高一下期末数学总结

估分114，计算失误8分，就算加上也只有122，此卷充分展现了本人在函数，平面向量的方面上的巨大漏洞，以及熟练度问题

以下是考场上被卡住的题，包括未做出的\(14，17(2)(ii),18(2)(3),19(2)\)

10. 已知 \( a = \log_{2} 5 \)，\( b = \log_{3} \frac{1}{5} \)，则

A. \( ab > 0 \)
B. \( 4^{a} \cdot 9^{b} = 1 \)
C. \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 1 \)
D. \( \log_{6} 12 = \frac{2b - a}{b - a} \)

解：
A:错
B:对
C：换底公式，将底数换成$5$，$log_{5} 2 + log_{5} 3 = log_{5} 6 > 1$
D:将$a, b$带入后，换底5，原式$=\frac{2log_{5} 2 + log_{5} 3}{log_{5} 2 + log_{5} 3} = log_{6} 12$，D好多人没选，仔细想想其实不难

8. 在 \(\Delta ABC\) 中，已知 \(a + c = 3b\)，\(A - C = \frac{\pi}{3}\)，则 \(\cos B =\)

A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\frac{5}{6}\)
D. \(\frac{3}{8}\)

解：考前刚看了和差化积，$\frac{1}{2}$ \((sinA+sinC)\) = \(sin(\frac{A + C}{2})cos(\frac{A-C}{2})\),再用半角公式


14. 在平面四边形 ABCD 中，E, F 分别为 AD, BC 的中点，若 AB = 4, CD = 2, 且 \(\overrightarrow{EF}\) \(\cdot\) \(\overrightarrow{AB} = 9\)，则 $|\overrightarrow{EF}| = $

解：分解$EF = \frac{1}{2}(AB + DC)$,就做完了，根本没有填空压轴的水平，不知道考场上怎么就没想到，直接被zq叼
17. （本题满分 15 分）

记 \((\triangle ABC\) 的内角 \(A, B, C\) 的对边分别为 \(a, b, c\)，已知 \(c = b \left(1 + 2\cos A\right)\)。

(1) 证明：\(A = 2B\)；
(2) 若 \(a = 6\)，\(b = 5\)，
　　(i) 求 \(\cos A\) 的值；
　　(ii) 若点 \(M, N\) 分别在边 \(BC\) 和 \(AC\) 上，且 \(\triangle CMN\) 与 \(\triangle ABC\) 的面积之比为 \(\frac{1}{6}\)，求线段 \(MN\) 长的最小值。

（ii）计算错误，寄

18. （本题满分 17 分）

设函数 \(f(x) = \ln \frac{x}{6 - x} + ax - b\) \((a > 0)\)，\(b \in \mathbb{R}\)。

(1) 判断函数 \(f(x)\) 的单调性（无需证明）；
(2) 证明：曲线 \(y = f(x)\) 是中心对称图形；
(3) 若 \(3a = b\)，解关于实数 \(t\) 的不等式 \(f\left(t^2 - 2t + 3\right)\) + \(f\left(3 + t\right)\) \(>\) \(0\)

解：(2)只需通过定义域找到\(x = 3\),欸。

(3)根据（2），\(-f(3 + t) = f(3 - t)\),等于求\(t^2-2t+3>3-t\),别忘了定义域\((0,6)\)

19. （本题满分 17 分）

四边形 \(ABCD\) 中，\(AB = AD = 4\)，连接 \(BD\)，\(BC: BD: CD = 3:4:5\)，将 \(\triangle ABD\) 沿 \(BD\) 翻折至 \(\triangle PBD\)，其中点 \(P\) 为动点。

(1) 若 \(BD = 4\sqrt{2}\)，且平面 \(PBD \perp\) 平面 \(BCD\)，
　　(i) 求三棱锥 \(P-BCD\) 外接球的半径；
　　(ii) 求二面角 \(B-PD-C\) 的正切值；

(2) 在翻折过程中，若四边形 \(PBCD\) 为平面四边形，求线段 \(PC\) 长的最大值。

解：（2）没来得及看，考完后看真的很简单，B，C，D，已经确定一个平面，P只有两个位置，只有可能P在BD左边最长，直接设角度列函数，\(PC_max = 8\)

总结：这张卷子应该是我离150最近的一次了，好多平时会做的题，考场上却想不起来。

下面是一些trick:

1.三角函数A+B，A-B可考虑和差化积

2.平面向量题可从分解基底，平方切入

3.函数别忘定义域

4.log不会就换底