枚举

组合数学：离散对象 -> 安排

枚举法

条件：

1. 离散
2. 有范围

分类讨论

例1：

方程:

\[x^2 + y^2 + z^2 = 2019, \quad x, y, z \text{ 属于素数}. \]

假设

\[x \leq y \leq z \]

• 设 \(x = 2\)，...
• 设 \(x = 3\)，...

...

最后答案要乘 3 的阶乘。

例2：

七位数 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

条件:
偶数位的数字等于相邻两数之差。

• \(1 = 3 - 2 = 4 - 3 = 5 - 4 = 6 - 5 = 7 - 6\)
• \(2 = 3 - 1 = 5 - 3 = 6 - 4 = 7 - 5\)
• \(3 = 4 - 1 = 5 - 2 = 7 - 4\)
• \(4 = 5 - 1 = 6 - 2 = 7 - 3\)
• \(5 = 6 - 1 = 7 - 2\)
• \(6 = 7 - 1\)

相邻两个偶数位：

• \(a, x, b, y, c\)

若 \(a > b > c\):

• \(x = a - b, y = b - c\)
• \(x + y = a - c\)

若 \(a > b, b < c\):

• \(x = a - b, y = c - b\)
• \(x + y = a + c - 2b\)

若 \(a < b, b > c\):

• \(x = b - a, y = b - c\)
• \(x + y = 2b - a - c\)

若 \(a < b < c\):

• \(x = b - a, y = c - b\)
• \(x + y = c - a\)

......

好吧，写不下去了，以上是错误案例

1 2 3 4 5 6 7

• \(a, b, c, d, e, f, g\)

总和:

\[1 + 2 + 3 + ... + 7 = 28 \]

Trick ：分析奇偶

• \(f = |e - g| \Rightarrow 2 |e + f + g |\)
• \(d = |c - e| \Rightarrow 2 |d|, \, d = 2, 4, 6\)
• \(b = |a - c| \Rightarrow 2 |a + b + c|\)

减少枚举：

枚举规则必须一致：

<1> d = 2:

• {1，5，6}，
• {3，4，7}，
• 7432516，7432156，7342651，7342615

<2> d = 4

• {2, 3 ,5},
• {1, 6, 7},
• ... ...

例3

\[h = 4a + 10b + 19c \]

\[a + b + c = 94 \]

h有多少种

• \(a = 94 - b - c\),
• \(h = 4(94 - b - c) + 10b + 19c\)
• \(h = 376 + 6b + 15c\)

trick : 5 * 10 = 3 * 4 + 2 * 19

• 所以\(b\) \(<=\) \(4\)

but, why

• 这里可能一下子转不过来
• \(b\)只有5种取值，
• 如果\(b = 5\),那就等价于\(a = 3, c = 2\) -> \(b = 0\) ,会造成重复