树状数组与线段树

树状数组与线段树

树状数组

看着这个视频学的。

想象一下，我们以这样的方式存储元素：把与a[i]之前的部分元素合存在我们的数组t[i]中，与a[i]无关的元素存在t[j]( j < i)，这样，需要求前i个元素合时，需要用t[i]加上前j个元素合，而求取前j个元素就要用t[j]加上前面的无关元素，以此类推。是不是很像前缀合呢？确实很像，前缀和存储前面全部的元素，而树状数组存储部分元素，比起前缀合O(1)的时间得出区间合的优势，树状数组则需要O(logN)的时间，但是后者修改单个元素也只需要O(logN)的时间（稍后细索），稳定的时间是其最大的优势。

1. 前置知识

上面说了依照部分元素去存储，那怎么判断存储多少呢？LOW-BIT个元素。

简单的来说：low-bit，将一个数化为二进制后，最后一个1与后面的0构成其low-bit。

sample:

原数字	二进制	low-bit	十进制low-bit
1	01	1	1
2	10	10	2
5	101	1	1
8	1000	1000	8
7	111	1	1

有趣的是，low-bit存在快速计算方法，以5为例：

二进制：010，反码：101，反码加1：110，计算其low-bit只需二进制并反码加一

即：

\[lowbit(x) = x\&(-x) \]

2.原理

分成两种实现方式，前缀和与差分，前缀和用于单项修改，区间查找，差分用于区间修改、单项查找。

前缀和

这里的前缀合是指t(n)存放的是若干的元素的合

我们需要两个操作：查找元素前缀和，单项修改。

首先是查找元素前缀和，假设数组t[n]，对于其中元素t[i]，存放它前low-bit个的元素和，需要使用时，递加减去low-bit的t[n]

//需要前x个数字的合
ans = 0
for(; x ; x -= lowbit(x))
	ans+=t[x]
return ans

//无非就是把前缀和分成logN个部分嘛

（先写到这儿）