leetcode 887 鸡蛋掉落

非常经典，综合的题目。这一道题想到二分查找是不困难的，但是要想把二分查找正确的应用起来则需要使用动态规划的方法。将动态规划函数设置为dp（k，n）。根据在某一点的扔鸡蛋结果，如果碎了，代表需要在当前楼层以下的楼中进行测试，并且可用的鸡蛋数量少了一个，所以递归的函数为dp（k-1,x-1），若是没碎，则代表所要找的楼层肯定在当前楼层之上，递归函数为dp（k,n-x）。接下来则是最为困难也关键的过程。我们需要寻找的是这两个函数中最大值的最小值，也就是分别考虑两种情况下的最坏情况，并且进行比较，其中较小的值才是我们想要的。而从两个函数的表达式可以看出，分别为增函数与减函数，而这两个函数较大值的最小值，就是这两个函数曲线的交点处取的。也就是说，要通过递归实现对这个点的不断逼近，由于这个最小值点不一定是整数，所以需要取到两边的两个整数进行比较。而这个逼近的过程就可以通过二分查找来实现。这么一想下来，逻辑还是较为清晰的。贴代码。

class Solution {
public:
    unordered_map<int,int> memory;
    int superEggDrop(int k, int n) 
    {
        return dp(k,n);
    }
    int dp(int k,int n)
    {
        if(memory.find(n*100 + k) == memory.end())
        {
            int res;
            if(n == 0)
            res = 0;
            else if(k == 1)
            res = n;
            else
            {
                int l = 1;
                int h = n;
                while(l+1<h)
                {
                    int mid = (l+h)/2;
                    int x0 = dp(k-1,mid-1);
                    int x1 = dp(k,n-mid);
                    if(x0<x1)
                    l = mid;
                    else if(x0>x1)
                    h = mid;
                    else
                    l = h = mid;
                }
                res = 1+ min(max(dp(k-1,l-1),dp(k,n-l)),max(dp(k-1,h-1),dp(k,h-1)));
            }
            memory[n*100 + k] = res;            
        }
        return memory[n*100 + k];
    }
};

想了一晚上，有了一点关于双蛋问题的思路。该问题最重要的点在于，其所求的最小值，代表着即便每一步都是碎，也能完成所有楼层的测试。从这一个思路出发就会简单很多。首先假设最少的次数为k，第一次扔鸡蛋的楼层为m，因为只有两个鸡蛋，所以在最坏的情况下，也就是第一次碎了，剩下的k-1次机会也一定能够将剩下的m-1个楼层测试完成。在这个思路上，因为最后只剩一个鸡蛋，所以最稳妥的做法是从第一层开始一楼一楼往上爬，而一楼一楼爬最高能爬k-1楼，因为最多也只剩k-1次机会，当然也可以从更低的楼开始爬，但是就浪费了两个蛋的潜力。也就是说，这里的k = m。接下来，考虑第一次没碎的情况，这种情况下，可以把k层楼往下的所有楼层当成平地，这样一来，又变成了两个鸡蛋，k-1次机会的问题，这里能爬最高k-1楼。以此类推，为了能完全发挥两个蛋的潜力，自然要让这里的k变成1，而在k变成1之后，所有爬楼的总和一定大于楼层的总和，如果取100，那k就等于14，这样就完成了双蛋问题。

想明白了，官方题解中的逆向的方法，为什么状态转移方程会那样写，因为如果在某一层碎了，代表这一层网上的所有楼层都变成了天空，而剩下的k-1个蛋和t-1次机会是留给往下的楼层的。没碎同理，代表该楼层往下的所有楼层都是平地，剩下的k个蛋和t-1次机会是留给网上的楼层的，完成。贴代码

int calcF(int K, int T)
    {
        if (T == 1 || K == 1) return T + 1;
        return calcF(K - 1, T - 1) + calcF(K, T - 1);
    }

    int superEggDrop(int K, int N)
    {
        int T = 1;
        while (calcF(K, T) < N + 1) T++;
        return T;
    }

又想到了一个点，在这一公式中，碎裂所递归的式子的结果一定等于当前楼层的高度，因为这是蓄谋已久的，而不碎往上，则是意外之喜，在往上的过程中，同样需要考虑下一次碎了怎么办，或者说从下一次开始一直碎，碎到全部都碎了，这是最坏的情况，然而即便是最坏的情况也能够将该楼层往下的所有楼层全部查清。也就是说，当鸡蛋来到某一层，就代表着这一层往下的已经有十足的把握能够查清，如果运气好没碎，那就再按照规律往上爬，calcf（k-1，t-1）这个式子是来到这一层就已经获得了的，calcf（k-1，t-1）则是往上爬按照最稳妥的规律能够得到的最大提升。