MLP 实战：用手工数据拟合直线 y = mx + b

前面我们讲到 MLP 的本质就是“函数建模”，即通过调整参数（权重 w、偏置 b）去逼近输入与输出之间的关系。
那么问题来了：如果我们给出一组很简单的线性数据，比如一条直线 y = mx + b，MLP 能不能自己学会这条直线呢？

答案是 可以。这就是线性回归在神经网络框架中的最小演示。

二、实验设计
• 我们不再用函数公式生成 y，而是 手工定义一组数字对 (x, y)。
• 输入 x = [0,1,2,3,4]
• 输出 y = [1,3,5,7,9]
• 这些点近似符合 y = 2x + 1。
• 用一个最简单的 单层 MLP（nn.Linear(1,1)） 来拟合。
• 优化器：SGD，损失函数：均方误差（MSE）。
• 训练结束后，读取模型的权重、偏置，看是否接近 m=2, b=1。

# -*- coding: utf-8 -*-
# 用手工数据训练 y = mx + b，并读出 m 和 b

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim

# 1) 手工定义数据
x_list = [0., 1., 2., 3., 4.]
y_list = [1., 3., 5., 7., 9.]

X = torch.tensor(x_list, dtype=torch.float32).unsqueeze(1)  # [N,1]
y = torch.tensor(y_list, dtype=torch.float32).unsqueeze(1)  # [N,1]

# 2) 定义模型：单层线性层，相当于 y = w*x + b
model = nn.Linear(1, 1)

# 3) 损失函数 & 优化器
criterion = nn.MSELoss()
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.05)

# 4) 训练过程
for epoch in range(2000):
    optimizer.zero_grad()
    y_pred = model(X)
    loss = criterion(y_pred, y)
    loss.backward()
    optimizer.step()

    if (epoch+1) % 400 == 0:
        w = model.weight.item()
        b = model.bias.item()
        print(f"Epoch {epoch+1:4d} | loss={loss.item():.6f} | w={w:.4f} | b={b:.4f}")

# 5) 最终结果
w = model.weight.item()
b = model.bias.item()
print("\n===> 学到的参数:")
print(f"w (斜率 m) = {w:.6f}")
print(f"b (截距 b) = {b:.6f}")

# 6) 测试预测
with torch.no_grad():
    test_x = torch.tensor([[6.0]])
    pred = model(test_x)
    print(f"\n当 x=6.0 时，预测 y_hat={pred.item():.4f}")

总结与对应关系
1. 模型定义：nn.Linear(1,1) 就是一个简单的函数机器，只有一个权重 w 和一个偏置 b。
2. 损失函数：用 MSE 衡量预测值与真实值的差距。
3. 训练过程：通过梯度下降不断调整 w, b。
4. 结果：模型学会了最优的直线，参数接近我们手工定义的真实关系。

🌱 一句话总结
MLP 不仅能解决复杂的非线性分类问题，在最简单的情况下，它也能像传统线性回归一样，学会一条直线的函数关系。

小结

通过本章的代码实验，我们验证了：即使是最简单的一条直线关系 y = mx + b，也可以通过一个 单层线性网络（Linear(1,1)） 来完成建模。
• 我们在数据中人为指定了已知的输入与输出关系（线性映射）。
• 计算机在训练过程中，并不知道这条直线的斜率和截距是多少，它只能通过 数据模式的学习 来逐步“猜测”合适的参数。
• 在反复的迭代中，权重（对应斜率）和偏置（对应截距） 不断被调整，使得预测值与真实值越来越接近。

这就是训练的核心任务：
👉 让模型参数通过数据驱动不断逼近最优解，使得模型的预测结果能够匹配实际观测数据。

这就引出了一个关键问题：
👉 如果我们遇到的不是直线，而是更加复杂的曲线关系，单层的线性模型还能胜任吗？

答案是否定的。
为了解决这种情况，我们需要引入：
• 多层感知机（MLP）的非线性建模能力，
• 激活函数的作用，让决策边界可以弯曲甚至分段，
• 以及 更复杂的优化方法 来帮助模型收敛。

✨ 所以下一章，我们将从“优化器与非线性模型”开始，探索如何让 MLP 在面对复杂数据时依然能够找到合理的规律。