[ICPC 2026 APC] Worldwide Playlist

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P16568

设 \(p_u\) 为歌曲 \(u\) 在播放列表 \(a\) 中的位置（\(1\) 开始），\(q_i = p_{b_i}\) 为第 \(i\) 首要听的歌曲在 \(a\) 中的位置。

从 \(a\) 的第 \(1\) 首出发，要听到 \(b_1\) 需要跳过 \((q_1-1)\) 次；听完 \(b_1\) 后自动进入 \(q_1\) 的下一首，要听到 \(b_2\) 需要跳过 \((q_2-q_1-1+n)\bmod n\) 次。依此类推，总跳过次数为

\[S=(q_1-1)+\sum_{i=2}^{n}\bigl((q_i-q_{i-1}-1+n)\bmod n\bigr). \]

把求和展开并抵消中间项，得到简洁公式

\[S=q_n-n+n\cdot ans, \]

其中 \(ans=\bigl|{i\in[2,n]\mid q_i\le q_{i-1}}\bigr|\) 即序列 \(q\) 中“非上升”相邻对的个数。

因此我们只需要只需维护数组 \(q\)（\(q_i\) 为 \(b_i\) 在 \(a\) 中的位置）、末尾值 \(q_n\) 以及计数 \(ans\)。

对于交换 \(a_x,a_y\)，只会改变这两首歌的 \(p\) 值，从而在 \(q\) 中恰好改变两个位置（设为 \(i,j\)）。先删除这两个位置及其邻居对 \(k\) 的贡献，更新 \(a\) 与 \(p\)，等到后面我们再重新计算贡献。然后直接交换 \(b\) 中两个位置的歌曲，\(q_x,q_y\) 随之改变（变为对方原来的 \(p\) 值）。最后重新统计一下这两个位置的逆序对。

对于交换 \(b_x,b_y\)，同样先删除受影响的对（\(x\) 与 \(y\) 及其邻居），更新 \(b\) 与 \(q\)，再加回贡献。

受影响的下标至多 \(6\) 个，用 set 去重后 \(O(1)\) 维护即可。总复杂度 \(O((n+d)\log n)\)（这里的 \(\log\) 来自小常数的 set ）。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 10;
int a[maxn], b[maxn];
int p[maxn], q[maxn];
int ans = 0;
int pre[maxn];
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	int n, d;
	cin >> n >> d;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		cin >> a[i];
		p[a[i]] = i;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		cin >> b[i];
		q[b[i]] = i;
	}
	for (int i = 2; i <= n; i ++) {
		if (p[b[i]] < p[b[i - 1]]) ans ++;
	}
	cout << ans * n - (n - p[b[n]]) << "\n";
	d --;
	while (d --) {
		int c, x, y;
		cin >> c >> x >> y;
		if (c == 1) { // 替换 a
			int i = q[a[x]]; // 替换的数x在b里的下标
			int j = q[a[y]]; // 替换的数y在b里的下标
			set<int> tmp;
			// 受影响的位置，我们一律向前看
			if (i > 1) tmp.insert(i);
			if (i < n) tmp.insert(i + 1);
			if (j > 1) tmp.insert(j);
			if (j < n) tmp.insert(j + 1);
			// 删掉原本逆序对
			for (int e : tmp) {
				if (p[b[e - 1]] > p[b[e]]) ans --;
			}
			// 更换
			swap(p[a[x]] ,p[a[y]]);
			swap(a[x], a[y]);
			// 重新计算逆序对
			for (int e : tmp) {
				if (p[b[e - 1]] > p[b[e]]) ans ++;
			}
			cout << ans * n - (n - p[b[n]]) << "\n";
		}
		else { // 替换b的操作基本一样，这里不再赘述
			set<int> tmp;
			if (x > 1) tmp.insert(x);
			if (x < n) tmp.insert(x + 1);
			if (y > 1) tmp.insert(y);
			if (y < n) tmp.insert(y + 1);
			for (int e : tmp) {
				if (p[b[e - 1]] > p[b[e]]) ans --;
			}
			int u = b[x], v = b[y];
			swap(b[x], b[y]);
			q[u] = y;
			q[v] = x;
			for (int e : tmp) {
				if (p[b[e - 1]] > p[b[e]]) ans ++;
			}
			cout << ans * n - (n - p[b[n]]) << "\n";
		}
	}
	return 0;
}