1.2 集合间的基本关系
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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必修第一册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
子集
1 概念
对于两个集合\(A，B\)，如果集合\(A\)的任何一个元素都是集合\(B\)的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合\(B\)的子集\((subset)\).
(感觉就像那些富二代跟我这些负二代说的一样：你有的我都有，你没的我也有)
记作：\(A⊆B\)(或\(B⊇A\))，读作：\(A\)包含于\(B\)，或\(B\)包含\(A\).
当集合\(A\)不包含于集合\(B\)时，记作(\(A⊈B\)或\(B⊉A\)).
2 Venn图
【例】 已知集合\(M=\{x\in Z |-1≤x<3\}\)，\(N=\{x|x=|y|,y∈M\}\)，判断集合\(M,N\)的关系．
解析 \(∵x∈Z\)，且\(-1≤x<3\)，
\(∴x\)的可能取值为\(-1,0,1,2\)．
\(∴M=\{-1,0,1,2\}\)．
又\(∵y∈M\)，\(∴|y|\)分别是\(0,1,2\)．
\(∴N=\{0,1,2\}\)．\(∴N⊆M\)．
【练】若集合\(A=\{x|x≥0\}\)，且\(B⊆A\)，则集合\(B\)可能是 ( )
A．\(\{1,2\}\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(\{x|x≤1\}\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(\{-1,0,1\}\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(R\)
解析 因为集合集合\(A=\{x|x≥0\}\)，且\(B⊆A\)，所以集合\(B\)是集合\(A\)的子集，
当集合\(B=\{1,2\}\)时，满足题意，
当集合\(B=\{x|x≤1\}\)时，\(-1∉A\)，不满足题意，
当集合\(B=\{-1,0,1\}\)时，\(-1∉A\)，不满足题意，
当集合\(B=R\)时，\(-1∉A\)，不满足题意，
故选\(A\)．
真子集
概念 ：若集合\(A⊆B\)，但存在元素\(x∈B\)且\(x∉A\)，则称集合\(A\)是集合\(B\)的真子集.
记作 ：\(A⊂B\)(或\(B⊃A\)) (有些地方\(⊂\)用\(⫋\)或\(⊊\)表示)
读作：\(A\)真包含于\(B\)(或\(B\)真包含\(A\))
类比 \(⊆\)与\(⊂\)的关系就好比\(≤\)与小于\(<\)的关系，\("≤"\)是小于或等于，\("⊆"\)是真包含或相等；
Eg ：\(3≤3\)是对的，而\(3<3\)是错的，若\(a<b\)，则\(a≤b\)也成立；
对比下，\(A⊆A\)是对的，但\(A⊂A\)是错的，若\(A⊂B\)，则\(A⊆B\)也成立.
【例】 若\(\{1,2\}⊊A⊆\{1,2,3,4,5\}\)，则满足条件的集合\(A\)的个数是( )
A．\(6\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(8\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(7\)\(\qquad\)\(\qquad\) D．\(9\)
解析 \(∵\{1,2\}⊊A⊆\{1,2,3,4,5\}\)，
\(∴\)集合\(A\)中除了含有\(1,2\)两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，
因此满足条件的集合\(A\)为\(\{1,2,3\}\)，\(\{1,2,4\}\)，\(\{1,2,5\}\)，\(\{1,2,3,4\}\)，\(\{1,2,3,5\}\)，\(\{1,2,4,5\}\)，\(\{1,2,3,4,5\}\)共\(7\)个．故选：\(C\)．
【练】已知集合\(A⊊\{0,1,2\}\)，且\(A\)中至少含有一个奇数，则这样的集合\(A\)有\(\underline{\quad \quad}\)个.
解析 \(∵\)集合\(A⊊\{0,1,2\}\)，\(∴A=∅\)，\(\{0\}\)，\(\{1\}\)，\(\{2\}\)，\(\{0,1\}\)，\(\{0,2\}\)，\(\{1,2\}\)．
\(∵A\)中至少含有一个奇数，\(∴A=\{1\}，\{0,1\}，\{1,2\}\)．
\(∴\)这样的集合\(A\)有\(3\)个．故选\(A\)．
集合相等
如果\(A\)是集合\(B\)的子集，且集合\(B\)是集合\(A\)的子集，则集合\(A\)与集合\(B\)相等．即\(A⊆B\)且\(B⊆A⇔A=B\).
正所谓“你中有我，我中有你，天人合一了”.
【例】 如果\(S=\{x|x=2n+1,n∈Z\}\)，\(T=\{x|x=4k±1,k∈Z\}\)，那么( )
A．\(S\)真包含于\(T\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(T\)真包含于\(S\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(S=T\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(S\)与\(T\)没有交集
解析 当\(n\)为偶数，设\(n=2k\)，\(k∈Z\)，则\(x=2n+1=4k+1\)，
当\(n\)为奇数，设\(n=2k-1\)，\(k∈Z\)，则\(x=2n+1=4k-2+1=4k-1\)，
\(∴\)集合\(S\)和\(T\)的元素相同，\(∴S=T\)．故选：\(C\)
【练】集合\(M=\{x|x=4k+2,k∈Z\}\)，\(N=\{x|x=2k,k∈Z\}\)，\(P=\{x|x=4k-2,k∈Z\}\)，则\(M,N,P\)的关系( )
A．\(M=P⊆N\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(N=P⊆M\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(M=N⊆P\)\(\qquad\)\(\qquad\) D．\(M=P=N\)
解析 \(M=\{…,-6,－2,2,6,10,14,18,22,26,…\}\)，
\(N=\{…,-6,-4,－2,0,2,4,6,8,10,…\}\)，
\(P=\{…,-6,-2,2,6,10,14,18,22,26,…\}\)，
故\(M=P⊆N\)，故选\(A\).
几个结论
① 空集是任何集合的子集：\(∅⊆A\)；
② 空集是任何非空集合的真子集；
③ 任何一个集合是它本身的子集；
④ 对于集合\(A ,B ,C\)，如果\(A⊆B\)且\(B⊆C\)，那么\(A⊆C\)；
⑤ 集合中有\(n\)个元素，则子集的个数为\(2^n\)，真子集的个数为\(2^n-1\).（这个跟高二的二项式定理有关）
【例】 求集合\(A=\{1,2,3\}\)的子集和真子集.
解析 集合\(A=\{1,2,3\}\)的子集是\(∅,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\}\),\(\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\)，共\(8\)个；
集合\(A=\{1,2,3\}\)的子集是\(∅,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\}\),\(\{1,3\},\{2,3\}\)，共\(7\)个.
【练】 求集合\(A=\{x|x^2-x-2=0\}\)的子集和真子集.
解析 集合\(A=\{x│x^2-x-2=0\}=\{-1,2\}\)，
集合\(A=\{-1,2\}\)的子集是\(∅,\{-1\},\{2\},\{-1,2\}\)，共\(4\)个；
集合\(A=\{-1,2\}\)的子集是\(∅,\{-1\},\{2\}\)，共\(3\)个.
基本方法
【题型1】判断集合间的关系
【典题1】 指出下列各对集合之间的关系：
(1) \(A=\{x|x^2-1=0\}\)，\(B=\{(x,y)|y=x^2-1\}\)；
(2)\(A=\{x|x\)是菱形\(\}\)，\(B=\{x|x\)是平行四边形\(\}\)；
(3)\(A=\{x|x^2-3x-4<0\}\)，\(B=\{x|x-5<0\}\)；
(4)\(M=\{x|x=3n-1,n∈Z\}\)，\(N=\{x|x=3n+2,n∈Z\}\)．
解析 (1) 集合\(A\)的代表元素是数，集合\(B\)的代表元素是抛物线\(y=x^2-1\)上的点，故\(A\)与\(B\)之间无包含关系．
(2) 菱形是特殊的平行四边形，故\(A⫋B\)．
(3) 集合\(A=\{x│x^2-3x-4<0\}=\{x│-1<x<4\}\)，\(B=\{x|x<5\}\)，
用数轴表示集合\(A,B\)如图所示，由图可知\(A⫋B\)．
(4)由列举法知\(M=\{…,-4,-1,2,5,8,…\}\)，\(N=\{…,-4,-1,2,5,8,…\}\)，故\(N=M\)．
点拨 先分析集合元素的特征，若元素不同类肯定无包含关系，若元素同类则化简集合后再由判断.
【典题2】 集合\(M=\{x|x=4k+2,k∈Z\}\)，\(N=\{x|x=2k,k∈Z\}\)，\(P=\{x|x=4k-2,k∈Z\}\)，则\(M,N,P\)的关系( )
A．\(M=P⊆N\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(N=P⊆M\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(M=N⊆P\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(M=P=N\)
解析 方法1 把每个集合用列举法表示， \(M=\{…,-6,-2,2,6,10,14,18,22,26,…\}\)，
\(N=\{…,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10,…\}\)，\(P=\{…,-6,-2,2,6,10,14,18,22,26,…\}\)，
故\(M=P⊆N\)，故选\(A\).
方法2 设\(x_1=4k_1+2∈M\)，\(x_2=2k_2∈N\)，\(x_3=4k_3-2∈P\)，其中\(k_i∈Z\)；
\(x_1=4k_1+2=4(k_1+1)-2∈P\)，则\(M⊆P\)；
\(x_3=4k_3-2=4(k_3-1)+2∈M\)，则\(P⊆M\)，故\(M=P\).
\(x_1=4k_1+2=2(2k_1+1)∈N\)，则\(M⊆N\)，
\(x_{2}=2 k_{2}=4 \times \dfrac{k_{2}-1}{2}+2\)不一定属于\(M\)；
故\(M=P⊆N\)，故选\(A\).
方法3 集合\(M\)与\(P\)的元素均是被\(4\)除余\(2\)，则\(M=P\)；集合\(N\)的元素是偶数，而集合\(M\)元素是\(2×\)奇数.
点拨 方法1利用列举法通过观察确定集合关系，不够严谨；方法2利用严谨的推理得到关系，略显抽象；方法3从“余数”的角度处理较为简洁.
巩固练习
1.以下六个写法中：①\(\{0\}∈\{0,1,2\}\)；②\(∅⊆\{1,2\}\)；③\(∅∈\{0\}\)；④\(\{0,1,2\}=\{2,0,1\}\)；⑤\(0∈∅\)；正确的个数有( )
A．\(1\)个 \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(2\)个 \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(3\)个\(\qquad\)\(\qquad\) D．\(4\)个
2.指出下列各对集合之间的关系：
(1)\(A=\{－1,1\}\)，\(B=\{(－1,－1),(－1,1),(1,－1),(1,1)\}\)；
(2)\(A=\{x|x\)是等边三角形\(\}\)，\(B=\{x|x\)是等腰三角形\(\}\)；
(3)\(A=\{x|－1<x<4\}\)，\(B=\{x|x－5<0\}\)；
(4)\(M={x|x=2n－1,n∈N^*}\)，\(N=\{x|x=2n+1,n∈N^*\}\)．
3.已知集合\(M=\left\{x \mid x=\dfrac{k}{2}+\dfrac{1}{4}, k \in Z\right\}\),\(N=\left\{x \mid x=\dfrac{k}{4}+\dfrac{1}{2}, k \in Z\right\}\)，若\(x_0∈M\)，则\(x_0\)与\(N\)的关系是( )
A．\(x_0∈N\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(x_0∉N\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(x_0∈N\)或\(x_0∉N\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．不能确定
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 对于①：是集合与集合的关系，应该是\(\{0\}⊂\{0,1,2\}\)；\(∴\)①不对．
对于②：空集是任何集合的子集，应该是\(∅⊆\{1,2\}\)；\(∴\)②对．
对于③：\(∅\)是一个集合，是集合与集合的关系，\(∅⊂\{0\}\)；\(∴\)③不对．
对于④：根据集合的无序性可知\(\{0,1,2\}=\{2,0,1\}\)；\(∴\)④对．
对于⑤：\(∅\)是一个空集合，表示没有任何元素，应该是\(0∉∅\)；∴⑤不对．
正确的是：②④．
故选：\(B\)． -
答案 (1) 无包含关系 (2) \(A⫋B\) (3)\(A⫋B\) (4) \(N⫋M\)
解析 (1)集合\(A\)的代表元素是数，集合\(B\)的代表元素是有序实数对，
故\(A\)与\(B\)之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故\(A⫋B\)．
(3)集合\(B=\{x|x<5\}\)，用数轴表示集合\(A,B\)如图所示，由图可知\(A⫋B\)．
(4)由列举法知\(M=\{1,3,5,7,…\}\)，\(N=\{3,5,7,9,…\}\)，
故\(N⫋M\)． -
答案 \(A\)
解析 \(M=\left\{x \mid x=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2 n+1}{4}, \quad n \in Z\right\}\)，显然\(M\)的分子为奇数，\(N=\left\{x \mid x=\dfrac{k}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{k+2}{4}, \quad k \in Z\right\}\)，显然\(N\)的分子为整数，
\(∴\)集合\(M、N\)的关系为\(M⊊N\)，\(∵x_0∈M\)，\(∴x_0∈N\)
故选：\(A\)．
【题型2】求已知集合的子集或真子集
【典题1】 集合\(M=\{x|x∈Z\)且 \(\dfrac{12}{1+x} \in N\}\)，则\(M\)的非空真子集的个数是( )
A．\(30\)个 \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(32\)个 \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(62\)个\(\qquad\)\(\qquad\) D．\(64\)个
解析 由题意集合\(M=\{x|x∈Z\)且 \(\dfrac{12}{1+x} \in N\}\)\(=\{x|x=0,1,2,3,5,11\}\)，
由对于含有\(n\)个元素的集合，利用公式\(2^n-2\)计算出\(M\)的非空真子集个数，
\(∴M\)的非空真子集的个数是\(2^6-2=62\)，故选：\(C\)．
点拨 先化简集合，确定集合的元素个数，利用公式求解.
巩固练习
1.集合\(\{a,b,c,d\}\)的非空真子集的个数( )
A．\(16\)个 \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(15\)个 \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(14\)个\(\qquad\)\(\qquad\) D．\(13\)个
2.定义集合\(A*B=\{x|x∈A,\)且\(x∉B\}\)，若\(A=\{1,3,5,7\}\)，\(B=\{2,3,5\}\)，则\(A*B\)的子集个数为\(\underline{\quad \quad}\) .
3.已知集合\(B=\{(x,y)∣4x+3y-12<0,x∈N^*,y∈N^* \}\)，则\(B\)的子集个数为\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 \(∵\)集合\(\{a,b,c,d\}\)有\(4\)个元素，\(∴\)则集合\(\{a,b,c,d\}\)有\(2^4=16\)个子集，
故集合\(\{a,b,c,d\}\)的非空真子集的个数为\(14\)；故选\(C\)． - 答案 \(4\)
解析 由题意：\(A*B=\{1,7\}\)，故其子集为\(∅，\{1\}，\{7\}，\{1,7\}\)，个数为\(4\). - 答案 \(8\)
解析 \(∵\)集合\(B=\{(x,y)∣4x+3y-12<0,x∈N^*,y∈N^* \}\)，
\(∴B=\{(1,1),(1,2),(2,1)\}\)，
\(∴B\)中含有\(3\)个元素，集合\(B\)的子集个数有\(2^3=8\)．
【题型3】综合应用
【典题1】 已知集合\(A=\{x|x^2+x-6=0\}\)，\(B=\{x|mx+1=0\}\)，且\(B⊆A\)，则实数\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\).
解析 解方程：\(x^2+x-6=0\)，得：\(x=-3\)或\(x=2\)，即集合\(A=\{-3,2\}\)，
又\(B⊆A\)，
①当\(B=∅\)，即\(m=0\)时，满足题意，
②当\(B=\{-3\}\)，即\(-\dfrac{1}{m}=-3\)，即\(m=\dfrac{1}{3}\)时，满足\(B⊆A\)，
③当\(B=\{2\}\)，即\(-\dfrac{1}{m}=2\)，即\(m=-\dfrac{1}{2}\)时，满足\(B⊆A\)，
综合①②③得：\(m=1\)或\(m=\dfrac{1}{3}\)或\(m=-\dfrac{1}{2}\)，
点拨 注意不用漏了\(B=∅\)的情况；求解方程\(mx+1=0\)，注意\(m=0\)的情况.
【典题2】已知集合\(A=\{x|x^2-3x-10≤0\}\)．
(1)若\(B=\{x|m-6≤x≤2m-1\}\),\(A⊆B\)，求实数\(m\)的取值范围；
(2)若\(B=\{x|m+1≤x≤2m-1\}\),\(B⊆A\),求实数\(m\)的取值范围．
解析集合\(A=\{x|x^2-3x-10≤0\}=\{x|-2≤x≤5\}\)，
(1)\(∵A⊆B\)，\(\therefore\left\{\begin{array}{l}
m-6 \leq-2 \\
2 m-1 \geq 5
\end{array}\right.\)，解得：\(3≤m≤4\)，
\(∴\)实数\(m\)的取值范围为\([3,4]\)；
(2)\(∵B⊆A\)，
①当\(B=∅\)时，\(m+1>2m-1\)，即\(m<2\)，
②当\(B≠∅\)时，\(\left\{\begin{array}{l}
m+1 \leq 2 m-1 \\
m+1 \geq-2 \\
2 m-1 \leq 5
\end{array}\right.\)，解得：\(2≤m≤3\)，
综上所述，实数\(m\)的取值范围为：\((-∞,3]\)．
点拨 若集合\(A=\{x│m<x<n\}=∅\)，即\(m≥n\)；对于涉及不等式的集合关系，可画数轴了解其关系.
巩固练习
1.已知集合\(A=\{x∣a-1≤x≤a+2\}\)，\(B=\{x∣3<x<5\}\)，则能使\(A⊇B\)成立的实数\(a\)的取值范围是( )
A．\(\{a∣3<a≤4\}\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(\{a∣3<a<4\}\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(\{a∣3≤a≤4\}\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(∅\)
2.若集合\(A=\{x∣x^2+x-6=0\}\)，\(B=\{x∣mx+1=0\}\)且\(B⊆A\)，则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
3.已知集合\(A=\{x|x^2-3x-10≤0\}\)，集合\(B=\{x|p+1≤x≤2p-1\}\)．若\(B⊆A\)，则实数\(p\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 \(∵A⊇B\)，\(\therefore\left\{\begin{array}{l} a-1 \leq 3 \\ a+2 \geq 5 \end{array}\right.\)，\(∴3≤a≤4\)，故选\(C\)． - 答案 \(C\)
解析 \(A=\{x∣x^2+x-6=0\}=\{-3,2\}\)．
因为\(B⊆A\)，所以方程\(mx＋1=0\)的解可以是\(－3\)或\(2\)或无解．
当\(mx＋1=0\)的解为\(－3\)时，由\(－3m＋1=0\)得\(m=\dfrac{1}{3}\)；
当\(mx＋1=0\)的解为\(2\)时，由\(2m＋1=0\)得\(m=-\dfrac{1}{2}\)；
当\(mx＋1=0\)无解时，\(m=0\)．
综上可知，\(m\)的值为\(\dfrac{1}{3}\)或\(-\dfrac{1}{2}\)或\(0\)． - 答案 \((-∞,3]\)
解析 \(∵\)集合\(A=\{x|x^2-3x-10≤0\}=\{x|-2≤x≤5\}\)，集合\(B=\{x|p+1≤x≤2p-1\}\)，
\(B⊆A\)，
\(∴\)当\(B=∅\)时，\(p+1>2p-1\)，\(p<2\)．
当\(B≠∅\)时，有\(-2≤p+1\)且\(p+1≤2p-1\)且\(2p-1≤5\)，解得\(2≤p≤3\)．
综上，\(p\)的范围为\((-∞,3]\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.设\(A,B\)是两个集合，有下列四个结论：
①若\(A⊈B\)，则对任意\(x∈A\)，有\(x∉B\)；
②若\(A⊈B\)，则集合\(A\)中的元素个数多于集合\(B\)中的元素个数；
③若\(A⊈B\)，则\(B⊈A\)；
④若\(A⊈B\)，则一定存在\(x∈A\)，有\(x∉B\)．
其中正确结论的个数为( )
A．\(4\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(3\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(2\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(1\)
2.已知全集\(U=R\)，则正确表示集合\(M=\{-1,0,1\}\)和\(N=\{x∣x^2+x=0\}\)关系的韦恩(Venn)图是 ( )
3.满足条件\(\{1,2,3,4\}⊆M⊊\{1,2,3,4,5,6\}\)的集合\(M\)的个数是( )
A．\(2\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(3\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(4\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(5\)
4.集合\(M=\{x|x=3k-2,k∈Z\}\)，\(P=\{y|y=3n+1,n∈Z\}\)，\(S=\{z|z=6m+1,m∈Z\}\)之间的关系是( )
A．\(S\)真包含于\(P\)真包含于\(M\)
B．\(S=P\)真包含于\(M\)
C．\(S\)真包含于\(P=M\)
D．\(M=P\)真包含于\(S\)
5.已知\(M=\left\{x \in N \mid \dfrac{6}{6-x} \in N\right\}\)，则集合\(M\)的子集的个数是( )
A．\(8\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(16\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(32\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(64\)
6.已知集合\(M=\{0,1\}\)，集合\(N=\{0,2,1-m\}\)，若\(M \subseteq N\)，则实数\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
7.含有三个实数的集合可表示为\(\left\{a, \dfrac{b}{a}, 1\right\}\)，也可表示为\(\{a^2,a+b\}\)，则\(a^{2013}+b^{2014}\)的值为\(\underline{\quad \quad}\) .
8.已知\(A=\{x|x<-1\)或\(x>5\}\)，\(B=\{x|a≤x<a+4\}\)，若\(B⫋A\)，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
9.集合\(A=\{-1,2\}\)，\(B=\{x|ax-2=0\}\)，若\(B⊆A\)，则由实数\(a\)组成的集合为\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 对于①，不一定，比如\(A=\{1,2,4\},B=\{1,2,3\}\).故错误；
②若\(A⊈B\)，不一定，比如\(A=\{1,2,4\},B=\{1,2,3,5,6\}\).故错误；
③若\(B⊊A\)，则\(A⊈B\)，但\(B⊈A\)不成立，故错误；
④若\(A⊈B\)，则一定存在\(x∈A\)，有\(x∉B\)，故正确．
故正确结论的个数为\(1\)个，故选：\(D\) - 答案 \(B\)
解析 由\(N=\{x∣x^2+x=0\}=\{-1,0\}\)，则\(N⊂M\). - 答案 \(B\)
解析 \(∵\{1,2,3,4\}⊆M⊊\{1,2,3,4,5,6\}\)，
\(∴\)集合\(M\)中必有元素\(1,2,3,4\)，
且集合\(M\)中还有元素\(5,6\)中的\(0\)个或\(1\)个，
\(∴\)满足条件\(\{1,2,3,4\}⊆M⊊\{1,2,3,4,5,6\}\)的集合M的个数是：\(3\)．
故选：\(B\)． - 答案 \(C\)
解析 \(∵M=\{x|x=3k-2,k∈Z\}\)，\(N=\{y|y=3n+1,n∈Z\}\)，\(S=\{y|y=6m+1,m∈Z\}\)
\(∴M=\{…-8,-5,-2,1,4,7,10,13,16…\}\),
\(P=\{…-8,-5,-2,1,4,7,10…\}\)，\(S=\{…1,7,13,19,25,…\}\)
故\(S⊊P=M\)，故选：\(C\)． - 答案 \(B\)
解析 由于\(x∈N\)，则\(x=0,1,2,3,…\)
当\(x=0\)时，\(\dfrac{6}{6-0}=1 \in N\)，当\(x=1\)时，\(\dfrac{6}{6-1}=\dfrac{6}{5} \notin N\)，
当\(x=2\)时，\(\dfrac{6}{6-2}=\dfrac{3}{2} \not \nsubseteq N\)，当\(x=3\)时，\(\dfrac{6}{6-3}=\dfrac{6}{3}=2 \in N\),
当\(x=4\)时，\(\dfrac{6}{6-4}=\dfrac{6}{2}=3 \in N\)，当\(x=5\)时，\(\dfrac{6}{6-5}=6 \in N\)，
当\(x=7\)时，\(\dfrac{6}{6-7}=-1 \notin N\),…
故集合集合\(A=\{0,3,4,5\}\)，所以集合\(A\)子集个数为\(2^4=16\)个．
故选：\(B\)． - 答案 \(0\)
解析 由题意知\(M⊆N\)，又集合\(M=\{0,1\}\)，因此\(1∈N\)，即\(1-m=1\)．故\(m=0\)． - 答案 \(-1\)
解析 若\(a=a^2\)，\(a=0\)或\(1\)，代回集合，不满足集合元素的互异性；则\(a=a+b\)，得\(b=0\)，
从而易得\(a=-1\)；故\(a^{2013}+b^{2014}=-1\). - 答案 \(\{a|a>5\)或\(a≤-5\}\)
解析 作出数轴可得，要使\(B⫋A\)，则必须\(a+4≤-1\)或\(a>5\)，解之得\(\{a|a>5\)或\(a≤-5\}\)． - 答案 \(\{-2,1,0\}\)
解析 \(∵\)集合\(A=\{-1,2\}\)，\(B=\{x|ax-2=0\}\)，\(B⊆A\)，
\(∴B=∅\)或\(B=\{-1\}\)或\(B=\{2\}\)
\(∴a=0,1,-2\)．
\(∴\)由实数\(a\)组成的集合为：\(\{-2,1,0\}\)．
【B组---提高题】
1.集合\(A=\{(x,y)|y=|x|\}\)，集合\(B=\{(x,y)|y>0,x∈R\}\)，则下列说法正确的是( )
A．\(A⊆B\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(B⊆A\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(A∩B=∅\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．集合\(A、B\)间没有包含关系
2.设集合\(P_1=\{x|x^2+ax+1>0\}\)，\(P_2=\{x|x^2+ax+2>0\}\)，其中\(a∈R\)，下列说法正确的是( )
A．对任意\(a\)，\(P_1\)是\(P_2\)的子集
B．对任意\(a\)，\(P_1\)不是\(P_2\)的子集
C．存在\(a\)，使得\(P_1\)不是\(P_2\)的子集
D．存在\(a\)，使得\(P_2\)是\(P_1\)的子集
3.已知集合\(A=\{x|x=4n+1,n∈Z\}\)，\(B=\{x|x=4n－3,n∈z\}\)，\(C=\{x|x=8n+1,n∈z\}\)，则\(A,B,C\)的关系是( )
A．\(C\)是\(B\)的真子集、\(B\)是\(A\)的真子集
B．\(A\)是\(B\)的真子集、\(B\)是\(C\)的真子集
C．\(C\)是\(A\)的真子集、\(A=B\)
D．\(A=B=C\)
4.已知集合\(M=\left\{x \mid x=m+\dfrac{1}{6}, m \in N\right\}\)，\(N=\left\{x \mid x=\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3}, n \in N\right\}\)，则\(M,N\)的关系为( )
A．\(M=N\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(N⊊M\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(M⊊N\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(N⊆M\)
5.已知集合\(A=\left\{x \mid x=k+\dfrac{1}{6}, k \in N\right\}\)，\(B=\left\{x \mid x=\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{3}, m \in N\right\}\)，\(C=\left\{x \mid x=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{6}, n \in N\right\}\)，则集合\(A、B、C\)的大小关系是( )
A．\(A⫋C⫋B\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(C⫋A⫋B\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(A⫋B=C\)\(\qquad\)\(\qquad\) D．\(A⫋B⫋C\)
6.已知集合\(A=\{x|x>1\}\),\(B=\{x|ax>1\}\)，若\(B⊆A\)，则实数\(a\)的取值范围( )
A．\((0,1)\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\((0,1]\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\([0,1]\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\([0,1)\)
7.若集合\(A=\{x∣(k+2)x^2+2kx+1=0\}\)有且仅有\(2\)个子集，则实数\(k\)的值是 ( )
A．\(-2\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(-2\)或\(-1\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(2\)或\(-1\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(±2\)或\(-1\)
8.已知集合\(A=\left\{x \mid x^{2}-3 x+2=0\right\}\)，\(B={x|x^2+2(a+1)x+a^2-5=0}\),若\(B⊆A\)，则\(a\)的取值范围\(\underline{\quad \quad}\)．
9.已知集合\(A=\{x|2a≤x≤a^2+1\}\)，\(B=\{x|x^2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0\}\)，其中\(a∈R\)．
(1)若\(4∈A,3∉A\)，求实数\(a\)的取值范围；
(2)若\(A⊆B\),求实数\(a\)的取值范围．
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 \(A=\{(x,y)|y≥0,x∈R,\)且\(y=|x|\}\)；
\(∴(0,0)∈A\)，而\((0,0)∉B\)；\((0,1)∈B\)，而\((0,1)∉A\)；
\(∴\)集合\(A,B\)间没有包含关系．
故选：\(D\)． - 答案 \(A\)
解析 由\(x^2+ax+1>0\)，则有\(x^2+ax+2=x^2+ax+1+1>0+1>0\)，
由\(x^2+ax+2>0\)，则有\(x^2+ax+1=x^2+ax+2-1>-1\)
不能推出\(x^2+ax+1>0\)，
即\(P_1⊊P_2\)，故选：\(A\)． - 答案 \(C\)
解析 \(∵A=\{x|x=4n+1,n∈Z\}\)， \(B=\{x|x=4n－3=4(n-1)+1,n∈Z\}\)，
\(∴A=B\)；故排除选项\(A,B\)；又\(∵5∈A，5∉C\)，\(∴\)排除\(D\)，
故选\(C\)． - 答案 \(C\)
解析 由集合\(M=\left\{x \mid x=m+\dfrac{1}{6}, m \in N\right\}\)，\(N=\left\{x \mid x=\dfrac{n}{2}-\dfrac{1}{3}, n \in N\right\}\)，用\(n\)代替\(n+1\)可得\(\dfrac{3(n+1)-2}{6}=\dfrac{3 n+1}{6}, \quad n \in Z\)，
所以\(N=\left\{x \mid x=\dfrac{3 n+1}{6}, \quad n \in Z\right\}\)，所以\(M⊊N\)，故选：\(C\)． - 答案 \(A\)
解析 \(∵\)集合\(C=\left\{x \mid x=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{6}, n \in N\right\}\)，
\(∴\)当\(n=2a(a∈N)\)时，\(x=\dfrac{2 a}{2}+\dfrac{1}{6}=a+\dfrac{1}{6}\)，
当\(n=b-1(b∈N^*)\)时，\(x=\dfrac{b-1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{b}{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{b}{2}-\dfrac{1}{3}\)，
又\(∵\)集合\(A=\left\{x \mid x=k+\dfrac{1}{6}, \quad k \in N\right\}\)，\(∴A⫋C\)，
又\(∵\)集合\(B=\left\{x \mid x=\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{3}, \quad m \in N\right\}\)，
\(∴\)集合\(B\)比集合\(C\)多一个元素\(=-\dfrac{1}{3}\)，即\(C⫋B\)，
综上所求：\(A⫋C⫋B\)，
故选：\(A\)． - 答案 \(C\)
解析 已知集合\(A=\{x|x>1\},B=\{x|ax>1\}\)，
若\(B⊆A\)，则\(A\)集合包含\(B\)集合的所以元素，
解\(B\)集合时，当\(a<0\)时，不满足题设条件，
当\(a=0\)时，\(x\)无实数解，\(B\)集合为空集，满足条件，
当\(a>0\)时，\(x>\dfrac{1}{a}\)，则\(\dfrac{1}{a} \geq 1, a \leq 1\)，即\(0<a≤1\)，
综上则实数\(a\)的取值范围为：\([0,1]\),
故选：\(C\)． - 答案 \(D\)
解析 要使得一个集合有且仅有\(2\)个子集，则须使集合有且仅有\(1\)个元素．
因此方程\((k+2)x^2+2kx+1=0\)要么有且仅有一个实根，即\(k+2=0,k=-2\)；
要么有且仅有两个相等的实根．由\(Δ=(2k)^2-4(k+2)=0\)得\(k=-1\)或\(k=2\).
所以选\(D\)． - 答案 \((-∞,-3]\)
解析 由题得\(A=\{1,2\}\),因为\(B⊆A\)，则
①\(B=∅\)，所以\(△=4(a+1)^2-4(a^2-5)=8a+24<0\)，解得\(a<-3\)；
②\(B=\{1\}\)，则\(\left\{\begin{array}{l} \Delta=8 a+24=0 \\ 1+2(a+1)+a^{2}-5=0 \end{array}\right.\)，解得方程组无解；
③\(B=\{2\}\)，则\(\left\{\begin{array}{l} \Delta=8 a+24=0 \\ 4+4(a+1)+a^{2}-5=0 \end{array}\right.\)，解得\(a=-3\)；
④\(B=\{1,2\}\)，则\(\left\{\begin{array}{l} \Delta=8 a+24>0 \\ 1+2(a+1)+a^{2}-5=0 \\ 4+4(a+1)+a^{2}-5=0 \end{array}\right.\)，无解．
综上\(a∈(-∞,-3]\)． - 答案 (1) \([\sqrt{3}, 2]\) (2)\(\{a|a=-1\)或\(1≤a≤3\}\)
解析 (1)因为\(4∈A\)，所以\(2a≤4≤a^2+1\)，解得\(a \leq-\sqrt{3}\)或\(\sqrt{3} \leq a \leq 2\)．
又\(3∉A\)，所以\(2a>3\)或\(a^2+1<3\)，故\(-\sqrt{2}<a<\sqrt{2}\)或\(a>\dfrac{3}{2}\)．
\(∴\)若\(4∈A\)，\(3∉A\)，有\(\sqrt{3} \leq a \leq 2\)；
故\(a\)的取值范围是：\([\sqrt{3}, 2]\)．
(2)\(B=\{x|(x-2)[x-(3a+1)]≤0\}\)，
当\(3a+1=2\)，即\(a=\dfrac{1}{3}\)时，\(B=\{2\}\)，不合题意．
当\(3a+1<2\)，即\(a<\dfrac{1}{3}\)时，\(B={x|3a+1≤x≤2}\)，所以\(\left\{\begin{array}{l} 3 a+1 \leq 2 a \\ a^{2}+1 \leq 2 \end{array}\right.\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} a \leq-1 \\ -1 \leq a \leq 1 \end{array}\right.\)，解得\(a=-1\)．
当\(3a+1>2\)，即\(a>\dfrac{1}{3}\)时，\(B=\{x|2≤x≤3a+1\}\)，所以\(\left\{\begin{array}{l} 2 a \geq 2 \\ a^{2}+1 \leq 3 a+1 \end{array}\right.\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} a \geq 1 \\ 0 \leq a \leq 3 \end{array}\right.\)，解得\(1≤a≤3\)．
综上知，\(a=-1\)或\(1≤a≤3\)．
故实数\(a\)的取值范围是\(\{a \mid a=-1\)或\(1≤a≤3\}\)．
【C组---拓展题】
1.设集合\(M=\{1,2,3,4,5,6\}\)，\(S_1,S_2,⋯,S_k\)都是\(M\)的含两个元素的子集，且满足：对任意的\(S_i=\{a_i,b_i \}\)，\(S_j={a_j,b_j }(i≠j,i、j∈{1,2,3,…,k})\)，都有\(\min \left\{\dfrac{a_{i}}{b_{i}}, \dfrac{b_{i}}{a_{i}}\right\} \neq \min \left\{\dfrac{a_{j}}{b_{j}}, \dfrac{b_{j}}{a_{j}}\right\}(\min \{x, y\}\)表示两个数\(x,y\)中的较小者\()\)，则\(k\)的最大值是( )
A．\(10\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(11\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(12\)\(\qquad\)\(\qquad\) D．\(13\)
2.已知\(A=\{x|x^2-5x+4≤0\},B=\{x|x^2-2ax+a+2≤0\}\)，且\(B⊆A\)，则\(a\)的取值范围为( )
A． \(\left[2, \dfrac{18}{7}\right]\) \(\qquad\)\(\qquad\) B． \(\left(-1, \dfrac{18}{7}\right]\) \(\qquad\)\(\qquad\) C． \(\left(-\infty, \dfrac{18}{7}\right]\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\([2,+∞)\)
3.设\(S=\{r_1,r_2,…,r_n\}⊆\{1,2,3,…,50\}\),且\(S\)中任意两数之和不能被\(7\)整除，则\(n\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 含\(2\)个元素的子集有\(15\)个，但\(\{1,2\}、\{2,4\}、\{3,6\}\)只能取一个；\(\{1,3\}、\{2,6\}\)只能取一个；\(\{2,3\}、\{4,6\}\)只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有\(11\)个. - 答案\(B\)
解析由题意：\(A=\left\{x \mid x^{2}-5 x+4 \leq 0\right\}=\{x \mid 1 \leq x \leq 4\}\),\(B=\left\{x \mid x^{2}-2 a x+a+2 \leq 0\right\}\)
\(∵B⊆A\),
\(∴\)当\(B=∅\)时，满足题意，
此时\(x^2-2ax+a+2≤0\)无解，\(△<0,4a^2-4(a+2)<0\)，解得\(-1<a<2\)．
当\(B≠∅\)时，要使\(B⊆A\)成立，此时令\(f(x)=x^2-2ax+a+2≤0\)有解，
\(△≥0\),\(4a^2-4(a+2)≥0\),解得：\(a≥2\)或\(a≤-1\)．
根据二次函数根的分布，可得\(\left\{\begin{array}{l} f(1) \geq 0 \\ f(4) \geq 0 \end{array}\right.\)，即\(\left\{\begin{array}{l} 1-2 a+a+2 \geq 0 \\ 16-8 a+a+2 \geq 0 \end{array}\right.\)，解得：\(a \leq \dfrac{18}{7}\)，
\(\therefore 2 \leq a \leq \dfrac{18}{7}\)，
综上可得：\(-1<a \leq \dfrac{18}{7}\)，故选：\(B\). - 答案 \(23\)
解析 可将\(S\)集合分为6组
\(S_0=\{7,14,21,28,35,42,49\}\)，则\(card(S_0 )=7\)
\(S_1=\{1,8,15,22,29,36,43,50\}\)，则\(card(S_1 )=8\)
\(S_2=\{2,9,16,23,30,37,44\}\)，则\(card(S_2 )=7\)
\(S_3=\{3,10,17,24,31,38,45\}\)，则\(card(S_3 )=7\)
\(S_4=\{4,11,18,25,32,39,46\}\)，则\(card(S_4 )=7\)
\(S_5=\{5,12,19,26,33,40,47\}\)，则\(card(S_5 )=7\)
\(S_6=\{6,13,20,27,34,41,48\}\)，则\(card(S_6 )=7\)
\(S\)中的任何两个数之和不能被\(7\)整除，
故\(S_1\)和\(S_6\)，\(S_2\)和\(S_5\)，\(S_3\)和\(S_4\)中不能同时取数，且\(S_0\)中最多取一个，
所以最多的取法是取\(S_1\)，\(S_2(\)或\(S_5)\)，\(S_3(\)或\(S_4)\)，和S\(_0\)中的一个，
故\(card(S)_{max}=8+7+7+1=23\)，
故答案为\(23\).
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