【模板】左偏树
一听左偏树这个名字就感觉左偏。。
左偏树是什么，好像就是个堆，大根堆或小根堆，可以支持合并，取堆顶元素，删除堆顶元素，插入元素的操作。
一些说明：
左偏树节点除了应有的东西，还有键值和距离，键值用于比较大小，距离是什么？
距离是这样定义的：
节点i称为外节点(external node)，当且仅当节点i的左子树或右子树为空 ( left(i) = NULL或right(i) = NULL )；节点i的距离(dist(i))是节点i到它的后代中，最近的外节点所经过的边数。特别的，如果节点i本身是外节点，则它的距离为0；而空节点的距离规定为-1 (dist(NULL) = -1)。一棵左偏树的距离，指的是该树根节点的距离。
额。。多看几遍才看懂。
左偏树具体有一些性质：
[性质1] 节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值。（键值就是点权）——堆的性质
[性质2] 节点的左子节点的距离不小于右子节点的距离。——左偏
[性质3] 节点的距离等于它的右子节点的距离加1。（因为左偏，所以右儿子距离小）
[引理1] 若左偏树的距离为一定值，则节点数最少的左偏树是完全二叉树。
[定理1] 若一棵左偏树的距离为k，则这棵左偏树至少有2k+1-1个节点。
[性质4] 一棵N个节点的左偏树距离最多为ëlog(N+1)û -1。(这是什么鬼？)
根据性质就可以理解左偏树操作的具体步骤了。
合并A和B：1.如果有一个树为空就返回另一个
2.假定root(A).w < root(B).w, 否则交换A和B，把root(A)作为新树的根
3.合并right(A)和B, 继续步骤2
4.由于合并之后right(A)的距离可能会变大, 如果变大就交换right(A)和left(A)
5.由于right(A)距离改变，A的距离也会变，更新dis(A) = dis(right(A)) + 1
1 //合并以 x, y 为根的堆 2 inline int merge(int x, int y) 3 { 4 if(!x || !y) return x + y; 5 if(w[x] > w[y]) swap(x, y); 6 r[x] = merge(r[x], y); 7 f[r[x]] = x;//并查集 8 if(d[l[x]] < d[r[x]]) swap(l[x], r[x]); 9 d[x] = d[r[x]] + 1; 10 return x; 11 }
删除堆顶元素：删除后合并他的两个儿子即可
1 inline int pop(int x)//返回新合并的堆的堆顶 2 { 3 int lc = l[x], rc = r[x]; 4 f[lc] = lc; 5 f[rc] = rc; 6 l[x] = r[x] = d[x] = 0; 7 return merge(lc, rc); 8 }
取出堆顶元素：更智障
1 inline int top(int x)//第几个数所在堆的堆顶 2 { 3 return w[x]; 4 }
还有一些操作用到了并查集，具体细节看完整代码。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 4 using namespace std; 5 6 int n, m; 7 int f[100001], l[100001], r[100001], w[100001], d[100001];//f[i]表示第i个数所在堆的堆顶 8 bool b[100001];//表示是否被删除 9 //合并以 x, y 为根的堆 10 inline int merge(int x, int y) 11 { 12 if(!x || !y) return x + y; 13 if(w[x] > w[y]) swap(x, y); 14 r[x] = merge(r[x], y); 15 f[r[x]] = x;//并查集 16 if(d[l[x]] < d[r[x]]) swap(l[x], r[x]); 17 d[x] = d[r[x]] + 1; 18 return x; 19 } 20 21 inline int pop(int x)//返回新合并的堆的堆顶 22 { 23 int lc = l[x], rc = r[x]; 24 f[lc] = lc; 25 f[rc] = rc; 26 l[x] = r[x] = d[x] = 0; 27 return merge(lc, rc); 28 } 29 30 inline int find(int x) 31 { 32 return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]); 33 } 34 35 inline int top(int x)//第几个数所在堆的堆顶 36 { 37 return w[x]; 38 } 39 40 int main() 41 { 42 int i, j, x, y, c, fx, fy; 43 scanf("%d %d", &n, &m); 44 for(i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]), f[i] = i; 45 for(i = 1; i <= m; i++) 46 { 47 scanf("%d", &c); 48 if(c == 1) 49 { 50 scanf("%d %d", &x, &y); 51 if(b[x] || b[y]) continue;//如果有一个数被删除 52 fx = find(x); 53 fy = find(y); 54 if(fx == fy) continue;//在同一个堆中 55 merge(fx, fy);//合并 56 } 57 else 58 { 59 scanf("%d", &x); 60 if(b[x]) printf("-1\n"); 61 else 62 { 63 fx = find(x); 64 printf("%d\n", w[fx]); 65 b[fx] = 1; 66 f[fx] = pop(fx); 67 //因为有的节点指向当前堆的堆顶，所以也得更新删除的堆顶 68 } 69 } 70 } 71 return 0; 72 }
