数学奥林匹克问题解答：平面几何-3

已知：等腰梯形 $ABCD$ 中, $AD\parallel BC$, 在 $AB$ 外作正方形 $ABPQ$, 在 $CD$ 外作正方形 $CDRS$, $QR$ 交 $AD$ 于 $E$, $PS$ 交 $BC$ 于 $F$.

求证: $EF\perp BC$.

分析:

由等腰梯形及正方形性质, 考虑构造全等三角形.

证明:

过 $Q, S$ 分别作 $AH$ 垂线交 $AH$(或其延长线)于 $G, H$.

由 $\angle{QGA} = \angle{RHD} = 90^{\circ},\ \angle{AQG} = \angle{GAB} = \angle{ABC} = \angle{DCB} = \angle{DRH},\ AQ = AB = CD = DR$,

可得 $\triangle{AQG} \cong \triangle{DRH}$, 进而易证 $\triangle{EQG}\cong \triangle{ERH} \Rightarrow E$ 是 $GH$ 中点.

同理, 过 $P, S$ 分别作 $BC$ 垂线交 $BC$(或其延长线)于 $I, J$, 易证 $F$ 是 $IJ$ 之中点.

$\because \triangle{AQG}\cong\triangle{BPI}\cong\triangle{DRH}\cong\triangle{CSJ}$,

$\therefore$ 四边形 $GIJH$ 是等腰梯形.

而 $E, F$ 分别是上下底的中点, 故 $EF \perp BC$.

Q$\cdot$E$\cdot$D

 

 

作者微信: zhaoyin0506 (可直接扫描以下二维码)