数学奥林匹克问题解答：平面几何-7

设 $AC, CE$ 是正六边形 $ABCDEF$ 的两条对角线, 点 $M, N$ 分别内分 $AC, CE$ 的比为: $\displaystyle{AM\over AC} = {CN\over CE} = r$. 如果 $B, M, N$ 三点共线.

试求 $r$.

(IMO 23.5)

分析:

由已知比例式可知, $\triangle{ABC}$ 与 $\triangle{CDE}$ 是对应三角形, 进而 $\triangle{ABM}$ 与 $\triangle{CDN}$ 旋转全等. 由此作为突破口并结合正六边形性质进行分析.

解答:

连结 $DN$, 易知 $\triangle{ABM}$ 可绕点 $O$ 逆时针旋转至 $\triangle{CDN} \Rightarrow BM = DN$ 且 $\angle{BND} = 120^{\circ}$.

连结 $OD, OB$, 易知 $\angle{BOD} = 120^{\circ}\Rightarrow O, B, D, N$ 四点共圆.

连结 $OC$, 易知 $CO = CD = CB\Rightarrow C$ 是 $\triangle{OBD}$ 之外心 $\Rightarrow CN = CO$.

因此 $r = \displaystyle{CN \over CE} = {CO \over CE} = {\sqrt{3}\over 3}$.

Q$\cdot$E$\cdot$D

 

 

 

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