贪心笔记

本文主要以例题讲解和贪心方法入手。

邻项交换

当我们确定操作顺序，并按照题意模拟即可得出答案，就要用邻项交换的办法来确定最优的操作顺序。

接水问题

对于一个排队顺序 \(T_1\sim T_n\)，答案显然等于：

\[\frac{\sum_{i=1}^{n}{(n-i)\times T_i}}{n} \]

那么将其中的 \(T_2,T_3\) 拎出来，将他们交换位置，显然不会影响后面的 \(T\) 的计算，而：

\[(n-1)\times T_2+(n-2)\times T_3 \]

变成了：

\[(n-2)\times T_2+(n-1)\times T_3 \]

那么如果想让交换前的更优，显然需要满足：

\[(n-1)\times T_2+(n-2)\times T_3 < (n-2)\times T_2+(n-1)\times T_3 \]

即：

\[T_2<T_3 \]

所以我们要按照 \(T\) 从小到大的顺序进行排序。这样就能取得最优值。

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[NOIP2012 提高组] 国王游戏

同样，将排队顺序写出来后，即可按照题意模拟，将答案算出。

直接考虑第 \(i\) 个人的贡献：\(\frac{\prod_{j=1}^{i-1}\;l_j}{r_i}\)，第 \(i+1\) 个人的贡献显然是 \(\frac{\prod_{j=1}^{i}\;l_j}{r_{i+1}}\)，那么交换后，变成 \(\frac{l_{i+1}\; \times \prod_{j=1}^{i-1}\;l_j}{r_i}\) 和 \(\frac{\prod_{j=1}^{i-1}\;l_j}{r_{i+1}}\)，要想交换前更优，显然应该满足：

\[\max\{\frac{\prod_{j=1}^{i-1}\;l_j}{r_i},\frac{\prod_{j=1}^{i}\;l_j}{r_{i+1}}\}<\max\{\frac{l_{i+1}\times \prod_{j=1}^{i-1}\;l_j}{r_i},\frac{\prod_{j=1}^{i-1}\;l_j}{r_{i+1}}\} \]

可以转化为比较：

\[\frac{\prod_{j=1}^{i}\;l_j}{r_{i+1}}<\frac{l_{i+1}\times \prod_{j=1}^{i-1}\;l_j}{r_i} \]

即：

\[\frac{l_i}{r_{i+1}}<\frac{l_{i+1}}{r_i} \]

即：

\[l_i\times r_i<l_{i+1}\times r_{i+1} \]

按照这个式子排序即可。

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[yLOI2019] 梅深不见冬

先对问题进行简单的分析，如果我们将节点 \(k\) 的子儿子答案全部计算出来（记作 \(ans_i\)，并设权值为 \(v_i\)），并且将进入儿子的顺序确定下来，那么答案就是：

\[\max\{v_k+v_1+v_2+...+v_{siz(son)},ans_1,v_1+ans_2,v_k+v_1+v_2+ans_3...\} \]

同样，我们取其中的两个 \(v_k+\sum_{j=1}^{i-1}v_j+ans_i\) 和 \(v_k+\sum_{j=1}^{i}v_j+ans_{i+1}\)，交换后：\(v_k+\sum_{j=1}^{i-1}v_j+ans_{i+1}\) 和 \(v_k+\sum_{j=1}^{i-1}v_j+ans_i+v_{i+1}\)，那么我们只需要比较：

\[v_k+\sum_{j=1}^{i}v_j+ans_{i+1}<v_k+\sum_{j=1}^{i-1}v_j+ans_i+v_{i+1} \]

即可，就是满足：

\[v_i-ans_i<v_{i+1}-ans_{i+1} \]

处理所有节点时，按照这个排序即可。

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魔法

一开始想了一个很离谱的贪心策略：对于目前所有可以做的任务，选择其中 \(b\) 最大的来做。但这样显然不对，比如：

2 10
9 -5
4 -2

就能将其卡掉，原因是先做 9 -5 再做 4 -2 可以做完，但是先做 4 -2 会导致 9 做不了。

从另外一个角度考虑：对于 \(b>0\) 的，先将其做了显然最优，接着考虑 \(b<0\) 的，考虑两个事件 \(t_1,b_1\) 和 \(t_2,b_2\)，什么情况下使得先做 \(1\) 后做 \(2\) 可以，先做 \(2\) 后做 \(1\) 不行。

可以列出如下方程：

\[\begin{cases} T>t_1\\ T+b_1>t_2\\ T>t_2\\ T+b_2\le t_1 \end{cases} \]

有不等式相关性质不难得到：

\[t_1+b_1>t_2+b_2 \]

所以按照 \(t+b\) 的值排序从大到小排序即可。

总结：“留后路”的前提是不会使得原来能做的事情变得不能做，所以凡是对于这种确定顺序模拟的题目，我们都可以使用邻项交换的方法进行分析。