题解：CF2077E Another Folding Strip

怎么都不是这么做的？？？

先考虑计算 \(f(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)。

考虑一次折叠相当于将编号为 \(p_1<p_2<\cdots<p_k\) 的格子减一，然后要求 \(p_i\) 和 \(p_{i-1}\) 奇偶性不同。

考虑构建一张二分图，其中左部点表示入度，右部点表示出度。入度 \(i\) 能和出度 \(j\) 匹配，当且仅当 \(j<i\)，且\(i,j\) 奇偶性不同。

那么最少操作次数，就等价于 \(\sum_{i=1}^{n} a_i-\text{maxmatch}\)。

计算 \(\text{maxmatch}\) 考虑 Hall 定理，对于权值，我们可以等效看成多个点，令 \(L\) 表示左部点集合，\(N(S)\) 表示 \(S\) 集合出边的并集。由于 \(\text{maxmatch}=|L|-\max_{S\subseteq L}\{|S|-|N(S)|\}\)，所以最少操作次数为 \(\max_{S\subseteq L}\{|S|-|N(S)|\}\)。

对于 \(N(S)\)，我们发现我们只关心 \(S\) 集合中的编号最大值 \(mx_1\)，以及编号和 \(mx_1\) 奇偶性不同的编号最大值 \(mx_2\)。我们发现，\(mx_2\) 前面的位置选，不会对 \(N(S)\) 造成影响，同时 \((mx_2,mx_1]\) 之间和 \(mx_1\) 奇偶性相同的位置，也不会对 \(N(S)\) 产生影响。于是，为了使得 \(|S|\) 尽量大，我们会将这些点全选。

我们发现此时 \(S\) 为 \(\{i|i\le mx_2\}\cup\{i|i\in[mx_2,mx_1]\land i\equiv mx_1\pmod 2\}\)，\(N(S)\) 为 \(\{i|i\le mx_2\}\cup\{i|i\in(mx_2,mx_1]\land i\not\equiv mx_1\pmod 2\}\)。

那么 \(|N(S)|-|S|\) 就为：

\[\max_{mx_1>mx_2\land mx_1\not\equiv mx_2\pmod 2\}}\{\sum_{i\in (mx_2,mx_1]\land i\equiv mx_1\pmod 2} a_i - \sum_{i\in (mx_2,mx_1]\land i\not\equiv mx_1\pmod 2} a_i\} \]

就得到了这个重要结论。

然后，我们发现，如果单纯是求最大区间偶数位置和减奇数位置和，是Treasure Hunt，所以一定有玄机。

我们考虑令 \(s_i\) 为前 \(i\) 个数，奇数位置减去偶数位置的差。

那么我们惊讶的发现，求的东西就可以等效成 \(\max_{i=l-1}^{r} \{s_i\}-\min_{i=l-1}^{r} \{s_i\}\)。

于是拆成两部分，单调栈维护了。