2016猿辅导初中数学竞赛训练营作业题解答-11

 

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1. 一个两位数的数字和等于7, 如果每个数字加上2, 那么得到的数比原数的二倍小3, 求这个数.

解答:

设十位数字是 $x$, 则个位数字是 $7 - x$. 由题意有 $$2(10x + 7 - x) - 3 = 10(x + 2) + 7 - x + 2 \Rightarrow x = 2.$$ 因此该两位数为 $25$.

 

2. 有一两位数, 除以它的各数位上的数的和, 得商6余3; 如把十位上的数与个位上的数对调后所得的新数, 除以它的各数位上的数的和, 得商4余9, 求此两位数.

解答:

设该两位数为 $\overline{xy}$. 则由题意有 $$\begin{cases}10x + y = 6(x + y) + 3\\ 10y + x = 4(x + y) + 9\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x = 7\\ y = 5 \end{cases}$$ 因此该两位数为 $75$.

 

3. 两个三位整数, 它们的和加1得1000, 如把较大数放在小数的左边, 点一个小数点在两数之间所成的数, 正好等于把小数放在大数的左边, 中点点一个小数点所成的数的6倍, 求这个两位数.

解答:

设较大数为 $x$, 则较小数为 $999-x$. 由题意有 $$x + {999-x \over 1000} = 6\left(999 -x + {x \over 1000}\right) \Rightarrow x = 857.$$ 因此较大数为 $857$, 较小数为 $142$.

 

4. 设有六位数 $\overline{1abcde}$ 乘以3后, 变为 $\overline{abcde1}$, 求这个数.

解答:

令 $\overline{abcde} = x$, 则由题意有 $$3(100000 + x) = 10x + 1 \Rightarrow 42857.$$ 因此该六位数为 $142857$.

 

5. 求一切正整数, 它的首位数是6, 去掉这个6, 所成的整数是原数的 $\displaystyle{1\over25}$.

解答:

设该正整数为 $N = 6\times10^{n} + m$, 其中 $m$ 是 $n$ 位数, 且 $0 \le m < 10^n$. 由题意有 $$6\times10^{n} + m = 25m \Rightarrow m = 2^{n-2} \cdot 5^n$$ $$\Rightarrow N = 6\times 10^n + 2^{n-2} \cdot 5^n = 600 \times 10^{n-2} + 25 \times 10^{n-2} = 625 \times 10^{n-2}.$$ 即所求正整数为 $625$, $6250$, $62500$, $\cdots\cdots$.