全序和偏序的关系

偏序： 设R是非空集合A上的关系，如果R是自反的，反对称的，和传递的，则称R是A上的偏序关系。
偏序的定义：设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：
Ⅰ 自反性：对任意x∈A，有xRx；
Ⅱ 反对称性（即反对称关系）：对任意x,y∈A，若xRy，且yRx，则x=y；
Ⅲ 传递性：对任意x, y,z∈A，若xRy，且yRz，则xRz。 则称R为A上的偏序关系。

全序：如果R是A上的偏序关系，那么对于任意的A集合上的 x,y，都有 x <= y，或者 y <= x，二者必居其一，那么则称R是A上的全序关系。
全序的定义：设集合X上有一全序关系，如果我们把这种关系用 ≤ 表述，则下列陈述对于 X 中的所有 a, b 和 c 成立：
如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性)
如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性) a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)
注意：完全性本身也包括了自反性。 所以，全序关系必是偏序关系

所以可以看到，全序也是一种偏序。偏序究竟在说啥，关键在于反对称性上，就是说，<x,y> 在关系R上，那么 <y,x> 不在关系R上，那我问你，<y,x> 关系是啥，就是未知。所以说偏序就在于你的集合A={1,2,3,4}，有一些元素的关系根据R你是得不出的。那么既然你不知道这个<y,x>，那么全序关系上，就多加一个条件，都有 x <= y，或者 y <= x，二者必居其一。