[luoguP3172] [CQOI2015]选数（递推+容斥原理）

传送门

 

不会莫比乌斯反演，不会递推。

但是我会看题解。

 

先将区间[L,H]变成(L-1,H]，这样方便处理

然后求这个区间内gcd为k的方案数

就是求区间((L-1)/k,H/k]中gcd为1的方案数

 

有个重要的性质：如果有一些不相同的数，最大的为a，最小的为b，任意选取其中的一些数，则他们的gcd<=a-b

 

设f[i]表示gcd为i且所选的数不相同的方案数，但是不好求，只容易求出gcd为i的倍数g[i]的方案数

考虑容斥原理，f[i] = g[i] - f[2i] - f[3i] - ……

计算g[i]的时候要把相同的数的方案数减去，因为我们有个前提，只有数都不相同时gcd的大小才能保证

倒着递推便可以省略g数组

 

#include <cstdio>
#define N 100001
#define p 1000000007
#define LL long long

using namespace std;

LL f[N];
int n, k, l, r, flag, len;

inline LL ksm(LL x, int y)
{
	LL ret = 1;
	for(; y; y >>= 1)
	{
		if(y & 1) ret = ret * x % p;
		x = x * x % p;
	}
	return ret;
}

int main()
{
	int i, j, x, y;
	scanf("%d %d %d %d", &n, &k, &l, &r);
	if(l <= k && k <= r) flag = 1;
	l--, l /= k, r /= k, len = r - l;
	//转变成求区间(l, r]中gcd为1的方案数
	for(i = len; i >= 1; i--)
	{
		x = l / i, y = r / i;
		f[i] = (LL)(ksm(y - x, n) - (y - x)) % p;
		for(j = i + i; j <= len; j += i) f[i] = (f[i] - f[j]) % p;
	}
	printf("%lld\n", (f[1] + flag + p) % p);
	return 0;
}