初等数学问题解答-7：分式不等式证明

 

本题适合初三以上数学爱好者解答。

 

问题：

设 $x, y, z, a, b, c, r > 0$. 证明: $${x + y + a + b \over x+ y + a + b + c + r} + {y + z + b + c \over y + z + a + b + c} > {x + z + a + c \over x + z + a + b + c + r}.$$

证明：

考虑对左式通分并逐步缩小。$${x + y + a + b \over x+ y + a + b + c + r} + {y + z + b + c \over y + z + a + b + c + r}$$ $$> {x + y + a + b \over x + y + z + a + b + c + r} + {y + z + b + c \over x + y + z + a + b + c + r}$$ $$= {x + 2y + z + a + 2b + c \over x + y + z + a + b + c + r}$$ $$> {x + y + z + a + c \over x + y + z + a + b + c + r}$$ $$ > {x + z + a + c \over x + z + a + b + c + r}.$$ 最后一个不等式成立的依据是, 对于函数 $$f(x) = {x \over x+t} = 1 - {t \over x+t},\ (t>0)$$在 $(-t, +\infty)$ 上单调递增.

 

 

 

作者简介：

赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，曾执教于首师大附属实验学校及北京四中，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。

 

 

作者微信：zhaoyin0506