满足介质性质的函数加连续函数不一定有介值性质

\(f(x)\) 是连续函数，\(g(x)\) 满足介质性质，记 \(h(x)=f(x)+g(x)\)。

证明：\(h(x)\) 不一定满足介值性质。

njm/bx

反例：令 \(\mathbb{R}\) 的一组 Hamel 基为 \(\{\alpha_i\}\)。

令 \(x=\sum_{i=1}^{n}q_{i}\alpha_{x_i}\)。

其中 \(q_i\ne 0\)，\(x_1<x_2<\cdots<x_n\)。

定义：

\[f(x)=\begin{cases} f(x)=1&x=0\\ f(x)=\sum_{i=1}^{\color{red}{n-1}} q_{i}\alpha_{x_{i}}&x\ne 0\\ \end{cases} \]

则不难发现：

1. \(f\) 在任意 \([a,b)\) 区间内值域都为 \(\mathbb{R}\)，因此 \(f\) 满足介质性质；
2. \(f(x)\ne x\)。

因此，定义 \(g(x)=-x\)，显然 \(g(x)\) 连续。

则 \(h(x)\) 没有零点，因此 \(h(x)\ne 0\)，不满足介质性质。

其它反例和证明：https://math.stackexchange.com/questions/2659170/is-the-sum-of-a-darboux-function-and-a-continuous-function-darboux/3839722#3839722