)^2+(y-2)^2=5\) \(\qquad \qquad\) B． \((x-3)^2+(y-2)^2=25\)
C． \((x+3)^2+(y+2)^2=5\) \(\qquad \qquad\) D． \((x+3)^2+(y+2)^2=25\)
4.圆\(C\)与\(x\)轴相切于\(T(1,0)\)，与\(y\)轴正半轴交于两点\(A\)、\(B\)，且\(|AB|=2\)，则圆\(C\)的标准方程为( )
A． \((x-1)^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}=2\) \(\qquad \qquad\) B． \((x-1)^{2}+(y+\sqrt{2})^{2}=2\)
C． \((x-1)^2+(y-2)^2=2\) \(\qquad \qquad\) D． \((x+1)^{2}+(y+2)^{2}=\sqrt{2}\)
5.圆心在直线\(y=x\)上，经过原点，且在\(x\)轴上截得弦长为\(2\)的圆的方程为( )
A． \((x-1)^2+(y-1)^2=2\)
B． \((x-1)^2+(y+1)^2=2\)
C． \((x-1)^2+(y-1)^2=2\)或 \((x+1)^2+(y+1)^2=2\)
D． \((x-1)^2+(y+1)^2=2\)或 \((x+1)^2+(y-1)^2=2\)
6.如果圆 \((x-a)^{2}+(y-a)^{2}=1(a>0)\)上所有点到原点\(O\)的距离都不小于\(3\)，则实数\(a\)的取值范围为( )
A．\([\sqrt{2},2]\) \(\qquad \qquad\) B．\([2\sqrt{2},+∞)\) \(\qquad \qquad\)C．\([\sqrt{2},2\sqrt{2}]\) \(\qquad \qquad\) D．\([1,2\sqrt{2}]\)
7.过\(A(2,-3)\)，\(B(-2,-5)\)两点且面积最小的圆的标准方程为\(\underline{\quad \quad}\)．
8.点\(M(0,1)\)与圆 \(x^2+y^2-2x=0\)上的动点\(P\)之间的最近距离为\(\underline{\quad \quad}\)．
9.如果圆 \((x-a)^2+(y-a)^2=8\)上总存在到原点的距离为 \(\sqrt{2}\)的点，则实数\(a\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\) .
10.已知\(△ABC\)三个顶点的坐标为\(A(1,3)\)、\(B(-1,-1)\)、\(C(－3,5)\)，求这个三角形外接圆的方程．
11.\(AB\)为圆的定直径，\(CD\)为直径，过点\(D\)作\(AB\)的垂线\(DE\)，延长\(ED\)到\(P\)，使\(|PD|=|AB|\)，求证：直线\(CP\)必过一定点．
参考答案
-
答案 \(B\)
-
答案 \(A\)
解析 \(∵(a+1,3)\)在圆 \((x-a)^{2}+(y-1)^{2}=m\)的内部，
\(∴(1+a-a)^2+(3-1)^2<m\)，解得\(m>5\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(D\)
解析 根据题意，设所求圆的方程为 \((x+3)^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}\)．
\(∵\)点\(P(1,1)\)在圆上， \(∴r^2=(1+3)^2+(1+2)^2=25\)
即得所求的圆的标准方程是： \((x+3)^2+(y+2)^2=25\)
故选：\(D\) -
答案 \(A\)
解析 由题意，圆的半径为 \(\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\)，圆心坐标为\((1，\sqrt{2})\)，
\(∴\)圆\(C\)的标准方程为\((x-1)^2+(y-\sqrt{2} )^2=2\)，故选：\(A\)． -
答案 \(C\)
解析 画出圆\(A\)满足题中的条件，有两个位置，
当圆心\(A\)在第一象限时，过\(A\)作\(AC⊥x\)轴，又\(|OB|=2\)，
根据垂径定理得到点\(C\)为弦\(OB\)的中点，则\(|OC|=1\)，由点\(A\)在直线\(y=x\)上，
得到圆心\(A\)的坐标为\((1,1)\)，且半径\(|OA|=\sqrt{2}\)，
则圆\(A\)的标准方程为： \((x-1)^2+(y-1)^2=2\)；
当圆心\(A'\)在第三象限时，过\(A'\)作\(A'C'⊥x\)轴，又\(|OB'|=2\)，
根据垂径定理得到点\(C'\)为弦\(OB'\)的中点，则\(|OC'|=1\)，由点\(A'\)在直线\(y=x\)上，
得到圆心\(A'\)的坐标为\((-1,-1)\)，且半径\(|OA'|=\sqrt{2}\)，
则圆\(A'\)的标准方程为： \((x+1)^2+(y+1)^2=2\)，
综上，满足题意的圆的方程为：\((x-1)^2+(y-1)^2=2\)或 \((x+1)^2+(y+1)^2=2\)．
故选\(C\).
-
答案 \(B\)
解析 圆 \((x-a)^{2}+(y-a)^{2}=1(a>0)\)上的圆心为\((a,a)\)，半径\(r=1\)．
设圆心到原点的距离为\(d\)，则 \(d=\sqrt{(a-0)^{2}+(a-0)^{2}}=\sqrt{2} a\)．
设圆上任一点为\(P\)，可知，由题意可知\(|\sqrt{2} a-1|≥3\)，
解得\(a≥2\sqrt{2}\)或\(a≤-\sqrt{2}\)(舍去)，
故实数\(a\)的取值范围是\([2\sqrt{2},+∞)\)．
故选：\(B\)． -
答案 \(x^2+(y+4)^2=5\)
解析 依题意得\(AB\)是圆的直径，则圆心为\(AB\)的中点\((0,-4)\)，
因为\(AB=2\sqrt{5}\)，所以圆的半径为\(\sqrt{5}\)，
所以圆的方程为 \(x^2+(y+4)^2=5\). -
答案 \(\sqrt{2}-1\)
解析 圆 \(x^2+y^2-2x=0\)可化为 \((x-1)^2+y^2=1\)，
圆心为\(C(1,0)\)，半径为\(r=1\)；
所以 \(|M C|=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{2}\)，
所以点\(M\)与圆上的动点\(P\)之间的最近距离为\(|MC|-r=\sqrt{2}-1\)． -
答案 \([-3,-1]∪[1,3]\)
解析 圆 \((x-a)^2+(y-a)^2=8\)半径\(r=2 \sqrt{2}\)，
圆心\(A(a,a)\)到原点\(O\)的距离\(OA=|\sqrt{2}a|\)，
若由圆 \((x-a)^2+(y-a)^2=8\)上总存在点到原点的距离为 \(\sqrt{2}\)，
\(∴ 2 \sqrt{2}-\sqrt{2}≤|\sqrt{2} a|≤ 2 \sqrt{2}+\sqrt{2}\)，
\(∴1≤|a|≤3\)，解得\(1≤a≤3\)或\(-3≤a≤-1\)．
\(∴\)实数\(a\)的取值范围是\([-3,-1]∪[1,3]\)．
-
答案 \((x+2)^2+(y-2)^2=10\)
解析 设圆的方程为 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，
则 \(\left\{\begin{array}{l} (1-a)^{2}+(3-b)^{2}=r^{2} \\ (-1-a)^{2}+(-1-b)^{2}=r^{2} \\ (-3-a)^{2}+(5-b)^{2}=r^{2} \end{array}\right.\)，整理得 \(\left\{\begin{array}{l} a+2 b-2=0 \\ 2 a-b+6=0 \end{array}\right.\)，
解之得\(a=－2\),\(b=2\)，可得\(r^2=10\)，
因此，这个三角形外接圆的方程为 \((x+2)^2+(y-2)^2=10\)． -
证明 以线段\(AB\)所在的直线为\(x\)轴， 以\(AB\)的中点为原点，建立直角坐标系，
如图，设圆的方程为 \(x^2+y^2=r^2\)，直径\(AB\)位于\(x\)轴上，动直径为\(CD\)．
令\(C(x_0,y_0 )\)，则\(D(-x_0,-y_0 )\)，
\(∴P(-x_0,-y_0-2r)\)．
\(∴\)直线\(CP\)的方程为 \(y-y_{0}=\dfrac{-y_{0}-2 r-y_{0}}{-x_{0}-x_{0}}\left(x-x_{0}\right)\)，
即\((y_0+r)x－(y+r) x_0=0\)．
\(∴\)直线\(CP\)过直线\(x=0\)与直线\(y+r=0\)的交点\((0,－r)\)，
即直线\(CP\)过定点\((0,－r)\)．
【B组---提高题】
1.已知圆 \(x^2+y^2=4\)， \(A(\sqrt{3}, 0)\)，动点\(M\)在圆上运动，\(O\)为坐标原点，则\(∠OMA\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\)．
2.点\(P\)为曲线 \((x-1)^2+(y-2)^2=9(y≥2)\)上任意一点，则\(x+\sqrt{3} y\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\) .
3.已知圆 \(x^2+(y-2)^2=1\)上一动点\(A\)，定点\(B(6,1)\)；\(x\)轴上一点\(W\)，则\(|AW|+|BW|\)的最小值等于\(\underline{\quad \quad}\)．
4.设点\(M(x_0,1)\),若圆 \(O:x^2+y^2=1\)上存在点\(N\)，使得\(∠OMN=30^∘\)，求\(x_0\)的取值范围.
参考答案
-
答案 \(\dfrac{\pi}{3}\)
解析 设\(|MA|=a\)，则\(|OM|=2\)， \(|O A|=\sqrt{3}\)，
由余弦定理知：
\(\cos \angle O M A=\dfrac{O M^{2}+M A^{2}-O A^{2}}{2 \times O M \times M A}=\dfrac{2^{2}+a^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{2 \times 2 \times a}=\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{4 a}\)\(\geq 2 \sqrt{\dfrac{a}{4} \times \dfrac{1}{4 a}}=\dfrac{1}{2}\)，
当且仅当\(a=1\)时等号成立；
\(\therefore \angle O M A \leq \dfrac{\pi}{3}\)．
\(∴∠OMA\)的最大值为 \(\dfrac{\pi}{3}\)．
故 答案为： \(\dfrac{\pi}{3}\)．
-
答案 \(2\sqrt{3} -2\)
解析 曲线 \((x-1)^2+(y-2)^2=9(y≥2)\)表示以\((1,2)\)为圆心，\(3\)为半径的上半圆，
在点\((-2,2)\)处，\(x+\sqrt{3} y\)的最小值为\(2\sqrt{3} -2\). -
答案 \(3\sqrt{5}-1\)
解析 根据题意画出圆 \(x^2+(y-2)^2=1\)，以及点\(B(6,1)\)的图象如图，
作\(B\)关于\(x\)轴的对称点\(B'\)，连接圆心与\(B'\)，
则与圆的交点\(A\)，\(|AB|\)即为\(|AW|+|BW|\)的最小值，
\(|AB|\)为点\((0,2)\)到点\(B'(6,－1)\)的距离减圆的半径，
即 \(|A B|=\sqrt{(6-0)^{2}+(-1-2)^{2}}-1=3 \sqrt{5}-1\)，
故答案为： \(3 \sqrt{5}-1\)． -
答案 \(-\sqrt{3} \leq x_{0} \leq \sqrt{3}\)
解析 过\(M\)作\(⊙O\)切线交\(⊙O\)于\(R\)，根据圆的切线性质，有\(∠OMR≥∠OMN\)．
\(∴\)若圆\(O\)上存在点\(N\)，使\(∠OMN=30°\)，则\(∠OMR≥30°\)．
\(∵|OR|=1\),\(∴|OM|＞2\)时不成立，\(∴|OM|≤2\)，
即 \(|OM|^2=x_0^2+1≤ 4\)，解得 \(-\sqrt{3} \leq x_{0} \leq \sqrt{3}\).
【C组---拓展题】
1.(多选)已知圆 \(O：x^2+y^2=4\)，\(A(1,0)\),\(C(4,0)\)，点\(P\)在圆上且在第一象限内，则下列结论正确的是( )
A．\(PC=2PA\) \(\qquad \qquad\) B． \(\angle P C A \leq \dfrac{\pi}{6}\) \(\qquad \qquad\) C．\(∠PAC>2∠PCA\) \(\qquad \qquad\) D．\(∠PAC<2∠PCA\)
2.若点\(P\)在圆 \((x-1)^2+y^2=1\)上运动，\(Q(m,-m-1)\)，则\(PQ\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
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答案 \(ABC\)
解析 如图，
设\(P(x,y)\)，则 \(x^2+y^2=4\)，
对于选项\(A\)， \(\dfrac{P C}{P A}=\dfrac{\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}}{\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}}=\dfrac{\sqrt{4(5-2 x)}}{\sqrt{5-2 x}}=2\)，故\(A\)正确；
对于选项\(B\)，当\(PC\)与圆相切时，\(∠PCA\)达到最大值为 \(\dfrac{\pi}{6}\)，
\(∴∠PCA≤ \dfrac{\pi}{6}\)，故\(B\)正确；
对于选项\(C\)， \(\because \dfrac{P C}{\sin \angle P A C}=\dfrac{P A}{\sin \angle P C A}\)， \(\therefore 2 \sin \angle P C A=\sin \angle P A C\)，
\(\because 2 \angle P C A \leq \dfrac{\pi}{3}\)，\(∴\)当\(∠PAC\)为直角或钝角时，有\(∠PAC>2∠PCA\)，
当\(∠PAC\)为锐角时，若\(∠PAC>2∠PCA\)，
则有 \(\sin \angle P A C>\sin 2 \angle P C A=2 \sin \angle P C A \cdot \cos \angle P C A\)，
可得\(\cos∠PCA<1\)，即\(∠PAC>2∠PCA\)成立，故\(C\)正确，则\(D\)错误．
故选：\(ABC\)．
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答案 \(\sqrt{2}-1\)
解析 由\(Q(m,-m-1)\)，设\(x=m\)，\(y=-m-1\)，得\(y=-x-1\)．
即点\(Q\)在直线\(x+y+1=0\)上，
由点\(P\)在圆 \((x-1)^2+y^2=1\)上运动，
则\(PQ\)的最小值为 \(\dfrac{|1 \times 1+1 \times 0+1|}{\sqrt{2}}-1=\sqrt{2}-1\)．
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