求平方根的两种实现方式：二分法、牛顿迭代法

一、二分法

　　思路： 假设要求一个数字 A 的平方根，可以想象一个长为a、宽为b的矩形，这个矩形的面积就是数字A 。 当长=宽时，这个矩形就是正方形。在面积不变的情况下，使矩形变成正方形就需要调整长、宽的值，无非是长变短一点、宽变长一点，通过不停的迭代，直到长=宽时就能求出A的平方根，由于一个数的平方根可能是小数，所以只需要求出近似值即可（符合给定的误差范围就行）

 以下是用go语言实现的代码：

// 全局变量，精度
var precision = 0.000001

// Sqrt 计算开平方 , val是要计算平方根的值, mode是模式， 0 为二分法，1位牛顿迭代
func Sqrt(val float64, mode int8) (float64, error) {
	if val < 0 {
		return 0, errors.New("负数没有平方根")
	}

	switch mode {
	case 0:
		return sqrtBisection(val, 1, (val/2)-1)
	case 1:
		return sqrtNewtonRaphson(val)
	default:
		return 0, errors.New("不识别的模式")
	}
}

// 二分法求平方根
func sqrtBisection(val float64, left float64, right float64) (float64, error) {

	count := 0
	for left <= right {
		// 左，右 边界值相加在除以2得到结果值
		result := (left + right) / 2
		tmp := result * result
		if tmp-val <= precision && tmp-val >= precision*-1 {
			fmt.Printf("二分法循环次数:%v\n", count)
			return result, nil
		} else if tmp > val {
			right = result
		} else {
			left = result
		}
		count += 1
	}

	return -1, errors.New("计算错误")

}

 

 

 

二、牛顿迭代法求平方根：

   思想： 该方法的核心思想是通过在曲线上的某点做切线，该切线的根就很接近曲线的根，通过多次迭代即可无限逼近曲线真正的根 （前提是该曲线确实存在根，且给定范围内可导，平方方程可以写成： x^2 +c = 0 , 这个方程明显是可导的，所以可以用牛顿迭代法求平方根）。

   参考： https://www.zhihu.com/question/20690553

go语言实现：

func sqrtNewtonRaphson(val float64) (float64, error) {
	// 平方的表达式： x^2 + val = 0 , val就是要开平方的数
	// 平方的导数: k=2x
	// 第一个曲线上的点 (val/2, f(x) ) ,
	// 求出该点的 切线方程，通用切线方程: y=kx+c => 2x^2 +c => c= y-2x^2
	// 求出该切线方程的根（与x轴的交点）
	// 判断该根的平方与 val的误差是否在精度内容， 如果是则返回，否则继续以该根为x坐标，算出y坐标，得到下一次迭代的点坐标，然后继续上面的步骤

	// ------------------------------------------------

	// 求得曲线上y坐标的方程
	getYval := func(x float64) float64 {
		return x*x - val
	}

	// 求切线方程的常数项c的函数
	getTangentC := func(x float64, y float64) float64 {
		return y - 2*(x*x)
	}

	// 求切线的根的函数
	getTangentRoot := func(k float64, c float64) float64 {
		return -c / k
	}

	// 第一个点的坐标
	x := val / 2
	y := getYval(x)

	// 求得切线c的值
	c := getTangentC(x, y)

	// 求得切线的根
	root := getTangentRoot(2*x, c)

	// 根的平方值
	tmp := root * root

	// 迭代的次数
	count := 1

	// 迭代执行
	for {
		if tmp-val <= precision && tmp-val >= precision*-1 {
			break
		}
		x = root
		y = getYval(x)
		c = getTangentC(x, y)
		root = getTangentRoot(2*x, c)
		tmp = root * root
		count += 1
	}
	fmt.Printf("牛顿迭代法循环的次数:%v\n", count)
	return root, nil
}

 

 

 

如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方（数值分析）？ - 马同学的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/20690553/answer/146104283如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方（数值分析）？ - 马同学的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/20690553/answer/146104283如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方（数值分析）？ - 马同学的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/20690553/answer/146104283