Pollard-rho的质因数分解

思路：见参考文章（原理我是写不粗来了）

代码：

用到了快速幂，米勒罗宾素性检验。

#include <iostream>
#include <time.h>
#include <map>
using namespace std;
long long an[] = {2,3,5,7,11,13,17,61};
map<long long,int> mp;//存因数和对应出现次数
int num = 0;
long long Random(long long n)//生成0到n之间的整数
{
    return (double) rand()/RAND_MAX*n+0.5;//(doubel)rand()/RAND_MAX生成0-1之间的浮点数
}


long long q_mod(long long a,long long n,long long p)//快速幂
{
    a = a%p;
    //首先降a的规模
    long long sum = 1;//记录结果
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            sum = (sum*a)%p;//n为奇数时单独拿出来乘
        }
        a = (a*a)%p;//合并a降n的规模
        n /= 2;
    }
    return sum;
}


long long q_mul(long long a,long long b,long long p)//大数模
{
    long long sum = 0;
    while(b)
    {
        if(b&1)//如果b的二进制末尾是零
        {
            (sum += a)%=p;//a要加上取余
        }
        (a <<= 1)%=p;//不断把a乘2相当于提高位数
        b >>= 1;//把b右移
    }
    return sum;
}


//Miller-Rabin
bool witness(long long a,long long n)
{
    long long d = n-1;
    long long r = 0;
    while(d%2==0)
    {
        d/=2;
        r++;
    }//n-1分解成d*2^r，d为奇数
    long long x = q_mod(a,d,n);
    //cout << "d " << d << " r " << r << " x " << x << endl;
    if(x==1||x==n-1)//最终的余数是1或n-1则可能是素数
    {
        return true;
    }
    while(r--)
    {
        x = q_mul(x,x,n);
        if(x==n-1)//考虑开始在不断地往下余的过程
        {
            return true;//中间如果有一个余数是n-1说明中断了此过程，则可能是素数
        }
    }
    return false;//否则如果中间没有中断但最后是余数又不是n-1和1说明一定不是素数
}
bool miller_rabin(long long n)
{
    const int times = 50;//试验次数
    if(n==2)
    {
        return true;
    }
    if(n<2||n%2==0)
    {
        return false;
    }
    for(int i = 0;i<times;i++)
    {
        long long a = Random(n-2)+1;//1到(n-1)
        //cout << a << endl;
        if(!witness(a,n))
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}


//求gcd
long long gcd(long long a,long long b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

//Pollard-rho
long long Pollard_rho(long long n,long long c)
{
    //cout << "n "  << n << " c " << c << endl;
    long long i = 1,k = 2;
    long long x = Random(n-1)+1;
    long long y = x;
    while(true)
    {
        i++;
        x = (q_mul(x,x,n)+c)%n;
        long long d = gcd(y-x,n);
        if(1<d&&d<n)
        {
            return d;
        }
        if(x==y)
        {
            return n;
        }
        if(i==k)
        {
            y = x;
            k<<=1;
        }
    }
}
void find(long long n,long long c)
{
    if(n==1)//找完了
    {
        return;
    }
    if(miller_rabin(n))//找到了质数
    {
        num++;
        mp[n]++;
        return;
    }
    long long p = n;
    while(p>=n)//找p的因数
    {
        p = Pollard_rho(p,c--);//返回p的因数或1或本身
    }
    find(p,c);//递归地找p的因子
    find(n/p,c);
}
int main()
{
    long long n;
    while(cin >> n)
    {
        num = 0;
        mp.clear();
        find(n,2137342);//随机选取的c
        cout << n << " = ";
        if(mp.empty())
        {
            cout << n << endl;
        }
        for(auto ite = mp.begin();ite!=mp.end();ite++)
        {
            cout << ite->first << "^" << ite->second;
            auto i = ite;
            if(++i!=mp.end()) //如果不是最后一个
            {
                cout << "*";//输出乘号
            }
        }
    }
    return 0;

}

其他分解质因数的方法：

朴素算法：枚举从2到n找n的因子，找到了就不断除，除到不能除为止，再找下一个因子。

为什么保证是素因子，从二开始，假设有二的因子，不断地除直到没有二就能保证二的倍数也没有了。类似于素数筛的思想。

代码：

map<int,int> mp;
void decom1(int n)
{
    for(int i = 2;i<=n;i++)
    {
        while(n%i==0)
        {
            mp[i]++;
            n /= i;
        }
    }
}

参考文章：

StanleyClinton，大数因数分解Pollard_rho 算法详解，https://blog.csdn.net/maxichu/article/details/45459533

陶无语，Pollard Rho因子分解算法，https://www.cnblogs.com/dalt/p/8437119.html（讲解原理的多一点，不过至于是否容易理解，嘿嘿）