矩阵快速幂

矩阵快速幂

1.矩阵乘法：

对于n*k的矩阵A,k*m的矩阵B,相乘的得到的矩阵C为：

 我们可以发现，对于矩阵A，B,只有当A的列等于B的行时，两个矩阵才能相乘。

 Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=50;
int a[N][N],b[N][N],c[N][N];
int n,k,m;
int main(){
    cin>>n>>k>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=k;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=k;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cin>>b[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            for(int r=1;r<=k;r++){
                c[i][j]+=a[i][r]*b[r][j];
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cout<<c[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
} 

 

2.矩阵快速幂

在学习矩阵乘法后，我们便可以开始学习矩阵快速幂了。

老规矩，直接上例题：

计算斐波那契数列第n项的后四位（n<=1e9）。

好家伙，这不递推板题嘛！~

仔细点，n<=1e9!

对于如此之大的数据规模，我们只能用O(logn)或O(√n)的算法来实现。

那O(logn)的快速幂算法就十分合适了。

我们先列出递推方程式：

其中，1 1 1 0这个矩阵可以通过方程求得。

 

 

 于是，我们只需要类比普通的快速幂计算1 1 1 0这个矩阵即可。

 附上矩阵快速幂的模板：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=110;
const int P=1e9+7;
int k,n;
int ans[N][N],x[N][N],dx[N][N];

void pow1(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            dx[i][j]=ans[i][j];
            ans[i][j]=0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            for(int k=1;k<=n;k++){
                ans[i][j]=(ans[i][j]+dx[i][k]*x[k][j]%P)%P;
            }
        }
    }
}

void pow2(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            dx[i][j]=x[i][j];
            x[i][j]=0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            for(int k=1;k<=n;k++){
                x[i][j]=(x[i][j]+dx[i][k]*dx[k][j]%P)%P;
            }
        }
    }
}

signed main(){
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cin>>ans[i][j];
            x[i][j]=ans[i][j];
        }
    }
    k--;
    while(k){
        if(k%2==1) pow1();
        pow2();
        k/=2;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cout<<ans[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    } 
    return 0;
}