26考研数学精华实战笔记汇总（日更·收藏备用）

荒原之梦考研数学网介绍

「荒原之梦考研数学」是一个专注于考研数学的学习平台，成立于 2017 年。荒原之梦考研数学既立足于严谨的数学理论，又着眼于考研实战，同时不拘泥于传统的教育教学方法——我们只有一个目标，就是让同学们可以在考场上更快更轻松地解题，拿到自己理想的分数。

「荒原之梦考研数学」的知识点和题目解析可以开拓同学们的解题思路，内容涵盖数学一、数学二、数学三、396 数学所要求掌握的高等数学（高数）、线性代数（线代）和概率统计（概率）三大科目，同时还有对考研数学历年统考真题和理学数学自命题真题的深入详细解析。

「荒原之梦考研数学」中的大部分文章都图文并茂，虽然撰写这些学习笔记需要花费大量的时间和精力，但是，能够陪伴着同学们在追逐梦想的道路上共同进步，已然是荒原之梦考研数学最值得骄傲和自豪的事情——当同学们点开下面的这一篇篇文章时，荒原之梦考研数学存在的价值，就已经得到了实现。

即便筚路蓝缕，也要留给岁月以无悔的奋斗，加油，共勉！

更新日志

2025年10月

• 2025年10月01日：分块矩阵的常用运算汇总

2025年09月

• 2025年09月30日：三角形的五个“心”：重心、垂心、内心、外心、旁心

• 2025年09月29日：次幂形式的极限未定式，一般都可以先尝试取对数

• 2025年09月28日：由 arctan 的三角恒等式得到的一个等价无穷小公式

• 2025年09月27日：基于几何证明有关 arctan 的一个三角恒等式

• 2025年09月26日：左极限和右极限的两种不同表示形式

• 2025年09月25日：求解多元函数中某个变量的偏导数时，最好先将其他变量的已知值代入原式

• 2025年09月24日：绝对收敛与条件收敛级数及其性质的向量化图形证明

• 2025年09月23日：证明：绝对收敛的级数的正项和负项构成的新级数一定都收敛

• 2025年09月22日：证明：条件收敛的级数的正项和负项构成的新级数一定都发散

• 2025年09月21日：怎么把一个级数拆分成正项和负项两部分？

• 2025年09月20日：单重求和转一重积分，双重求和转二重积分

• 2025年09月19日：峰说 | AI 就像一个呆板的人掌握了大量的知识

• 2025年09月17日：收敛级数和发散级数相加所得的级数一定发散

• 2025年09月17日：收敛级数的加法运算性质

• 2025年09月16日：向量加法满足交换律与结合律的图形证明

• 2025年09月13日：平时所说的收敛是绝对收敛还是条件收敛？

• 2025年09月11日：数列和级数的区别与联系

• 2025年09月08日：两个收敛的级数逐项交替合并（隔项合并）后得到的级数也收敛

• 2025年09月07日：借助向量工具研究数列隔项合并之后的敛散性

• 2025年09月04日：借助向量工具研究数列加减运算之后的敛散性

• 2025年09月03日：峰说 | 祖国万岁！吾辈自强！

2025年08月

• 2025年08月27日：提取公因式的时候别被根号迷惑了

• 2025年08月24日：借助极限与无穷小的关系求解极限

• 2025年08月23日：要使含有三角函数的数列的子列存在极限，则步长需要是三角函数周期的整数倍

• 2025年08月21日：常见级数的敛散性（扩展版）

• 2025年08月20日：峰说 | 专注力，比天赋更重要

• 2025年08月20日：一种展示数列变化并进行计算的图形绘制方法

• 2025年08月18日：在一阶线性微分方程的求解公式中可以使用变限积分

• 2025年08月17日：基于矢量乘法模型分析函数乘积平移的性质

• 2025年08月14日：通过分类讨论分析函数乘积平移的性质

• 2025年08月09日：通过代换简化微分方程：自变量代换

• 2025年08月09日：一点处函数值的多种表示形式

• 2025年08月07日：通过代换简化微分方程：函数代换

• 2025年08月07日：峰说 - 500 年后的考研题长啥样？

• 2025年08月06日：两个函数发生平移变换前后相乘所得函数相等性的分析

• 2025年08月05日：由变限积分得来的微分方程一般存在隐含的初值

• 2025年08月02日：判断一个函数是否是奇函数的核心：原点处的函数值是否等于零

2025年07月

• 2025年07月31日：峰说 | 跌跌撞撞地成长

• 2025年07月27日：利用e^{kx}的求导特性凑原函数

• 2025年07月18日：无穷小夹逼定理：两个等价无穷小之间只存在等价无穷小

• 2025年07月17日：配平分子分母的时候，可以直接用具体的极限值

• 2025年07月15日：峰闻 - 深空中的旅行者号探测器

• 2025年07月14日：什么叫极限存在？什么叫极限不存在？

• 2025年07月10日：峰闻 - 毅力号火星车的研磨钻头

• 2025年07月10日：做复合函数逆复合运算的时候，该不该用换元法？

• 2025年07月08日：峰说 - 研究生毕业了，你想怎么庆祝一下？

• 2025年07月07日：峰闻 - 毅力号火星车上的“阿斯克勒庇俄斯之杖”铭牌

• 2025年07月07日：要计算 ∞-∞ 型未定式，一般要先转为 ∞/∞ 或 0/0 型未定式

• 2025年07月06日：容易想的思路不容易做，容易做的思路不容易想

• 2025年07月01日：微分方程的通解一定要写成标准的函数形式吗？

2025年06月

• 2025年06月25日：为什么对 y 的积分和对 x 的积分可以相等？

• 2025年06月21日：在求解过程中被“隐”去的量，其实是不需要求解的

• 2025年06月20日：为什么二阶微分方程中解的二阶导函数的连续性只取决于右端项的连续性？

• 2025年06月19日：加减运算对函数连续性的影响

• 2025年06月16日：函数间断点的分类与图象示例

• 2025年06月13日：关于可导必连续的一个基于积分平滑性的证明

• 2025年06月12日：峰说峰语 | 比纠结考研还是找工作更重要的，是明确未来的方向

• 2025年06月12日：关于可导必连续的一个传统方式证明

• 2025年06月11日：为什么积分运算具有使函数变得“平滑”的能力？

• 2025年06月09日：用函数图象看明白函数极值与数列极限之间的关系

• 2025年06月08日：对数可以将“指数因子”变成“乘数因子”

• 2025年06月05日：等价无穷小的本质： x=0 处斜率相等

2025年05月

• 2025年05月31日：函数的表达式必须由函数的自变量组成

• 2025年05月26日：峰说峰语：AI 时代，我们还需要学习吗？

• 2025年05月23日：逆矩阵快速求解公式：满足一元二次方程形式的矩阵

• 2025年05月20日：一个很重要但经常被忽略的求导公式

• 2025年05月16日：为什么极限场景下的求和一般可以表示为积分？

• 2025年05月11日：极限的四则运算和指数运算法则

• 2025年05月09日：用地铁线路理解单重求和与双重求和的计算

• 2025年05月08日：常用的凑微分公式汇总

• 2025年05月07日：凑微分，分步凑

• 2025年05月05日：峰说峰语：梦想和天空的距离

• 2025年05月04日：2019 年考研数二第 21 题解析：拉格朗日中值定理、罗尔定理、费马引理、积分的几何意义、反证法（5种解法+18幅图）

• 2025年05月03日：求复合函数偏导数的两种方式：先求导再代换、先代换再求导

2025年04月

• 2025年04月27日：极限运算中的高阶无穷小该怎么参与运算？

• 2025年04月25日：计算质点和非质点之间引力的方法：微元法

• 2025年04月24日：曲线与 X 轴所围图形的面积怎么算？积分+绝对值

• 2025年04月19日：在极限计算中使用反常积分的上下限时，一定要注意区分左右

• 2025年04月18日：峰式田字格：确定变量含有绝对值的分段函数的复合运算要分几段计算

• 2025年04月16日：用定积分的定义计算数列和时怎么确定积分上下限？

• 2025年04月15日：定积分比大小的时候，一定要关注积分上下限的相对大小

• 2025年04月14日：你知道“一阶导等于零的点一定是驻点”这句话隐含了什么条件吗？

• 2025年04月13日：在无穷意义上扩展的罗尔定理及其证明和应用

• 2025年04月11日：沿坐标轴方向上的平移变换不会改变驻点在函数图像上的绝对位置

• 2025年04月11日：罗尔定理的本质：基于圆形的几何逻辑证明罗尔定理

• 2025年04月10日：用汽车的加速度理解导数的存在性（一点处的可导性）

• 2025年04月06日：微分中的一个定理：ds=1

• 2025年04月05日：有 N 个零点的函数，一定至少有 N-1 个驻点吗？

• 2025年04月01日：峰说峰语：用电池的主动受控快速放电提升电动载具的安全性

• 2025年04月01日：极值点是一个点吗？

2025年03月

• 2025年03月31日：驻点不是一个点吗？

• 2025年03月31日：与原函数和一阶导函数相关的五个“点”之间的关系图：尖点、驻点、极值点、端点、最值点

• 2025年03月29日：2019年考研数二第20题解析：波纹函数、定积分累加求和、等比数列

• 2025年03月27日：2019年考研数二第19题解析：波纹函数、定积分累加求和、等比数列

• 2025年03月26日：快速求导的策略：幂指数相同时先合并幂指数

• 2025年03月25日：峰说峰语：盲目的自信和草率的自卑，矛盾而又统一

• 2025年03月24日：周期函数的兄弟：波纹函数

• 2025年03月23日：乘积的极限存在，因子的极限不一定也都存在

• 2025年03月20日：关于 0/0 和 ∞/∞ 型极限的正负性

• 2025年03月18日：2019年考研数二第18题解析：利用对称性和极坐标求解二重定积分

• 2025年03月18日：峰说峰语：真正的“豪放”是拥有了丰富的世俗价值，却又不在乎这些世俗价值

• 2025年03月11日：峰式特例法：所有 n 维向量都可以尝试假定为一维向量

• 2025年03月10日：在极限问题中，不要相信任何一个“等号”

• 2025年03月06日：基于乘除法相对含量的式子复杂度定义

• 2025年03月02日：求导运算和次幂运算“强相关”的函数一般就是倒数函数

• 2025年03月01日：高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图

2025年02月

• 2025年02月27日：为什么“尖点”一定是不可导点？因为尖点不是“双胞胎点”

• 2025年02月26日：判断一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法

• 2025年02月23日：适当的“双标”，于己于人都有益

• 2025年02月22日：峰式思维：等于零和趋于零在计算的时候到底有啥区别？

• 2025年02月17日：峰说峰语：生活是离散的，离开一个地方，就离开了一段人生

• 2025年02月16日：矩估计原理的“峰式”图形化解释

• 2025年02月09日：峰说峰语：“宰相肚里能撑船”，但如果年轻的你还不是“宰相”，请不要如此“包容”

• 2025年02月08日：极限什么时候需要区分正负，什么时候不需要区分正负？

• 2025年02月05日：通过画图理解函数与数列之间相互嵌套复合后的敛散与单调性

2025年01月

• 2025年01月29日：对“二阶嵌套分式”的一种快速变形定理

• 2025年01月28日：荒原之梦网恭贺新春：2025乙巳蛇年

• 2025年01月26日：峰说峰语：考研数学考的是“智商”还是“积累”？

• 2025年01月26日：分子越复杂越好算，分母越复杂越难算：在分母中构造分式，可以将分母中的内容往分子中转移

• 2025年01月14日：矩估计详解

• 2025年01月12日：一次性看懂期望和均值的联系与区别

• 2025年01月12日：图解随机变量和样本观测值的联系与区别

• 2025年01月10日：对含有 sin 或 cos 的被积函数做分部积分一般要做两次

• 2025年01月07日：什么是点估计？点估计的作用是什么？

• 2025年01月06日：峰说峰语：没有“锋”就不会有“芒”

• 2025年01月06日：经验分布函数的图形化理解

• 2025年01月02日：峰式 (FENG Type) 图形法：直观地理解数列及数列的基本性质

• 2025年01月01日：荒原之梦：写在二零二五年的第一天