数学奥林匹克问题解答：平面几何-2

已知: $\triangle{ABC}$ 中, $D$ 是 $BC$ 的中点, $E, F$ 是 $AB, AC$ 边上的两点, 过 $C, B$ 分别作 $CG\parallel DF, BG\parallel DE$ 交于 $G$, $I$ 为 $AH$ 中点.

求证: $ID\parallel AG$.

分析:

考虑到平行及中点, 可尝试通过找到更多中点构造中位线, 进而运用平行线比例性质证明.

证明:

过 $H$ 作平行于 $BC$ 之直线分别交 $AB, DE, DF, AC$ 于 $J, K, L, M$.

$\because D$ 是 $BC$ 中点, $\therefore K, L$ 分别是 $JH, HM$ 中点.

连结 $IK, IL$, 则 $IK, IL$ 分别为 $\triangle{ALH}$ 和 $\triangle{AHM}$ 之中位线.

$\triangle{IKL}$ 与 $\triangle{ABC}$ 三组对应边分别平行, 即二者是位似图形, 位似中心为三个对应顶点之交点$N$.

下面须证明 ${ND \over DG} = {NI \over IA}$, 其关键在于证明 $N, D, G$ 三点共线.

连结 $NG$ 交 $ED$(或其延长线)于 $D^{\prime}$.

易证 ${ND^{\prime}\over D^{\prime}G} = {NK\over KB} = {NL\over LC}$, 即 $D^{\prime}$ 在 $FD$(或其延长线)上, 亦即 $D^{\prime}$ 是 $ED, FD$ 之交点, 由此可知 $D = D^{\prime}$.

$\because N, D, G$ 三点共线, $\therefore {ND \over DG} = { NL \over LC} = {NI \over IA}$, 故 $ID\parallel AG$.

Q$\cdot$ E$\cdot$ D

 

 

 

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